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resumen unidad dos, corte 2, con ejercicios ...

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Unidad 2. Teoría de los exponentes Introducción En la presente unidad los estudiantes encuentran el desarrollo de la teoría de los exponentes, que está constituida por tres tipos de operaciones: potenciación, radicación y logaritmación, abordando sus propiedades y aplicaciones con ejemplos prácticos. Además del propio campo de las matemáticas, este tipo de operaciones son útiles en disciplinas como la trigonometría, el cálculo, la sismología y la física. Objetivo general Conocer las propiedades de la potenciación, la radicación y la logaritmación para aplicarlas en la reducción de expresiones y en el desarrollo de situaciones problémicas relacionadas con éstas. Objetivos específicos Reconocer las propiedades que se cumplen en la potenciación, la radicación, la logaritmación y la relación entre estas. Realizar la simplificación de expresiones numéricas y algebraicas, aplicando las propiedades de potenciación, radicación y logaritmación. Solucionar situaciones de las diferentes áreas de las ciencias relacionadas con la potenciación, radicación y logaritmación. Contenido temático 2. Teoría de los exponentes 2.1 Potenciación 2.1.1 Propiedades de la potenciación 2.1.2 Aplicaciones 2.2 Radicación 2.2.1 Propiedades de la radicación 2.2.2 Aplicaciones 2.3 Logaritmación 2.3.1 Propiedades de la logaritmación 2.3.2 Aplicaciones

2. TEORÍA DE LOS EXPONENTES

2.1 POTENCIACIÓN La potenciación es la operación que nos sirve para abreviar la multiplicación cuando esta tiene todos sus factores1 iguales. Ejemplo:

2

=

BASE

POTENCIA

32 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 25 = 32

Figura 1 Se puede generalizar como: a x a x a x a x…x a simultáneamente

= an ; a,n € R; a,n ≠ 0

n veces 2.1.1 Propiedades de la potenciación i) Producto de potencias de igual base

Cuando se tienen que realizar productos como siguiente desarrollo: 35 3X3X3X3X3 X

32

X

3X3

X X

(35 X 32 X 34) se recurriría al 34

3X3X3X3

= 311

Ahora bien, ¿Cómo se puede obtener el resultado (311) utilizando los números 3, 5, 2, 4 sin desglosar2 cada potencia? La respuesta a esta pregunta se da por observación y deducción: 35+2+4 =311 luego puede generalizarse como:

am * an = am+n a, m, n € R; a, n, m ≠ 0 ; simultáneamente Ejemplo: 1 2

Factores: números o partes que conforman la multiplicación Desglosar: expresar cada potencia como productos

Expresar como una sola potencia Como todas las potencias tienen igual base aplicando i): Al sumar los exponentes se tiene: El resultado es:

http://www.ematematicas.net/potencia.php?a=3&pot=6

ii) Cociente de potencias de igual base

35 32 se esbozaría el siguiente

Cuando se deben realizar cocientes como desarrollo:

3x3x3= 33 = 27 ¿Cómo obtener el resultado (33) utilizando los números 3, 5, 2 sin desglosar cada potencia? La respuesta a esta pregunta se da por observación y deducción: 35-2 =33 luego puede generalizarse como:

am

an = am-n

a, m, n € R; a ≠ 0 Ejemplo: Expresar como una sola potencia Como las dos potencias tienen igual base, aplicando ii): Al restar los exponentes se obtiene: El resultado es: Ejemplo: Combinación de los casos i) y ii) Simplificar dejando una sola potencia Aplicando i) en el numerador y denominador: Aplicando ii) tenemos:

Nota: no siempre es necesario hallar el resultado de la última potencia, se puede dejar expresado como . http://www.ematematicas.net/potencia.php?a=3&pot=7

iii) Potencia de una potencia Para realizar ( se recurre al siguiente desarrollo: ( 23 )

( 23 )

X

2x2x2

X

X

2x2x2 X

( 23 )

X

( 23)

