Samenvatting toets rekenen 2 PDF

Preview

Summary

H1, 2, 3, 5, 6 en 7...

Description

Samenvatting rekenen: Meten en meetkunde 1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde Bij meten gaat het om het getalsmatig greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijdsduur  zijn grootheden. Een grootheid wordt afgepast met een maat, bv. Maateenheid meter voor de grootheid ‘lengte’. Een meting levert een meetgetal op, bijv. twee meter. Voor het meten kunnen allerlei meetinstrumenten worden gebruikt zoals liniaal, maatbeker. Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte. Bijv. plattegronden, routes en eigenschappen van vormen/figuren. Verder gaat het om projecties, schaduwen en patronen en om allerlei 2D en 3D weergaven van de werkelijkheid. Meetkunde is ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin en gaat niet om het opmeten. Bv. in gedachten een stuk papier vouwen.

1.1.1 Kwantiteit is een hoeveelheid. Kwantificeren betekent: ergens een getal aan toekennen. Als kinderen in gedachten de doos vullen met bv. Kubieke decimeters dan zijn ze ruimtelijk aan het redeneren. Vullen van de doos is opstapje naar formule lengte x breedte x hoogte voor berekenen inhoud. Bepaalde inhoud (bv. 1 liter) kan verschillende vormen aannemen  hier raakt meten en meetkunde elkaar weer.

1.1.3 Stelling van Pythagoras: meten en meetkunde komen ook samen. Stelt vaste relatie tussen lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek. De gulden snede is een verhouding die sinds de zeventiende eeuw staat voor een schoonheidsideaal: de mooiste verhouding die bestaat. Gaat ook om meten en meetkunde: in allerlei meetkundige figuren zijn afmetingen volgens deze verhouding terug te vinden. Het zou de mooist denkbare rechthoek opleveren. Ook wel goddelijke verhouding genoemd. Voorbeeld = de Vetruvische man. Lijnstuk in tweeën verdelen. Verhouding kleinste deel t.o.v. grootste deel = verhouding grootste deel t.o.v. hele lijnstuk.

1.2 Meten en meetkunde op de basisschool D.m.v. liniaal of maatbeker krijgen kinderen greep op bijv. de grootheden lengte en inhoud  ze beheersen de wiskundetaal een beetje, die van pas komt in het dagelijks leven. Andere overeenkomst tussen meten en meetkunde: het onderwijs kenmerkt zich in beide domeinen door redeneren en het ontwikkelen van een onderzoekende houding = wiskundige attitude.

1.2.2 Ook verschillen tussen de twee. Bij meten gaat het meestal om andere handelingen dan bij meetkundeactiviteiten. Bij meetkundeactiviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat en zijn kinderen vooral aan het doen, aflezen van meetinstrumenten, kennen en begrijpen. Het gaat vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het beredeneren hiervan.

1.2.3 De onderlinge samenhang kan in het onderwijs benut worden. Je kan het ook integreren met andere vakgebieden. Vb. inrichten van een winkelhoek of ontwerpen nieuw schoolgebouw waar rekenactiviteiten en meet(kundige) vragen aan bod komen. Construeren = bouwen. Representeren = afbeelden van de werkelijkheid zoals op een plattegrond of bouwtekening.

2.1 Meten en meetgetallen zijn overal Wanneer kom je meten/meetgetallen tegen? Snelheidsmeter, temperatuur, windsnelheid etc. Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid. In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties, zoals: 50 km per uur is de max. snelheid. 39 graden = koorts want lichaam hoort 37 graden te zijn  je gaat uit van een referentiegetal. Referentiemaat = bv. 1 stap = 1 meter.

2.1.1 Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar, bv. bij de maatbeker. Andere meetinstrumenten liggen in het verlengde van afpassen met een maat: bv. een rolmaat is een aaneenschakeling van meters. Indirect meten = als je de ene grootheid meet om een andere grootheid te bepalen. Bv. met unster wordt het gewicht van een voorwerp zichtbaar in de uitrekking van de veer. Een groter gewicht levert een grotere uitrekking op. Op meetinstrumenten is een schaalverdeling aanwezig. Soms heb je zelfs verschillende schaalverdelingen op hetzelfde instrument bv. met een maatbeker waarmee je een hoeveelheid vloeistof, suiker of meel kunt afmeten.

