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Strömungslehre Grundlagen Prof. Claudia Ziller

Strömungslehre Grundlagen Vorlesung Kapitel 3 Strömung (Dynamik) idealer Fluide

© Prof. Dr. Claudia Ziller, TH Köln, Vorlesungsunterlagen zur Veranstaltung Strömungslehre, Weitergabe an Dritte ist nicht gestattet, jedwede Verwendung – auch auszugsweise – bedarf der vorherigen Zustimmung des Urhebers

Strömungslehre Grundlagen Prof. Claudia Ziller

Wo sind wir: Grundbegriffe anwenden auf …

Hydrodynamik

Hydrostatik Druck in Fluiden Hydrostatisches Grundgesetz Druckfortpflanzung

Grundbegriffe und erstes Grundgesetz anwenden, um …

Grundbegriffe Strömung Ideale Fluide: Massenerhaltung Energieerhaltung

Kräfte verursacht von  ruhenden Fluiden  bewegten Fluiden

Reale Fluide: Reibung / Zähigkeit Turbulenz Rohrströmungen Analogie Durchströmung  Umströmung

Kräfte  Umströmung von Körpern Grenzschicht & -ablösung Hydrodynamischer Auftrieb

Kräfte in ruhenden Fluiden Hydrostatischer Auftrieb

Erhaltungssätze übertragen auf …

Impulserhaltung Impulsstrom

Umströmungskräfte  Wucht der Strömung

Strömungslehre Grundlagen Prof. Claudia Ziller

Inhalt Kapitel III I.

Grundbegriffe der Hydrostatik

II. Hydrostatik Kräfte in ruhenden Fluiden Hydrostatischer Auftrieb

III. Dynamik idealer (reibungsfreier) Fluide Energie- und Massenerhaltung

IV. Dynamik realer (reibungsbehafteter) Fluide Zähigkeit und Reibung Turbulenz Strömungswiderstände / Druckverlust in Rohrströmungen

V. Umströmung von Körpern Strömungswiderstandskräfte, aerodynamischer Auftrieb

VI. Strömungsimpuls Impulserhaltung 3

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Ideale Fluide – idealisierte Fluide Bewegung von „Fluidteilchen“ mit folgenden Eigenschaften: Keine Viskosität (Zähigkeit / Zähflüssigkeit)  𝜂 𝑏𝑧𝑤. 𝜈  0  reibungsfrei  keine Reibung an Wänden und innerhalb des Fluides

Was sind ideale Fluide

Weitere Eigenschaft idealer Fluide: Parallele Bewegung  Schichtenströmung / laminare Strömung  die Wege der Fluidteilchen kreuzen sich nicht Bewegungsrichtungen der Fluidteilchen

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Definition der Stromlinie (Bahnlinie) Hilfsmittel zur anschaulichen Beschreibung einer Strömung,  zeigt das momentane Strömungsfeld

Geschwindigkeitsvektor

Stromlinie Stromlinien sind diejenigen Linien, an welchen der Geschwindigkeitsvektor (rot) in jedem Punkt tangential anliegt.

Grundbegriffe

Stationäre Strömung

 Weg eines Fluidteilchens  zeitlich unveränderlich  können sich nicht überschneiden

Eigenschaften: Stromlinienverdichtung  Beschleunigung der Strömung Stromlinienaufweitung  Verzögerung der Strömung 5

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Schichtenströmung / laminare Strömung Lamina (lat.) = Platte Farbstoff

Reynolds Farbfadenversuch

Farbfaden

Osborne Reynolds 1883 in Cambridge

u

Experiment: Beobachten Sie die Veränderung der Strömung aus einem Wasserhahn.  Unterschied zwischen Wasserstrahl bei „vorsichtigem“ Aufdrehen …  .. und dem Wasserstrahl bei größeren Ausflussmengen

Sichtbarmachung des Stromfadens einer laminaren Strömung  parallele Bewegung

 Rohrströmung mit gleich großer und gleichgerichteter Geschwindigkeit

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Unsere Werkzeuge Werkzeuge

Werkzeuge

Bilanzierung ist immer möglich Massenbilanz

Energiebilanz

Kontinuitätsgleichung

Bernoulligleichung

Impulsbilanz

7

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Massenerhaltung - Kontinuitätsgleichung Definition: Der Massenstrom in einem durchströmten System ist konstant „Was vorne reinkommt, muss auch hinten wieder rauskommen.“