2x2x2

X

2x2x2

= 212

¿Cómo se obtiene el resultado (212) utilizando los números 2, 3, 4 sin desglosar cada potencia? La respuesta a esta pregunta se da por observación y deducción: 23x4 =212, luego esto se puede generalizar como:

(am )n

= am*n

a,m, n € R; a, n, m ≠ 0 ; simultáneamente

Ejemplo: Expresar como una sola potencia de base 2:

-2

Primero, se soluciona la operación de dentro del paréntesis aplicando iii): (4-13+5)2 (4-8)-2 = Ahora, se aplica ii) 4 (22)16 = 232

16

pero, como 4 = 22 aplicando nuevamente iii), se obtiene:

Ejemplo: Combinación de casos i), ii), iii)

Expresar como una sola potencia: Como 25 no es de misma base pero si es potencia de 5 entonces, lo expresa como 52 y al aplicar iii) se obtiene:

=

Aplicando i) en el numerador y denominador: = Solucionando el paréntesis y aplicando ii) se obtiene: Y finalmente, aplicando iii) se obtiene el resultado:

=

http://www.ematematicas.net/potencia.php?a=3&pot=8 http://www.ematematicas.net/potencia.php?a=3&pot=12 iv) Exponente negativo ¿Qué significado tiene un exponente negativo? Si se tiene 2-3 ¿Cuál es el valor de esta expresión? La respuesta a las anteriores preguntas se logra con la siguiente propiedad:

; O también a,m € R; a ≠ 0 ;

Al aplicar la propiedad a 2-3 obtenemos:

Ejemplo: Reducir a una sola potencia con exponente positivo la expresión: Al analizar el ejercicio, se observa que todas las potencias no tienen la misma base, entonces, el primer paso es expresar 25 como 52 y 125 como 53. Aplicando iii) y luego i) se tiene: Aplicando ii), luego iii) y iv) se obtiene: http://www.ematematicas.net/potencia.php?a=3&pot=9

v) Exponente cero

a0 = 1 a € R; a ≠ 0

Ejemplo: Reducir a una sola potencia con exponente positivo la expresión:

Si observamos detenidamente el ejercicio, parece complejo, sin embargo, al aplicar la propiedad v) la respuesta es inmediata:

=1

vi) Potencia de un producto

Cuando se tiene el mismo exponente pero diferentes bases, se puede unificar el exponente. Ejemplo: 23 x 53 = (2 x 5)3; pero también con (3 x 5 x 7)4 = 34 x 54 x 74.

(a

x

b)n = an x bn

a,m,n € R; a,n, simultáneamente

≠

0

;

b,n

≠

0

Ejemplo: Reducir a una sola potencia con exponente positivo la expresión:

Al observar la expresión es claro que todas las potencias NO tienen la misma base; luego, se procede a descomponer las cantidades que se puedan. Esto es: 30 = 2x3x5; 4 = 22; 25 = 52 Al reemplazar se tiene: Aplicando vi) y iii)

Aplicando i) en numerador y denominador: Aplicando ii) se obtiene: Aplicando vi), iii) y iv): En este ejercicio no se puede dejar una sola potencia puesto que las bases son diferentes y no son múltiplos3 entre ellas. vii) Potencia de un cociente

Cuando se tiene el mismo exponente pero diferentes bases, es posible unificar el exponente. Ejemplo:

23 ÷ 53 = (2 ÷5 )3, pero también con (3 ÷ 5 )4 = 34 ÷ 54 .

(a ÷ b)n = an ÷ bn a,m,n € R; a,n, ≠ 0 ; simultáneamente; b≠0

Ejemplo: Simplificar: En este ejercicio se está planteando una división, por lo tanto, primero se solucionan los paréntesis; dentro de los cuales, las potencias son diferentes por lo que se debe descomponer los números compuestos y aplicar el concepto, según el cual ‘toda potencia con base negativa elevada a un exponente par, su resultado siempre es positivo’. Se reemplaza a 15 = 5x3;

81=34;

125=53;

45 = 32x5

Aplicando la propiedad vi)

3 Múltiplos: expresar una cantidad como producto de otras dos las cuales deben ser diferentes de uno y de la misma

cantidad.

