S2 Hoja de taller de teoría y de ejercicios PDF

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TEMA: Derivadas parciales, plano tangente y recta normalCURSO: Cálculo 3SEMANA: 2GUÍA DE ESTUDIODERIVADAS PARCIALESEn aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta ¿Cómo afectaría al valor deuna función un cambio en una de sus variables independientes? Se puede contestar est...

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TEMA: Derivadas parciales, plano tangente y recta normal CURSO: Cálculo 3 SEMANA: 2

GUÍA DE ESTUDIO DERIVADAS PARCIALES En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta ¿Cómo afectaría al valor de una función un cambio en una de sus variables independientes? Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes por separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico podría repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, mientras mantiene constante las otras variables como temperatura y presión. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función f respecto a una de sus variables independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este proceso se le llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f con respecto a la variable elegida.

Definición de las derivadas parciales de una función de dos variables Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a la variable independiente 𝒙 al siguiente límite, si existe y es finito: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = lim ∆𝑥 → 0 𝜕𝑥 ∆𝑥

(1)

el cual se calcula suponiendo 𝒚 constante.

Se llama derivada parcial de una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a la variable independiente y al siguiente límite, si existe y es finito: 𝜕𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦) = lim 𝜕𝑦 ∆𝑦 → 0 ∆𝑦

(2)

el cual se calcula suponiendo x constante.

Notación de las derivadas parciales Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), entonces sus derivadas parciales respecto a 𝑥 y 𝑦 se expresan respectivamente, en las formas siguientes: 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑓 = (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐷𝑥 [𝑓(𝑥, 𝑦)] = 𝐷1 [𝑓(𝑥, 𝑦)] 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕 = (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐷𝑦 [𝑓(𝑥, 𝑦 )] = 𝐷2 [𝑓(𝑥, 𝑦 )] 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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Nota: Para calcular las derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que según la ecuación (1) la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de f con respecto a x manteniendo fija la variable y. Por lo tanto, se utilizará la regla siguiente:

REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

1. Para determinar 𝑓𝑥 , conservar a y constante y derivar 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a x . 2. Para determinar 𝑓𝑦 , conservar a x constante y derivar 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a y .

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Para dar una interpretación geométrica de las derivadas parciales, recuerde que la ecuación z = f ( x, y ) representa una superficie S (que es la gráfica de f ). Si f (a , b ) = c , entonces el punto P (a , b , c ) está definido sobre S. Si hace y = b entonces z = f ( x , b ) representa la curva intersección C1 (en otras palabras la curva C1 es la traza de S en el plano y = b ). Por consiguiente 𝑓(𝑎 + ∆𝑥, 𝑏) − 𝑓(𝑎, 𝑏) ∆𝑥 → 0 ∆𝑥

𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = lim

representa la pendiente de esta curva en el punto (a, b, f (a ,b )) . Nótese que tanto la curva como la recta están en el plano y = b . Análogamente 𝑓(𝑎, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) ∆𝑦 → 0 ∆𝑦

𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = lim

representa la pendiente de la curva intersección C2 (en otras palabras la curva C2 es la traza de S en el plano x = a ). Ver figura 1

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Derivadas parciales de una función de tres o más variables También se puede definir las derivadas parciales mediante funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si f es una función de tres variables 𝑥, 𝑦 y 𝑧, entonces su derivada parcial con respecto a x se define como 𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦, 𝑧) − 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ℎ→0 ℎ

𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim

y se determina considerando a 𝑦 y a 𝑧 como constantes y derivando 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) con respecto a 𝑥. Si 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), entonces 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜕𝑤⁄ 𝜕𝑥 se puede interpretar como la razón de cambio de w con respecto a x cuando y y z se mantienen constantes. En general, si ues una función de n variables, 𝑢 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), su derivada parcial con respecto a la i -ésima variable 𝑥𝑖 es 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 + ℎ, 𝑥𝑖+1 , … , 𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛 ) 𝜕𝑢 = lim 𝜕𝑥𝑖 ℎ → 0 ℎ 𝜕𝑢 𝜕𝑓 = = 𝑓𝑥𝑖 = 𝑓𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖

VECTOR NORMAL A UNA SUPERFÍCIE

Consideremos la gráfica de la función diferenciable 𝑓: 𝑈 ⊆ ℝ2 ⟶ ℝ definida en el conjunto abierto 𝑈 de ℝ2 . Como sabemos, ésta es una superficie 𝑆 en el espacio ℝ3 . Consideremos 𝑝 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )) un punto de esta superficie, queremos obtener un vector normal a la superficie 𝑆 en 𝑝. Análogamente a como entendíamos por un vector normal a la gráfica de una función de una variable (perpendicular a la recta tangente), un vector normal al gráfico de 𝑓 en 𝑝, será un vector normal al plano tangente a la superficie 𝑆 en 𝑝. Con ayuda de las derivadas parciales, podemos encontrar dos rectas tangentes a la superficie 𝑆 en 𝑝 cuyos vectores dirección son dados por 𝑣1 = (1, 0,