𝑚󰇗  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 ↔ 𝑚󰇗  𝑚󰇗 𝑚󰇗

Kontinuität = Massenerhaltung

𝑚󰇗  𝑚󰇗  𝑚󰇗

𝑚󰇗

𝑚󰇗

𝑚󰇗

𝑚󰇗

𝜌 · 𝐴 · 𝑣  𝜌 · 𝐴 · 𝑣  𝜌 · 𝐴 · 𝑣 mit 𝜌  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝐴 · 𝑣  𝐴 · 𝑣  𝐴 · 𝑣 mit 𝑣 · 𝐴  𝑉󰇗

1

2

3

𝑉󰇗  𝑉󰇗  𝑉󰇗 ↔ 𝑉󰇗  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

Bei Verzweigungen / Vereinigungen:

𝑉󰇗 𝑉󰇗 𝑉󰇗

𝑉󰇗  𝑉󰇗  𝑉󰇗

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Anwendung der Massenerhaltung - Kontinuitätsgleichung Durch den Schlauch einer Feuerlöschleitung mit 75 mm Durchmesser wird das Wasser mit einer Geschwindigkeit von 8 m/s gedrückt. Mit welcher Strömungsgeschwindigkeit bewegt sich das Wasser im angesetzten zweiten Schlauch, wenn dieser einen Durchmesser von 48 mm hat?

𝑣  ?

𝑣  8 𝑚/𝑠 𝑑  75 𝑚𝑚 1

2

𝑑  48 𝑚𝑚

Konti: 𝑉󰇗  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.  𝐴 · 𝑣 𝐴 · 𝑣  𝐴 · 𝑣 

mit: 𝐴   𝑑

𝜋  𝜋  𝑑 · 𝑣  𝑑 · 𝑣 4 4 𝑣 

𝑑 𝑑



· 𝑣 9

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Kontinuitätsgleichung im (kompressiblen 𝜌  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.) Verkehr? Oder wie entsteht Stau?

Kontinuität = Massenerhaltung









50 30

10

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Herleitung der Bernoulli-Gleichung (Energiebilanz) oder auch Eulersche Bewegungsgleichung: 1 Arbeit W:

∆𝑉

𝑊  𝐹 · ∆𝑠  𝑝 · 𝐴 · ∆𝑠  𝑝 · ∆V 2

Bezogen auf die Stellen 1 und 2:

∆𝑉

ℎ

Energie einer Strömung

ℎ Aus der Physik / (Festkörper)Mechanik:

𝑊  󰇛𝑝  𝑝 󰇜 · ∆V Änderung der potentiellen Energie ( 𝐸  𝑚 · 𝑔 · ℎ):

∆𝐸  󰇛ℎ  ℎ  󰇜 · 𝑔 · ∆𝑚 Änderung der kinetischen Energie ( 𝐸 

1 · ∆𝑚 · 󰇛𝑢  𝑢 󰇜 2

𝑢 𝑚): 2

Die von einem Körper oder an einem Körper verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung seiner Energie.

∆𝐸 

Für das Volumenelement gilt:

1 𝑝  𝑝 · ∆V  ℎ  ℎ · 𝑔 · ∆𝑚  · ∆𝑚 · 󰇛𝑢  𝑢  󰇜 2 ∆𝑚 Mit ∆𝑉  und sortiert nach den Punkten 1 und 2: 𝜌

𝑊  ∆𝐸  ∆𝐸

𝑝 𝑢 𝑝 𝑢   𝑔 · ℎ    𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.  𝑔 · ℎ  2 𝜌 𝜌 2

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Energieerhaltung oder Bernoulli-Gleichung: 1

∆𝑉 𝑝

𝑢

2

𝑝

Energieerhaltung - Bernoulli

ℎ ℎ

∆𝑉 𝑢

Daniel Bernoulli geb. um 1700 in Basel Mathematiker und Physiker

Angewendet auf zwei Systempunkte einer Stromröhre:

𝑢 𝑝 𝑢 𝑝  𝑔 · ℎ   𝑔 · ℎ   𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.  𝜌 𝜌 2 2 Druckenergie + Lageenergie

+ kinetische Energie = konstant

Dies ist eine der wichtigsten Grundgleichungen der Fluiddynamik!