Aplicando la propiedad iii) y teniendo en cuenta que toda potencia de base negativa y exponente par equivale a una positiva, como por ejemplo:

Aplicando i) al numerador y denominador:

Aplicando ii) en el numerador y denominador se obtiene:

Aplicando vii) y ii): Aplicando vi) y iv)

EJERCICIO 2.1

Simplificar cada ejercicio sin dejar potencias repetidas y hallar el resultado de la potencia.

35 x 32 x 3-4

e) (54x52) 55

i) (2x5)14(4x25)7

b) 92 x 35 x 3-7

f) [252(5)5](56)

j){24(6)5(-2)-4}25x34)

c) 252x5-5x (-5)2

g) [(-3)43-8] (3)-4

k) [64-5x27-4][2-29x3-13]

d) 365 x 62 x (63)-3

h) (38x5-7) (5-6x 39)

l) {(56)-8[252(-8)-3]23x53}0

Simplificar dejando una sola potencia de cada clase y expresar cada respuesta con exponentes positivos c) a) b)

d)

2.1.2 Ejercicios de aplicación A)

En los juegos de mesa

El juego del ajedrez fue creado por un habilidoso matemático para entretener a un rey, a quien le cobró por el primer cuadro -de tan maravilloso juego- un grano de maíz, el doble de granos por el segundo cuadro, el doble del segundo por el tercero y así sucesivamente. a. ¿Cuánto maíz pagó el rey por el octavo cuadro? b. ¿Cuánto por el cuadro 64? c. ¿Cómo calcular la cantidad de granos de maíz que pagó el rey por todos los 64 cuadros? Solución:

……... Figura 2

Con base en la figura anterior, el número de maíces de cada cuadro coincide con las potencias de 2 pero con exponente de valor menor en 1. a. Igualmente, el rey debió pagar 27 granos de maíz por el cuadro 8, esto es: 2x2x2x2x2x2x2=128 granos de maíz. b. El número de granos que tuvo que pagar por el cuadro 64 fue 2 63 granos de maíz, esto es: 2x2x2x….x2 = 9.223372036 x 1018 63 veces El resultado anterior es aproximadamente 9.22 trillones de granos. c. Para dar respuesta a esta pregunta debemos sumar 20+21+22+23+….+263

Como se explicó anteriormente, esto corresponde a una serie geométrica y para obtener el valor de su suma aplicamos: . Para los 64 términos:

Aproximadamente 18,4 trillones de granos. La magnitud que ocuparían los granos, sería un volumen de 6,52982091x 1012 m3. Si se extendieran por Bogotá, ciudad con un área aproximada de 703Km2 = 703x106 m2, cubrirían toda la ciudad a una altura de 9.288 metros. El ejercicio anterior también puede interpretarse mediante una gráfica en la que se observa que el crecimiento de la curva es muy rápido y que la cantidad de granos que tenía que pagar el rey era casi innumerable. 5,000 4,500 4,000 3,500 3,000 2,500

Relación cuadro -

2,000

número de maíces por cuadro

1,500 1,000 500 0 C C C C C C C C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

Figura 3 B)

En física y química

Notación científica Ante datos científicos como: La velocidad de la luz en el vacío es de 300’000.000 millones de metros por segundo. El radio del átomo de hidrógeno es 0,000000001 metros.

Vale la pena señalar que cuando se trata de cantidades tan pequeñas o tan grandes, éstas requieren de un manejo simplificado y característico de la notación científica. Se puede indicar que una cantidad está escrita en notación científica, cuando cumple las siguientes condiciones: a. Debe estar dividida en dos partes; una cantidad decimal multiplicada de una potencia. b. La cantidad decimal debe tener un entero entre 1 y 9 c. La potencia debe ser potencia de diez (101, 102, 103…) A continuación algunos ejemplos: Fenómeno