𝜕𝑓

𝜕𝑥

(𝑥0 , 𝑦0 )) y 𝑣2 = (0, 1, 𝜕𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )), estos vectores nos permiten encontrar un vector 𝜕𝑓

normal N a 𝑆 en 𝑝 dado por 𝑁 = 𝑣1 × 𝑣2 , así tenemos 0 𝑁 = 𝑣1 × 𝑣2 = (| 1

𝜕𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) 1 𝜕𝑥 |,−| 𝜕𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) 0 𝜕𝑦

𝜕𝑓

(𝑥0 , 𝑦0 ) 1 𝜕𝑥 |,| 𝜕𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) 0 𝜕𝑦

𝜕𝑓 𝜕𝑓 0 |) = (− (𝑥0 , 𝑦0 ), − (𝑥0 , 𝑦0 ), 1). 𝜕𝑦 𝜕𝑥 1

Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 . Su gráfica es la parte superior de la esfera centrada en el origen

y de radio 1. Obtengamos un vector normal a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝑝 = (𝑥0 , 𝑦0 , √1 − 𝑥0 2 − 𝑦0 2 ), las derivadas parciales de 𝑓 en un punto (𝑥0 , 𝑦0 ) son dadas por

𝜕𝑓 𝜕𝑥

(𝑥0 , 𝑦0 ) = −

𝜕𝑓 𝑥0 , (𝑥0 , 𝑦0 ) √1−𝑥0 2 −𝑦0 2 𝜕𝑥

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=−

𝑦0

√1−𝑥0 2 −𝑦0 2

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De modo que un vector normal es 𝑁 = (− Como

𝜕𝑓

𝜕𝑥

(𝑥0 , 𝑦0 ), −

𝜕𝑓 𝑥0 𝑦0 , 1) (𝑥 , 𝑦 ), 1) = (− , − √1 − 𝑥0 2 − 𝑦0 2 𝜕𝑦 0 0 √1 − 𝑥0 2 − 𝑦0 2

𝑁=−

1

√1 − 𝑥0 2 − 𝑦0 2

(𝑥0 , 𝑦0 , √1 − 𝑥0 2 − 𝑦0 2 )

Entonces un vector normal al gráfico de 𝑓 en el punto 𝑝 = (𝑥0 , 𝑦0 , √1 − 𝑥0 2 − 𝑦0 2 ) , es 𝑁 = (𝑥0 , 𝑦0 , √1 − 𝑥0 2 − 𝑦0 2 ) = 𝑝.

PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE Se llama plano tangente a una superficie en un punto 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ). Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación z = f ( x , y ) ,entonces la ecuación del

plano tangente en un punto 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) de la superficie viene definido por la ecuación: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 (𝑥 , 𝑦 )(𝑥 − 𝑥0 ) + (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 ) − (𝑧 − 𝑧0 ) = 0 𝜕𝑥 0 0 𝜕𝑥

Nota: Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de ecuaciones de la forma 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representación más general 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Una superficie S dada por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), se puede convertir a la forma general definiendo F como 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑧

Puesto que 𝑓(𝑥, 𝑦 ) − 𝑧 = 0, se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 (Ecuación alternativa de la superficie S )

Es así, que enunciamos el siguiente teorema

TEOREMA: Ecuación del plano tangente Si F es diferenciable en (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), entonces una ecuación del plano tangente a la superficie dada por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 en (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) es 𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐹𝑧 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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RECTA NORMAL Se llama recta normal (𝑳𝑵) a una superficie 𝑆 con ecuación 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , a la recta que pasa por el punto𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y es perpendicular al plano tangente.

Si (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐿𝑁 , la ecuación de 𝐿𝑁 es: •

Forma vectorial: 𝐿𝑁 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝑡(𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ), 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ), −1); 𝑡 ∈ 𝑅

•

Forma simétrica: 𝑧 − 𝑧0 𝑦 − 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 = = −1 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )

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TEMA: Derivadas parciales, plano tangente y recta normal CURSO: Cálculo 3 SEMANA: 2 HOJA DE TRABAJO CONOCIMIENTO / COMPRENSIÓN

1. Dada la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) cuya gráfica se representa por la superficie adjunta:

𝑏

𝑎

a) ¿Cómo se obtienen geométricamente las curvas 𝐶1 y 𝐶2 respectivamente?