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Formen der Bernoulli-Gleichung / der Energieerhaltung: Bernoulli-Gleichung (Energieform)

Varianten der Energiegleichung

𝑝 𝑢 𝑝 𝑢   𝑔 · ℎ   𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.  𝑔 · ℎ  2 2 𝜌 𝜌

Bernoulli-Gleichung (Druckform - multipliziert mit ρ) 𝜌 𝜌 𝑝  𝜌 · 𝑔 · 𝑧  𝑢  𝑝  𝜌 · 𝑔 · 𝑧  𝑢  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 2 2

Bernoulli-Gleichung (Höhenform – dividiert durch g) 𝑝 𝑝 1  1  𝑢  𝑢  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.  𝑧   𝑧  2𝑔 2𝑔  𝜌·𝑔 𝜌·𝑔

Alle 3 Gleichungen sind gleichwertig anwendbar und gleich in ihrer Aussage!

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Grafische Darstellung der Erhaltungsgleichungen

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Energieerhaltung grafisch 𝑝  0

Energielinie = konst.

𝑝 𝜌·𝑔

Druckhöhe

𝑝 𝜌·𝑔

𝑝 𝜌·𝑔

𝑢 2𝑔 z0

𝑢 2𝑔

z1 Ortshöhe

Geschwindigkeitshöhe

𝑢 2𝑔

z2

Höhenlinie

z3 0 Bernoulli hier in der Höhenform :

1

2

3

𝑢 𝑝 𝑢 𝑝 𝑢 𝑝  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.  𝑧    𝑧  ⋯  𝑧  2𝑔 2𝑔 𝜌 · 𝑔 2𝑔 𝜌·𝑔 𝜌·𝑔

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Energieanalyse mit Bernoulli Anwendungsschema 𝑝

1

ℎ

4

2

𝑑 , 𝑙

ℎ

𝑑 , ℎ 

5

𝑝 𝑧0

Energieanalyse

3

𝑢

𝑙

𝑢 6

Schritt 1

Stromlinie / Systempunkte der Stromröhre festlegen und Orte kennzeichnen

Schritt 2

Festlegung Referenzniveau / Bezugsniveau

Schritt 3

Bernoulli aufstellen für gewählte Orte (z.B. von 1  4), Parameter bestimmen 𝑝 𝑢 𝑝 𝑢  𝑔 · ℎ     𝑔 · ℎ   𝜌 𝜌 2 2

ℎ  ⋯

ℎ  ⋯

𝑝  𝑝

Schritt 4

evtl. weitere Gleichung(en) (z.B. Konti) aufstellen 𝜋  𝜋 𝐴 · 𝑢  𝐴 · 𝑢 oder 𝑑 · 𝑢  𝑑 · 𝑢 4 4

Schritt 5

Umformen / Einsetzen der Gleichungen / Algebraische Umformungen

𝑢  0

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Anwendung der Erhaltungsgleichungen Beispiel aus der Natur…: Bauten Präriehunde: Unterschiedliche Höhe der Eingänge

𝑝

1

𝐴

𝐴

 Konti:

Anwendung Erhaltungsgleichungen

2

𝑝

𝐴 · 𝑢  𝐴  · 𝑢  𝑢  𝑢 𝑧  𝑧

𝑧  𝑧

𝑢 𝑢  𝜌 ·  𝜌 ·  𝜌 · 𝑔 · 𝑧  𝑝  𝑝 𝜌 · 𝑔 · 𝑧      Bernoulli: 2 2  Druckgefälle zwischen den Ein-/Ausgängen 𝑝  𝑝  Lüftungsströmung (Ausgleichsströmung)

… und bei uns Menschen:

Nutzung Unterdruck Ansaugen. Ansaugen Innenraumluft

Wind Drucksenkung Kammer durch hohe Geschwindigkeit Prozess

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Energieanalyse – Beispiel Übungsaufgabe

Beispielaufgabe - Teilaufgabe aus den Übungen d1

pB

h1 l3 d1 d2 d4 ρ l2

h1 pAblauf d2 l2

4m 3m 1,5m und d1 >> d2 120mm Rohrdurchmesser 100mm Düsendurchmesser 1000 kg/m³ ?

pB

l3 d4

Aufgabenstellung:

Wie lang muss das Rohr l2 sein damit die Drücke im Abfluss und im Behälter gleich groß sind (pBehälter = pB = pAblauf)? 18

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Energieanalyse – Beispiel Übungsaufgabe

Lösungsweg Schritt 1 Orte kennzeichnen Stromlinien festlegen

d1

pB

1

h1

Wo sind bekannte Parameter? Wo sind gesuchte Parameter? 2

Schritt 2 Bezugsniveau festlegen (z = 0)

d2

Welche geometrischen Größen sind gegeben oder gesucht?

l2

pB

l3 (z=0)

h1 l3 d1 d2 d4 ρ l2

4 3

d4

4m 3m 1,5m und d1 >> d2 120mm Rohrdurchmesser 100mm Düsendurchmesser 1000 kg/m³ ?