2.1.2 Getallen kunnen een verschillende meetnauwkeurigheid hebben: je zegt het is 19 graden buiten (is dus van 18,5 tot 19,5), maar als je de lichaamstemperatuur van iemand gaat meten dan zeg je dat diegene 38,2 graden is (van 38,15 tot 38,25). Zo’n afstand tussen twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt, heet een meetinterval. Bij bijv. 186 cm loopt het meetinterval van 1855mm tot 1865mm en is de meetfout ten hoogste 5 millimeter.

2.1.3 Een natuurlijke maat is bijv. een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden afgepast, zoals de voet voor de grootheid lengte. De meting hoeft in dat geval niet heel nauwkeurig te zijn. BLZ 33 PLAATJE. Vormen van indirect meten: De morgen werd gebruikt voor de hoeveelheid land die op een ochtend geploegd kon worden  tijdsduur werd als oppervlaktemaat gebruikt. Er ontstond de behoefte aan (inter)nationale standaardisering omdat iedere regio zijn eigen maten hanteerde. Dit was heel onhandig voor de handel. Kort na Franse revolutie  instellen metriek stelsel. Meter is als standaard maat gekozen. Aan de basiseenheid ‘meter’ werden andere maten gekoppeld, zoals de vierkante meter voor de grootheid oppervlakte. Ook maatverfijning zoals cm en km. Oude maten werden gelijk gesteld aan nieuwe maten: 1l = 1 dm3 1 are = 1 dam2 1 bunder = 1 hm2 1 ons = 100 gram 1 pond = 500 gram

1 kubieke decimeter 1 vierkante decameter 1 vierkante hectometer

Metriek stelsel = SI-stelsel = internationaal Stelsel van eenheden In sommige landen wordt er een ander systeem gehanteerd: het imperiale systeem. Het gaat hier om de historische oorsprong van de maten. De mile (mijl) is afgeleid van mille passuum (Romeinse tijd), waarmee 1000 (dubbele) passen werden aangeduid. De inch en foot zijn vergelijkbaar met de oude

maten duim en voet die in NL gebruikt werden. Het is lastig om van dit stelsel om te rekenen naar het metrieke stelsel. Bij imperiale stelsel is er namelijk geen sprake van de tientallige structuur.

2.1.4 Pico

Nano

Micro

Mili

Centi Deci

p

n

Iu

m 1/1000

c

Standaardmaat Deca

d

da 1

Hecto Kilo

Mega

Giga

V

h

M

G

T

k 1000

Decimale relatie tussen lengtematen = lengtematen worden steeds groter met een factor van 10. Bij oppervlakte is het een factor van 100  kwadratische relatie (want 100 is kwadraat van 10). Bij kubieke inhoudsmaten gaat het om een factor van 1000. Dit wordt een kubische relatie genoemd. PLAATJE BLZ 39.

2.2 Grootheden en maten Paragraaf 2.2 grootheden en maten Aangezien grootheden te maken hebben met uiteenlopende eigenschappen van de wereld om ons heen, treden bij het meten ervan specifieke verschillen op. De oppervlakte van een figuur is gelijk aan de som van de oppervlakten van de afzonderlijke delen van het figuur, dit is een transitiviteitseigenschap. Subparagraaf 2.2.1 lengte Deze grootheid kan om veel verschillende dingen gaan. Ook omtrek is een vorm van lengte. Lengte kan ook afstand inhouden. Meetinstrumenten zijn bijvoorbeeld liniaal, meetlint en rolmaat. De omtrek van een figuur kun je bepalen door een touwtje om de figuur heen te leggen. De formule voor de omtrek van een rechthoekige figuur: 2 x lengte + 2x breedte. Tussen de omtrek van een cirkel en de diameter ervan bestaat een vaste verhouding. Hiervoor gebruik je het getal pi. De omtrek van een cirkel is: pi x diameter. Subparagraaf 2.2.2 oppervlakte Bij de oppervlakte van een voorwerp kun je denken aan de hoeveelheid materiaal om dat voorwerp volledig te bedekken. Een van de standaardmaten voor oppervlakte is de vierkante meter. Een andere oppervlaktemaat is are, die 10 bij 10 meter meet. De samenhang tussen lengte en oppervlakte wordt duidelijk als de maten van een rechthoekig voorwerp veranderen. Als de afmetingen twee keer zo groot worden, wordt de oppervlakte in beide richtingen verdubbeld. De oppervlakte wordt dus vier keer zo groot. Voor oppervlakte is geen meetinstrument voor handen. Het bepalen van oppervlakte kan plaatsvinden via afpassend meten. Oppervlakte: lengte x breedte. Subparagraaf 2.2.3 inhoud Bij inhoud kan gedacht worden aan ‘dat wat er in past’. Een ander begrip voor inhoud is volume. Kubieke maten worden onder andere gebruikt voor de inhouden van vertrekken en gebouwen. Voor kubieke meter wordt ook de naam cc gebruikt. Bij litermaten gaat het om een decimale relatie tussen opeenvolgende maten. Kubieke maten geven daarvoor een grove verdeling. Een kubieke meter is ook wel een ton. Je kan ook gebruik maken van indirecte maten om inhoud te berekenen. Om inhoud van kubus of balk te bepalen, wordt de formule lengte x breedte x hoogte gehanteerd. Het verband tussen deze 3 wordt extra duidelijk als de afmetingen van en voorwerp veranderen. De inhoud van een kubus word in drie richtingen verdubbeld en wordt dus 8 keer zo groot. Subparagraaf 2.2.4 gewicht Het gewicht van een voorwerp is niet met het oog te meten. Daarom zijn we afhankelijk van