Notación estándar

Notación científica

Velocidad de la luz

300 000 000 m/s

3,0 X 108 m/s

Radio átomo de hidrógeno

0,000000001m

1 x10-9m

Densidad de un polímero

5590 Kg/m3

5,59 X 103 Kg/m3

Densidad del aire

0,0012 Kg/m3

1,2 X10-3 Kg/m3

Masa de la Luna

70 000 000 000 000 000 000 000 Kg

7,0 X 1022 Kg

Masa de una bacteria

0,000 000 000 000 001

1,0 X 10-15 Kg

Ejemplos: ü La masa de un mosquito es de 0,000011 Kg. Expresarla en notación científica. Solución: Como debe haber un entero entre 1 y 9, al observar el número, se evidencia que es necesario correr la coma hacia la derecha hasta que quede en medio de los dos 1, esto significa cinco lugares a la derecha, para recuperarlos multiplicamos por 10-5 0,000011 Kg = 0 ,0 0 0 0 1 ,1 Kg = 1,1 X10-5 Kg.

ü El radio medio de la tierra es de 6400X103 m. Expresarlo en notación científica. Solución:

El dato anterior, aunque tiene un entero y una potencia de diez, no está escrito en notación científica puesto que falta la condición dos. Para solucionarlo, se pasa el 6400 a notación científica y el resultado se multiplica por 103. 6400 es lo mismo que 6400,0; luego la coma se corre hasta que quede entre el 6 y el 4 para lograr un entero entre 1 y 9 (condición dos). 6400,0 = 6, 400,0 = 6,4X103 Ahora se toma el número completo: 6400 X 103 m = 6,4X103 X 103 = 6,4 X106 m.

2.1.3 Desarrollo de competencias 1. Observar la siguiente secuencia:

Figura 4

¿A qué secuencia de potencias corresponde? ¿Cuántos cuadritos tiene la décima figura? ¿Cuánto suman los cuadritos hasta la décima figura de la secuencia? 2. Completar la siguiente tabla expresando en notación estándar o científica según corresponda: FENÓMENO NOTACIÓN ESTANDAR Distancia media de la tierra a la Luna Tamaño de una partícula de 0.0001m polvo Diámetro de núcleo atómico 0,00000000000001m

NOTACIÓN CIENTÍFICA 3,8 X108 m

9,46 X1015m

Un año luz

3. Corregir las siguientes cantidades para que queden en notación científica. a. 0,00035X10-7

b. 0,000245X106

c. 250000000X10-10

4. Interés compuesto4: al invertir pesos al de interés compuesto anualmente, la cantidad de dinero, al término de t años se obtiene de a. Si se invierte $1000 al 10% ¿Cuánto dinero se tiene a los 10 años? ¿Por qué no se puede realizar la operación multiplicando $100 (interés de un año) X 10 años + $1000 (capital inicial)? b. ¿Cuánto tiempo se debe dejar invertido el dinero para duplicar el capital? 5. La presión atmosférica P en cualquier sitio sobre la superficie de la Tierra se puede obtener con aproximación mediante la ecuación: P = Po ℮-z/α. Si Po = 101325 pascales5 (presión atmosférica a nivel del mar). Donde: α=8000m z = altura del sitio del que se desea conocer la presión atmosférica. ℮ = 2,718281828… (constante de Euler6). a. ¿Cuál es el valor de la presión atmosférica en Bogotá, 2600 metros más cerca de las estrellas? b. ¿En qué porcentaje disminuye la presión atmosférica en el Monte Everest (8844m) comparada con la de Bogotá? 6. Crecimiento poblacional: el crecimiento de una comunidad puede calcularse teniendo en cuenta los nacimientos y las defunciones de sus miembros. En la actualidad se hace utilizando la ecuación ; donde: P0 = población inicial i= índice de crecimiento en tanto por año t = tiempo en años a. Un pueblo tiene 100.000 habitantes y su población crece anualmente un 10% ¿Cuántos habitantes tendrá el pueblo al cabo de 1, 2 ,5 ,10 años? b. ¿Al cabo de cuánto tiempo se habrá duplicado su población? 7. Lee detenidamente y completa la tabla Leyenda de la Torre de Brahma

4

El interés compuesto es la acumulación de intereses devengados por un capital inicial; a cierta tasa de interés y durante ciertos períodos de tiempo, normalmente mensual o anual; los intereses adquiridos en cada período, no se retiran sino que se reinvierten, es decir, se capitalizan. 5 Pascales: Unidades internacionales de medición de la presión. 6 Número de infinitos decimales no periódicos que aparecen al desarrollar la serie: No poseen una secuencia de repetición.

