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Matemática para Ingenieros 2Integrales Dobles: CENTRO DE MASA Y MOMENTOS DE INERCIASemana 07 Sesión 13EJERCICIOS EXPLICATIVOS Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región acotada por la parábola 푥 2 = 4 − 4푦 y el eje X; Calcular las coordenadas del centro de graved...

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Matemática para Ingenieros 2 Integrales Dobles: CENTRO DE MASA Y MOMENTOS DE INERCIA Semana 07

Sesión 13

EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región acotada por la parábola 𝑥 2 = 4 − 4𝑦 y el eje X; 2. Calcular las coordenadas del centro de gravedad limitada por las curvas: 𝑦 2 = 4𝑥 + 4 𝑦 2 = −2𝑥 + 4. 3. Calcular la masa y el centro de masa de la lámina en la forma de una región acotada por la curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 y el eje X de 𝑥 = 0 𝑎 𝑥 = 𝜋, si la si la densidad de área es 𝜌 (𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠/𝑝2 ).densidad de área varía con la distancia al eje X. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región acotada por un círculo de radio “a” unidades con respecto a su centro, si la densidad de área es 𝜌 (𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠/𝑝2 ). 2. Encontrar el momento de inercia de una lámina en la forma de la región encerrada por la lemniscata 𝑟 2 = 𝑎2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 respecto al eje polar. La densidad de área varía con la distancia desde el polo. 3. Calcular las coordenadas del centro de gravedad limitada por la cardiode: 𝑟 = 𝑎(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃).

4. Calcular las coordenadas del centro de gravedad de un sector circular de radio a, cuyo ángulo central es 2𝛼. 5. Calcular las coordenadas del centro de gravedad limitada por las curvas: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑎2 Comprendida dentro del Cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎𝑦.

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Calcular la masa de una placa cuadrada de lado “𝑎”, cuya densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la distancia entre este punto y uno de los vértices del cuadrado. 2. Calcular la masa de una placa circular de radio r, si su densidad es inversamente proporcional a la distancia entre un punto y el centro y es igual a 𝛿 en el borde de la placa. 3. Hallar el área de la parte del plano 𝑧 = 𝑥 encerrado dentro del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 por encima del plano 𝑧 = 0. 4. Encontrar la masa de una región plana acotada por un arco de la curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥, y el eje X, si la densidad es proporcional a la distancia desde el eje X. 5. Hallar el área de la superficie del cono situada dentro del cilindro 𝑥 2 + 𝑦2 = 1 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. 2𝑎4 𝑘/3 2. 2π𝑟 2 𝛿 3. 2√2 𝜋

4.

𝜋𝑘 4

5. 𝜋...