meetinstrumenten om het gewicht van bepaalde voorwerpen te vergelijken. Als referentiemaat bij de standaardmaat kilogram kan worden gedacht aan het gewicht van een pak suiker. Gewicht en massa zijn niet hetzelfde. Massa geeft de hoeveelheid materie aan: voorwerpen die van veel materiaal gemaakt zijn, hebben een grote massa. Bij gewicht gaat het om de kracht die de aarde uitoefent op een bepaalde massa: zwaartekracht. Subparagraaf 2.2.5 tempratuur Voor de grootheid worden wereldwijd verschillende tempratuurschalen gebruikt. In Europa wordt vooral gebruik gemaakt van de tempratuurschaal met eenheid graad Celsius. Veel mensen gebruiken meetreferenties die zijn gekoppeld aan het weer. Het absolute nulpunt ligt bij -237, 15 graden, dit is de laagste tempratuur die theoretisch bereikbaar is. In de natuur- en scheikunde wordt de tempratuurschaal van Kelvin gebruikt, met de eenheid kelvin die even groot is als de graad Celsius. De schaal van Kelvin begint bij het absolute nulpunt: O K is gelijk aan -237,15 graad Celsius. Onder meer in de Verenigde Staten wordt gebruikgemaakt van de tempratuurschaal met de eenheid graad Fahrenheit. Omrekenen graden Celsius= 5/9 x (graden Fahrenheit – 32). Maatverfijning is bij tempratuur niet aan de orde. Indien nodig worden meetresultaten met een of meer cijfers achter de komma weergegeven. Doordat er sprake is van tempratuurschalen kunnen negatieve getallen optreden. Subparagraaf 2.2.6 tijd Voor de grootheid tijd worden verschillende eenheden gebruikt, die in veel gevallen niet uitgaan van een decimale structuur. De indeling van uur in 60 minuten en de minuut in 60 seconden wordt sexagesimaal genoemd. Tijd heeft zowel een cyclisch als een lineair karakter. Cyclische karakter: te herkennen in de dagen van de week, de maanden en de seizoenen. Lineair karakter: tot uitdrukking in de jaartelling. Wereldwijd gelden verschillende tijdzones. De wereldwijde standaardtijd word aangeduid met de letter UTC. Wintertijd: Midden-Europese tijd die gelijk is aan UTC + 1. Zomertijd: Midden-Europese tijd die gelijk is aan UTC + 2. Er bestaan verschillende jaartellingen. International wordt de christelijke jaartelling als standaard gehanteerd. Onze huidige tijdmeting komt voort uit allerlei afspraken en regels die in de loop van de geschiedenis tot stand zijn gekomen. Lees dit even door op bladzijde 54. Tijd wordt genoteerd als hh:mm:ss. Seconden worden digitaal verfijnd, dus dit is tientallig tot 100. Ook voorvoegsels kunnen worden gebruikt. Jaartallen worden aangeduid volgens een tientallig systeem. Maten die worden gebruikt zijn onder andere: lustrum (5 jaar), decennium (10 jaar), eeuw (100 jaar) en millennium (1000 jaar). Voor het aanduiden datum volgende notatie ddmm-jj. Een jaar duurt 365, 2421875 dagen. Door per 4 jaar een schrikkeldag in te voegen, brengen we de lengte van het jaar op 365, 25. Subparagraaf 2.2.7 snelheid De samengestelde grootheid snelheid geeft verplaatsing per tijdseenheid weer. Bij het reizen worden snelheden meestal in kilometer per uur weergegeven. In de wetenschap en techniek worden snelheden meestal in meter per seconde uitgedrukt. Een ander voorbeeld betreft de snelheid waarmee de digitale data worden overgedragen. Subparagraaf 2.2.8 Geldelijke waarde is ook op te vatten als een grootheid. Met geld kan de waarde van dingen worden vergeleken. De munteenheid of valuta waar de waarde in wordt uitgedrukt, is bijvoorbeeld de euro. Vergeleken met andere grootheden is er wereldwijd op geldgebied weinig sprake van standaardisering, aangezien er veel verschillende munteenheden bestaan. Valuta kunnen in elkaar worden omgerekend via wisselkoersen. Hoewel munteenheden als betaalmiddel alleen binnen bepaalde landen of regio’s kunnen worden gebruikt, fungeren ze wel als rekeneenheid in het internationale betalingsverkeer. Bedragen kunnen als heel getal en als kommagetal worden weergegeven. De prijs van producten wordt soms tot op tienden van een eurocent nauwkeurig weergegeven. Om waarde van goederen met elkaar te vergelijken, hadden mensen aanvankelijk