b) ¿Explique cómo se hallan las pendientes de la recta tangente a las curvas 𝐶1 y 𝐶2 respectivamente, en el punto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐)? 2. Relacionar las funciones con sus respectivas derivadas parciales: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥 − 𝑦) b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 − 𝑦 c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 3𝑥−5𝑦

d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦

1) 𝑓𝑥 = 1

−1

2) 𝑓𝑦 =

𝑥−𝑦

4) 𝑓𝑥 =

1 2√𝑥−𝑦

3) 𝑓𝑦 = −5𝑒 3𝑥−5𝑦

APLICACIÓN / ANÁLISIS 3. Calcule todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 3𝑥

2 +7𝑦

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥2 − 𝑦 4

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c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(5 𝑥 2 + 3𝑦)

d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 − 4𝑦)

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4. Calcule todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝑦)

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦

c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (√𝑥 + 2𝑦)

5. Calcule todas las derivadas parciales de segundo orden de las funciones: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑒 −𝑥𝑦

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿𝑛(√𝑥 2 + 𝑦 2 ) 3

6. Calcular la ecuación del plano tangente de las siguientes superficies en el punto especificado: a) 𝑧 = 𝑒 𝑥 +𝑦 en el punto (0,0,1) 2𝑥𝑦 b) 𝑧 = 2 2 en el punto (1, 0,0) 2

𝑥 +𝑦

c) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛( 𝑥𝑦) en el punto (1,

 ,1) 2

7. Calcular la ecuación de la recta normal a las siguientes superficies en el punto especificado: a) 𝑧 = 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥𝑦 ) en el punto (1,1,1) 4

b) 𝑧 = 𝑥 3 − 𝑥 3 𝑦 4 en el punto (1,1,0)

8. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑦/𝑥 , verifique que 𝑥𝑓𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑦𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0.

SÍNTESIS / EVALUACIÓN 9. Una compañía fabrica 2 tipos de esquíes, los modelos relámpago y alpino. Supóngase que la función

de costos conjuntos de fabricar 𝑥 pares del modelo relámpago y 𝑦 pares del modelo alpino a la semana es:

𝑐 = 𝑓(𝑥, 𝑦 ) = 0.06𝑥 2 + 65𝑥 + 75𝑦 + 1000

En donde 𝑐 se expresa en dólares. Calcular los costos marginales respecto a 𝑥 y a 𝑦 cuando 𝑥 = 100

y 𝑦 = 50 e interpretar los resultados.

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10. Cálculo de la pendiente de una superficie en la dirección y. El plano 𝑥 = 1 corta al paraboloide 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 en una parábola. Determine la pendiente de la tangente a la parábola en (1, 2, 5).

11. Una compañía que fabrica computadoras ha determinado que su función de producción está dada por 𝑃(𝑥; 𝑦) = 500𝑥 + 800𝑦 + 3𝑥 2 𝑦 − 𝑥 3 −

𝑦4 4

, donde 𝑥 es el tamaño de la fuerza de trabajo (en

horas de trabajo por semana) e 𝑦 es la cantidad de capital (en unidades de S/. 1000) invertido. Encuentre 𝑃𝑥 (𝑥, 𝑦) y 𝑃𝑦 (𝑥, 𝑦) cuando 𝑥 = 50 y 𝑦 = 20 e interprete los resultados.

12. En un día gélido, una persona puede sentir más frio cuando hay viento que cuando no lo hay, porque la tasa de perdida de calor es función tanto de la temperatura como de la velocidad del viento. La ecuación:

𝐻 = 10.45 + 10√𝑤 − 𝑤)(33 − 𝑡) señala la tasa de perdida de calor 𝐻 (en kilocalorías por metro cuadrado y por hora) cuando la

temperatura del aire es 𝑡 (en grados Celsius) y la velocidad del aire es 𝑤 (en metros por segundo).

Para 𝐻 = 2000, la carne al descubierto se congelaría en un minuto.

a) Evaluar 𝐻 cuando 𝑡 = 4, 𝑤 = 4.

b) Evaluar

𝜕𝐻 𝜕𝐻 , 𝜕𝑤 𝜕𝑡

cuando 𝑡 = 0, 𝑤 = 4, e interpretar los resultados.

c) Cuando 𝑡 = 0 𝑦 𝑤 = 4 ¿Qué ocasiona un mayor efecto sobre 𝐻: un cambio en la velocidad del viento de 1m/s, o un cambio de la temperatura de 1°C?

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS CÓDIGO UPN 515 LARS/C/2 2010 515 STEW/V 2008

CITA APA Larson, R. (2010). Cálculo 2. McGraw Hill. Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables: trascendentes tempranas. Cengage Learning. Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas. McGraw-Hill Interamericana.

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