Signalverarbeitung und Steuerung WS2016 Rechenuebungen PDF

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Aufgabe 1: a)

Kontinuierliche Faltung

Ermitteln und skizzieren Sie das Faltungsprodukt s1  t   s2  t  der Signale

s1  t     t  e t T1 und s2  t     t  e t T2 . Welches Ergebnis erhalten Sie im Spezialfall T1 = T2 = T? b) Ermitteln und skizzieren Sie das Faltungsprodukt s1  t   s2  t  der Signale

s1  t     t  e t T1 sin  2f1t  und s2  t     t sin 2f2 t  . c)

Ermitteln und skizzieren Sie das Faltungsprodukt rect  t T   rect  t T  . Es gilt:  1 für t t  1 2 rect  t T    t  T 2    t  T 2     0 für t t  1 2

Aufgabe 2 a)

Zeitdiskrete Faltung/Entfaltung

Berechnen Sie mittels diskreter Faltung das Ausgangssignal eines Systems mit dem Eingangssignal {s(k)} = {1; -1; 1; 1} und der Impulsantwort {h(k)} = {-1; 2; -1}.

b) Berechnen Sie mittels zeitdiskreter Entfaltung die Impulsantwort eines diskreten Systems mit dem Eingangssignal {s(k)} = {1; 2; -1; -2} und dem Ausgangssignal {g(k)} = {5; 6; 10; -2; 2; -2; 3; -2}. c)

Berechnen Sie die diskrete Faltung der Signalfolge {s(k)} = {rect24(k)0.9kcos(2k/8)} mit der Impulsantwortfolge {h(k)} = {1; 0; -1}/2

Aufgabe 3: a)

Fouriertransformation

Berechnen Sie die Fouriertransformierte S(f) des in Bild 3.1 skizzierten Rechtecksignals rect  t T  = 1 für |t/T| ≤ 0,5 sonst = 0 und stellen Sie das Ergebnis (Realteil, Imaginärteil, Betrag, Phase) grafisch dar. 1

rect(t/T)

t

T/2

-T/2

Bild 3.1: Rechtecksignal b) Berechnen Sie die Fouriertransformierte S(f) des in Bild 3.2 skizzierten Dreiecksignals und stellen Sie das Ergebnis (Realteil, Imaginärteil, Betrag, Phase) grafisch dar. (t/T) 1

-T

T

t

Bild 3.2: Dreiecksignal c)

Berechnen Sie die Fouriertransformierte S(f) des Signals s  t     t  t  e  t T1 sin  2f 1t  Vergleichen Sie die Fouriertransformierten der Signale s(t) und s(-t).

Aufgabe 4:

Kontinuierlicher Frequenzgang/Impulsantwort

Gegeben ist das in Bild 4.1 skizzierte System. R u1(t)

L

C

u2(t)

Bild 4.1: Kontinuierliches System zweiter Ordnung a)

Ermitteln Sie unter Verwendung komplexer Impedanzen den Frequenzgang H(f) des Systems.

b) Bestimmen Sie den Amplitudengang und den Phasengang des Systems als Funktionen der Frequenz. c)

Bestimmen Sie die Gruppenlaufzeit und die Phasenlaufzeit des Systems als Funktionen der Frequenz.

d) Bestimmen Sie aus dem Frequenzgang die Impulsantwort h(t) des Systems als Funktion der Zeit.

Aufgabe 5: a)

Laplacetransformation

Berechnen Sie die Laplacetransformierte S(p) des Signalss  t     t e t T sin  2f 0t  und Stellen Sie das Signal grafisch dar. Geben Sie den Konvergenzbereich an.

b) Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung des Signals s(t) und deren Laplacetransformierte. c)

Bestimmen Sie unter Verwendung einer Partialbruchzerlegung die inverse Laplacetransformierte der gebrochen rationalen Bildfunktion p2  2s 1p  5s 2 .  p2  5s1p 8s2  p  4s1 

Aufgabe 6:

Kontinuierliche Übertragungsfunktion/Impulsantwort

Gegeben ist das in Bild 6.1 skizzierte System. L

R u1(t)

C

u2(t)

Bild 6.1: Kontinuierliches System zweiter Ordnung a)

Ermitteln Sie unter Verwendung komplexer Impedanzen die Übertragungsfunktion H(p) des Systems.

b) Bestimmen Sie die Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion und skizzieren Sie unter Verwendung der Parameter R = 10 Ω, L = 1 mH und C = 1 µ F das Pol-/NullstellenDiagramm. c)

Geben Sie den Konvergenzbereich an.

d) Ermitteln Sie unter Verwendung einer Partialbruchzerlegung die Impulsantwort des Systems.

Aufgabe 7:

Zeitdiskrete Übertragungsfunktion/Impulsantwort

Gegeben ist die Differenzengleichung g k  2   0, 25g k  1  0,75g k   s k  , die das in Bild 7.1 skizzierte zeitdiskrete System beschreibt.

s(k)

h(k)

g(k) = s(k) * h(k)

Bild 7.1: Zeitdiskretes LTI-System a)

Transformieren Sie die Differenzengleichung mittels Z-Transformation in den Bildbereich. Ermitteln Sie Z-Transformierte G(z) des Ausgangssignals.

b) Geben Sie die Übertragungsfunktion H(z) des Systems an. c)

Ermitteln Sie daraus den Frequenzgang H(ej2πfT) des Systems mit Betrag und Phase.

d) Bestimmen Sie unter Verwendung einer Partialbruchzerlegung die zeitdiskrete Impulsantwort {h(k)} des Systems.