voldoende aan vaste ruilverhoudingen. Later ontstond de behoefte aan een vast ruilmiddel dat een bepaalde waarde vertegenwoordigt. Lees dit even door op bladzijde 59. Subparagraaf 2.2.9 dichtheid Dichtheid is een samengestelde grootheid. Het gaat bijvoorbeeld om aantal per oppervlaktemaat of aantal per inhoudsmaat. Een ander voorbeeld is het aantal fijnstofdeeltjes per kubieke meter. Subparagraaf 2.2.10 hoek Hoek is een grootheid die het verschil tussen twee richtingen uitdrukt. In meetkundige termen gaat het om de hoek die twee snijdende lijnen in het platte vlak ten opzichte van elkaar maken. Als eenheid of hoekmaat wordt de booggraad of kortweg graad gebruikt: het stelsel is 360-tallig. Zo kan de mate van richtingverandering worden aangegeven. Als meetinstrument kan een kompas worden gebruikt. Subparagraaf 2.2.11 digitale data De omvang van digitale data kan tot uitdrukking worden gebracht met de eenheid bit (b), de is de kleinste mogelijke hoeveelheid informatie. Acht bits vormen samen een byte (B). bestandsgrootten worden in bytes weergegeven, waarbij voorvoegsels als kilo, mega, giga en tera worden gebruikt. Hoofdstuk 3 meten op de basisschool Bij meten op de basisschool staat het verwerven van vaardigheid en inzicht centraal. Het meetonderwijs draait om het zelf leren meten en kunnen rekenen en redeneren met meetgegevens. In meetonderwijs wordt gewerkt aan de ontwikkeling van maatbesef: kinderen krijgen zicht op de verschillende maten, kunnen zich bij die maten een voorstelling maken en begrijpen de samenhang tussen de maten. Paragraaf 3.1 schets van de leerlijn meten Kinderen doorlopen in de basisschoolperiode bij het domein meten globaal dezelfde stappen die de mensheid in de loop van de geschiedenis heeft gezet. De leerlijn meten start in de onderbouw met verkenning van grootheden en gaat van vergelijken en ordenen via afpassen met een maateenheid naar aflezen van een meetinstrument. Leerlingen doen ervaringen op met het organiseren van meethandelingen. Ze ontdekken de noodzaak om afspraken te maken over te hanteren maten. Vanaf groep 4 leren kinderen standaardmaten gebruiken. Ze leren een passende maat te kiezen en leren de tientallige samenhang van maten binnen een grootheid kennen. Bij de maten ontwikkelen ze maatreferenties. In hogere groepen verwerven kinderen inzicht in de opbouw van het metriek stelsel: ze leren meetgegevens te interpreteren, stil te staan bij de nauwkeurigheid van metingen en bij het optreden van meetfouten. Verder leren de kinderen rekenen en redeneren met meetgetallen in allerlei toepasingssituaties. De leerlijn is met name te herkennen bij de grootheden lengte, oppervlakte, inhoud en gewicht. Paragraaf 3.2 ontluikende maatbesef Jonge kinderen zijn bezig met het verkennen van de wereld om hen heen. Spelenderwijs ervaren ze dat sommige situaties aanleiding zijn om te tellen. Ook komen ze in aanraking met verschillen tussen voorwerpen of personen en beginnen te vergelijken. In het meetonderwijs staat vanaf groep 1 het ontluikend maatbesef centraal: kinderen leren verschijnselen en situaties uit het alledaagse leven kwantitatief te benaderen. Subparagraaf 3.2.1 groeiend inzicht in grootheden Aanvankelijk is het voor kleuters moeilijk om onderscheid te maken tussen verschillende grootheden als afzonderlijke eigenschappen. Ze moeten hier eerst een begrippenkader voor ontwikkelen. Door als leerkracht expliciet aandacht te schenken aan taalgebruik bij de verkenning van grootheden, ontwikkelen kinderen een passende meettaal en leren ze de begrippen. Jonge kinderen komen in allerlei situaties in aanraking met meetkundige aspecten van de werkelijkheid. Ze beheersen de