En el templo de Benarés, bajo el domo que marca el centro del mundo, hay una placa de latón con tres agujas de diamante. Durante la creación, Dios puso 64 discos de oro de distinto tamaño en una de las agujas, formando una torre. Los brahmanes llevan generaciones cambiando de lugar, uno a uno, los discos de la torre entre las tres agujas, de forma que en ningún momento un disco mayor descanse sobre otro más pequeño y sólo se les permite un movimiento al día. Cuándo hayan conseguido trasladar todos los discos a otra aguja, su trabajo estará terminado, la torre y el templo se derrumbarán y con un gran trueno el mundo se desvanecerá.

Figura 5 Ingrese a http://www.pequejuegos.com/juego-la-torre-de-hanoi.html, juegue y compare los resultados obtenidos del número de movimientos (sólo los de efectividad del 100%) con las potencias de 2 y complete la siguiente tabla: No. de discos No. de movimientos Potencias de 2

1

2

3

4

5

6

7

2.1.4 Manejo de calculadora Hay dos tipos de potencias que se pueden trabajar en la calculadora, una es base 10 y la otra es con cualquier base. a. Trabajo con potencias base 10:

Use las teclas

Si se desea escribir 3.5X105 se procede así: 3.5

5 o también 3.5 X10

2.2 RADICACIÓN

Es la operación inversa de la potenciación y se utiliza para encontrar la base, cuando se conocen la potencia y el exponente. Ejemplo:

3

=8

¿Qué cantidad elevada a la tres, da ocho?

Lo anterior equivale a resolver: ¿Cuál es la raíz cubica de ocho? La respuesta es

2, porque 23 = 8.

2.2.1 Propiedades de la radicación i) Conversión de potenciación a radicación

La siguiente es la propiedad que convierte potenciación en radicación:

;

a,m,n € R; n≠0;

a,m ≠ 0

simultáneamente

Ejemplo: a. Expresar como radicación y simplificar. Solución: = 6 ya que 63 = 216.

b. Simplifique utilizando la propiedad i) Solución: Al descomponer 15625 se obtiene 56, luego: . ii) Raíz de un producto

Al encontrar se entiende que 64 tiene raíz cúbica exacta, lo mismo que 125, por lo que se puede aplicar la siguiente propiedad:

;a,m,n € R; n≠0; a,b,m ≠ 0 simultáneamente

Entonces: La propiedad potenciación.

anterior se comprueba a través de las propiedades de

la

iii) Raíz de un cociente

Al encontrar , se comprende que 8 tiene raíz cubica exacta, lo mismo que 343, por lo que, se aplica la siguiente propiedad:

Entonces: La propiedad potenciación.

anterior se comprueba a través de las propiedades de la

iv) Raíz de raíz

Para solucionar , primero se halla

y, luego, al resultado de esto, se le saca .

Otra forma de hacerlo es mediante la siguiente propiedad:

; a,m,n,x€ R; n,m≠0; a,x ≠ 0 simultáneamente

Entonces se tiene ; ahora bien, como al descomponer 729 en sus factores primos se obtiene 36, entonces: . Ejemplos: Simplificar la siguiente expresión: Solución: Como se tiene una raíz dentro de otra raíz, se inicia por aplicar la propiedad iv) de radicales, esto es:

Ahora aplicando la propiedad iii) de radicación, se obtiene: Aplicando ii) de radicación: Aplicando i) de radicación: Aplicando ii) de potenciación para c se tiene http://www.ematematicas.net/radicales.php?a=3

2.2.2 Aplicaciones En matemáticas ü Racionalización de denominadores:

Expresiones como se encuentran comúnmente en operaciones trigonométricas; sin embargo, las cantidades con radicales en el denominador se deben eliminar; para lo anterior,...