Aufgabe 8: a)

Systeme von Differenzialgleichungen

Stellen Sie ein System von Differenzialgleichung erster Ordnung auf, das das in Bild 8.1 skizzierte System vollständig beschreibt. Wählen sie als Zustandsvariablen die Spannung an der Kapazität C und den Strom durch die Induktivität L. Die Kapazität trägt zum Zeitpunkt t = 0 die Anfangsladung Q0. Der Anfangsstrom durch die Induktivität sei gleich null.

R1

L

u(t)

R2

C

y(t)

Bild 8.1: RLC-Schaltung zweiter Ordnung b) Transformieren Sie das System von Differenzialgleichungen mittels Laplacetransformation in den Bildbereich und bestimmen Sie die Laplacetransformierten X1(p) und X2(p) der Zustandsvariablen als Funktion der Laplacetransformierten U(p) des Eingangssignals und des Anfangswertes x1(0).

Aufgabe 9:

Systembeschreibung im Zustandsraum

Ein LTI-System 2. Ordnung wird mit seinen Zustandsgleichungen beschrieben. x  t

A x  t   B u  t 

Die Matrizen lauten: a)

y  t   C x  t   D  u  t 

1   0 A    1  0 

  B  0   0

C  1 0 

D  0 

Bestimmen Sie die Transitionsmatrix   t   eAt

Hinweis:

Verwenden Sie eine Matrixinversion im Bildbereich und eine anschließende elementweise inverse Laplacetransformation. 1

Inversion einer 2x2-Matrix:

1  m 11 m 12   m 22 m 12   m  m11m 22  m12m 21  m 21 m11   21 m 22 

b) Ermitteln Sie die Impulsantwort des Systems und stellen Sie diese mit den Zahlenwerten α1 = 2 s-2, α0 = 3 s-1 und β0 = 1 s-1 grafisch dar.

Aufgabe 10: Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit a)

Ermitteln für das in Bild 10.1 skizzierte System die Zustandsraumbeschreibung mit den Matrizen A, B, C und D. Wählen Sie als Zustandsvariable den Strom durch die Induktivität und die Spannung an der Kapazität.

Beachten Sie, dass das rechte Ende des Schaltungszweiges mit dem Widerstand R3 und der Kapazität C mit keiner weiteren Schaltung verbunden ist. R3 C R1 u(t)

R2

y(t)

L

Bild 10.1: RLC-Schaltung zweiter Ordnung b) Überprüfen Sie mit Hilfe der Steuerbarkeitsmatrix S und der Beobachtbarkeitsmatrix Q, ob das System vollständig steuerbar resp. beobachtbar ist.

Aufgabe 11: (Systembeschreibung im Zustandsraum) Gegeben ist ein System nach Bild 11.1 mit dem Eingangssignal u(t) und dem Ausgangssignal y(t).

L

R1

C

u(t)

y(t)

R2

Bild 11.1: LTI-System a)

Wie viele Zustandsvariable würden Sie wählen um das System vollständig zu beschreiben ? (kurze Begründung)

b)

Geben Sie die Dimensionen sämtlicher das System vollständig beschreibender Matrizen an.

c)

Wählen Sie jetzt als Zustandsvariable die an der Kapazität C abfallende Spannung uC(t) sowie den durch die Induktivität L fließenden Strom i(t).

d)

Stellen Sie ein Differenzialgleichungssystem auf, das das System vollständig beschreibt.

e)

Bestimmen Sie die Matrizen A, B, C und D der Vektor-Matrix-Gleichungen  dx t    A  x t  B u t dt

   y t  C  x t  D  u t

Das System erhält jetzt, wie in Bild 11.2 skizziert, zwei Ausgänge

L

R1

C

u(t) R2

y2(t) y1(t)

Bild 11.2: LTI-System mit 2 Ausgängen f)

Geben Sie an, welche der oben angegebenen Matrizen A, B, C bzw. D sich dadurch ändern.

g)

Bestimmen Sie die Matrizen, die durch die Erhöhung der Anzahl der Ausgänge modifiziert werden.

Aufgabe 12

(Differenzengleichungen/Z-Transformation)

Die rekursive Beziehung g(k+2) = g(k+1) + g(k)

für k ≥ 0

mit den Startwerten g(0) = 0, g(1) = 1

liefert die Folge der sogenannten Fibonacchi-Zahlen. Entwickeln Sie mit Hilfe der Z-Transformation einen nicht rekursiven Ausdruck für g(k). Bestimmen Sie damit g(100), g(1000) und g(10000).

Alternativ Die Differenzengleichung g(k+1) = g(k) + k + 1 für k ≥ 0 beschreibt die Summation aller natürlichen Zahlen von 0 bis k + 1. Es gilt: g(0) = 0. Transformieren Sie die Differenzengleichung in den Z-Bereich und bestimmen Sie G(z). Bestimmen Sie {g(k)} mittels der inversen Z-Transformation. Geben Sie die Zahlenwerte g(100), g(1000) und g(10000) an.

Aufgabe 13

(System 2. Ordnung)

Gegeben ist die RLS-Schaltung nach Bild 13.1. R1

ue(t)

R2

C

L

ua(t)

Bild 13.1: RLC-Schaltung zweiter Ordnung a)

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des Systems.

b)

Bestimmen Sie den Frequenzgang des Systems mit Betrag und Phase.

c)

Ermitteln Sie aus dem in Unterpunkt a) Differenzialgleichung, die das System beschreibt.

d)

Bestimmen Sie die Impulsantwort des Systems.

bestimmten

Frequenzgang die...