conservatieprincipe nog niet: het inzicht dat verandering van vorm niet van invloed is op de hoeveelheid. Door vele situaties aan bod te laten komen waarin leerlingen de verschillen tussen de afzonderlijke grootheden ervaren, ontstaat geleidelijk aan inzicht in het eigene van elke grootheid. Al doende ontwikkelen kinderen ook inzicht in hoe ze een grootheid kunnen meten. In de kleutergroepen krijgen de grootheden lengte, inhoud, oppervlakte en gewicht volop aandacht. Deze zijn namelijk al heel herkenbaar in de dagelijkse activiteiten. Als leerkracht is het belangrijk om spontane momenten aan te grijpen om te werken aan de reken-wiskundige ontwikkeling. Er kan een cognitief conflict ontstaan. Zo’n conflict helpt de kinderen om na te denken over de kenmerkende eigenschappen van grootheden. De grootheid tijd komt vanaf groep 1 en 2 ruim aan bod. Activiteiten zijn gericht op tijdsbeleving en de ontwikkeling van tijdsbesef: inzicht in tijdsduur en het verloop van tijd. Kinderen ervaren dat bepaalde gebeurtenissen steeds terugkeren. Hierbij gaat het om cyclische karakter van tijd. Ze krijgen ook zicht op het lineaire karakter van tijd. De ontwikkeling van meettaal van tijd krijgt vorm door activiteiten waarin kinderen gebeurtenissen aan momenten koppelen. Ze leren daarbij ook situaties beschrijven en te kwantificeren. Ook aandacht besteden aan het subjectieve karakter van tijd. Leerlingen doen eerst ervaringen op met het verbinden van tijdsduur aan activiteiten en gebeurtenissen. Subparagraaf 3.2.2 vergelijken De meeste elementaire vorm van meten is door twee of meer voorwerpen direct met elkaar te vergelijken. Bij vergelijken wordt nog geen getal toegekend aan de meting. Kleuters verkennen daarbij zowel situaties waarbij de inhoud vast of vloeibaar is. Oppervlaktes ook verkennen. Er kunnen situaties ontstaan waarin kinderen verschillende voorwerpen als maat samennemen. Transitiviteitseigenschap: het inzicht dat de oppervlakte van een voorwerp even groot is als de som van de afzonderlijk delen waar het voorwerp uit bestaat. In sommige situaties lukt het niet om voorwerpen rechtstreeks met elkaar te vergelijken. In zulke situaties worden kinderen uitgedaagd om een intermediair te vinden waarmee de vergelijking toch kan worden gemaakt. Het vergelijken van intermediair is een belangrijke opstap richting het hanteren van meetinstrumenten. Ook een balans waarmee het gewicht van voorwerpen kan worden vergelijken, is te zien als een intermediair. Zo leren ze dat gewicht niet hoeft samen te hangen met aantal en hoeveelheid. Dit is een opstap naar het meten van gewicht met een afgesproken taal. Door het vergelijken herhaald uit te voeren, kunnen meer dan twee voorwerpen met elkaar worden vergeleken en wordt een ordening mogelijk. Seriëren: ordenen op grond van een eigenschap. Subparagraaf 3.2.3 afpassen van maten Jonge kinderen kennen uit zichzelf vaak allerlei getalsmatige informatie toe aan voorwerpen of personen. Vanuit deze neiging om te kwantificeren, ontstaat het afpassen van maten. Kinderen gebruiken aanvankelijk een natuurlijke maat of een andere afgesproken maat om via afpassen en tellen tot een meetresultaat te komen. Met namen dit tellend afpassen is een essentiële vaardigheid ...