Roteiro DE AULA - LEI DA GravitaÇÃo Universal PDF

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ROTEIRO DE AULA - LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL...

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GRUPO DE ESTUDO E PESQUISA EM ASTRONOMIA E COSMOLOGIA PLANETÁRIO RUBENS DE AZEVEDO – INSTITUTO DRAGÃO DO MAR ROTEIRO DE AULA ASSUNTO: LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL CURSO PREPARATÓRIO PARA A OLIMPÍADA BRASILEIRA DE ASTRONOMIA PROFESSOR: PAULO OTAVIO GOUVEIA 1. Lei da Gravitação Universal - Analisando as Leis de Kepler, Newton notou que as velocidades dos planetas variam ao longo da órbita em módulo e direção. Como a variação de velocidade é devido a forças, Newton concluiu que os planetas e o Sol interagem a distância, com forças chamadas gravitacionais. - Newton, através da matemática, descobriu que as forças gravitacionais dependem diretamente das massas do Sol e do planeta e inversamente do quadrado da distância entre eles. “Dois pontos materiais atraem-se com forças cujas intensidades são diretamente proporcionais às suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa. ” Se M e m são as massas de dois pontos materiais e r é a distância que os separa, a intensidade da força gravitacional é dada por: 𝑀𝑚 𝐹=𝐺 2 𝑟

Nessa expressão, G = 6,67 x 10-11 m3 kg-1 s-2, que é um valor chamado de constante de gravitação universal. Ela não depende do meio. - Se em vez de pontos materiais tivermos esferas homogêneas, a distância r a ser considerada será a de seus centros. - Como a constante G é muito pequena, a força F só tem intensidade apreciável se ao menos uma das massas for elevada, como a de um planeta. Para corpos de pequenas massas (pessoas, objetos, veículos), a atração gravitacional F tem intensidade desprezível. 2. Aceleração da gravidade Aceleração da gravidade na superfície de um planeta 𝐺𝑀 𝑔= 2 𝑅 Onde M é a massa do planeta e R é o raio. Aceleração da gravidade à altitude h da superfície 𝐺𝑀 𝑅 2 𝐺𝑀 𝑔′ = 2 = = 𝑔 ( ) (𝑅 + ℎ )2 𝑟 𝑅 +ℎ Onde g é a gravidade na superfície do planeta. 3. Corpos em órbita

- Considere um planeta de raio R e massa M. Seja m a massa de um satélite em órbita circular em torno do planeta à altitude h. A força da interação gravitacional entre M e m é responsável pela aceleração centrípeta necessária para manter m em órbita. Essa aceleração é a própria aceleração da gravidade à altitude h:

𝑎𝑐𝑝 = 𝑔′ A partir dessa igualdade, tanto podemos determinar a velocidade orbital como o período de revolução do satélite em torno do planeta. Velocidade: Sendo 𝑎𝑐𝑝 = 𝜔2 𝑅 Substituindo, temos:

;

𝑎𝑐𝑝 =

𝑣= 𝜔 × 𝑅

𝑣2 𝑟

𝐺𝑀 𝑟2 Igualando os valores, temos:

Sabemos que:

𝑔′ =

2 𝐺𝑀 2 𝐺𝑀 𝑣 2 𝐺𝑀 = √ = 2 →𝑣= √ 𝑟 𝑅 +ℎ 𝑅 𝑟 Período: Sendo 4𝜋 2 𝐺𝑀 𝑣2 = 𝜔2 𝑅 = 2 × 𝑟 𝑒 𝑔′ = 2 𝑎𝑐𝑝 = 𝑟 𝑇 𝑟 , vem:

4𝜋 2

𝐺𝑀 4𝜋 2 𝑟 3 2 𝐺𝑀 → 𝑇 = 2 𝑇2 𝑟2 4𝜋 𝑇 2 = 𝐾𝑟 3 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐾 = = 𝐶𝑇𝐸 𝐺𝑀 Note que: 1. A velocidade e o período independem da massa m do satélite; 2. A velocidade e o período dependem da massa do planeta M e da distância r; 3. A fórmula do período é a própria terceira lei de Kepler. Para o Sistema Solar, M é a massa do Sol e a constante K é comum para todos os planetas, independentemente de suas massas. ×𝑟 =

Conhecida a velocidade do satélite, a uma determinada altura, determinamos sua energia cinética: 2

Como

𝑣= √

𝐺𝑀 𝑟

𝐺𝑀 → 𝑣 = 𝑟 2

𝑀𝑚 𝑚𝑣 2 → 𝐸𝑐 = 𝐺 𝐸𝑐 = 2 2𝑟

A energia potencial gravitacional, adotando o referencial no infinito, será dada por: 𝑀𝑚 𝐸𝑃 = −𝐺 𝑟 O sinal negativo significa que, em todos os pontos do campo gravitacional, a energia potencial gravitacional é menor do que no infinito. No campo gravitacional, a energia mecânica se conserva, isto é, 𝐸𝑀𝐸𝐶 = 𝐸𝑃 + 𝐸𝐶 = 𝐶𝑇𝐸. Velocidade de escape - É a menor velocidade com, que se deve lançar um corpo da superfície terrestre para que este se livre da atração gravitacional da Terra, isto é, chegue ao infinito com velocidade nula. Para o cálculo dessa velocidade, desprezando a resistência do ar, aplicamos o princípio da conservação da energia mecânica. Corpo na Terra: 𝑚𝑣 2 𝑀𝑚 𝐸𝑐 = ; 𝐸𝑃 = −𝐺 𝑟 2 Corpo no infinito: 𝐸𝑃 = 0; 𝐸𝑐 = 0 (𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒏𝒐 ∞) Portanto: 𝟐 𝟐𝑮𝑴 𝑚𝑣𝑒 2 𝑀𝑚 − 𝐺 = 0 → 𝒗𝒆 = √ 𝑹 2 𝑟 Em um Buraco Negro: 𝑣𝑒 = 𝑐

𝟐𝑮𝑴 2𝐺𝑀 = 𝑐 2 → 𝒓𝒎𝒊𝒏 = 𝑟𝑚𝑖𝑛 𝒄𝟐

Este é chamado raio de Schwarzchild e seu sentido é que, nada, nem mesmo a luz pode escapar da estrela, quando emitida no interior de uma esfera de raio rs. Neste estágio de contração temos, pois, um Buraco Negro. O raio de Schwarzchild delimita, pois, uma esfera de dentro da qual não sai nenhuma informação. Condições para um corpo tornar-se um buraco negro: 𝑟𝑠 = 1,48 × 10−27 𝑀 Onde M é a massa do Sol. No caso do Sol: 𝑟𝑠 ≅ 3 𝑘𝑚 Informações importantes: Área de uma esfera: 𝐴 = 4𝜋𝑅 2 Comprimento de uma esfera: 𝐶 = 2𝜋𝑅 Volume de uma esfera:

𝑉=

4

3

𝜋𝑅 3

Aceleração centrípeta: 𝑎𝑐𝑝 = 𝜔2 𝑅 Velocidade angular:

𝜔2 =

2𝜋 𝑇...