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Energieanalyse – Beispiel Übungsaufgabe

Lösungsweg Schritt 3 Bernoulli aufstellen und Parameter bestimmen (1) Bernoulli (Energieform) 1 → 4 𝑔 · 𝑧  mit

𝑢 𝑝 𝑝 𝑢  𝑔 · 𝑧     2 𝜌 𝜌 2

𝑝  𝑝  𝑝

h1

und 𝑢  0 󰇛𝐴 ≫ 𝑑  󰇜

𝑢 2 Geom.: 𝑧  0 und 𝑧  ℎ  𝑙  ⇒ 𝑔 · 𝑧  𝑔 · 𝑧 

⇒ 𝑙 

2

𝑢  ℎ 2·𝑔

d2 l2

(2) Bernoulli (Energieform) 2 → 4

mit

𝑝  𝑝  𝑝  𝑝

⇒ 𝑔 · 𝑙 

𝑢 2



𝑢

pB

l3

𝑝 𝑢 𝑝 𝑢 𝑔 · 𝑧    𝑔 · 𝑧   2 𝜌 𝜌 2 !

d1

pB

1

4

(z=0)

Geom.: 𝑧  0 𝑧  𝑙

3

d4

2

Schritt 4: (3) Konti 𝑉󰇗  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

⇒ 𝐴  · 𝑢  𝐴 · 𝑢 

⇒ 𝑢 

𝑑 ·𝑢 𝑑 

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Energieanalyse – Beispiel Übungsaufgabe

Lösungsweg Schritt 5 Einsetzen / Umformungen (3) → (2)

𝑢

(4) → (1) 𝑙 



h1

2 · 𝑔 · 𝑙 𝑑 1  𝑑

1 2·𝑔



(4) 2

d2

2 · 𝑔 · 𝑙 1

𝑑 𝑑

Auflösen nach 𝑙 :

𝑙 

d1

pB

1

ℎ 1 1 1𝐷



l2

 ℎ

mit

pB

l3 𝐷

𝑑 𝑑

4



(z=0)

3

d4

 4,3𝑚

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Bernoulli (grafisch) – Klausuraufgabe WS 2017/2018 Skizzieren Sie für die abgebildete Anordnung qualitativ die Energiediagramme entlang des betrachteten Stromfadens für eine ideale Strömung und eine reale Strömung.

Erhaltungsgleichungen

Tragen Sie dies IN die unten abgebildeten Skizzen ein und bezeichnen Sie die Energielinie und die einzelnen Energieanteile (kin. Energie u²/2, Druckenergie p/ρ und pot. Energie gꞏz) eindeutig.

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Bernoulli (grafisch) – Klausuraufgabe WS 2017/2018

𝐸  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑔·𝑧

Erhaltungsgleichungen

𝑢 2

Freistrahl  p0 (Umgebungsdruck)

𝑝 𝜌

1

2

3

4

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Behälterausströmung Ausflussgesetz von Toricelli (stationär!  hW = konst.)

Bernoulli (Energieform): p1 = p2

p1  pB  0

1

𝑧 ℎ 𝑧  0

p2  pB  0

p1 = p 2 = pB u1 0 mit A1>>A2

𝑢  ?

𝑢  

Ausströmung - stationär

Torricelli: Toricelli (instationär!  hW  konst.) 𝐴 󰇛𝑡  𝑡 󰇜 𝑧 󰇛𝑡  𝑡 󰇜

𝐴

𝑧  0 𝑢 󰇛𝑡  𝑡 󰇜  ?

p2 = p1

Randbedingungen:

Referenzniveau

2

0

𝑝 𝑢 𝑢 𝑝  𝑔 · 𝑧   𝑔 · 𝑧   𝜌 𝜌 2 2

𝐴 󰇛𝑡  𝑡 󰇜

𝑧 󰇛𝑡  𝑡 󰇜 𝑧  0

𝐴

A0 = konst. für Rechteck-, Zylinderbehälter A0 = A(z) für Kegel, Kugeln → numerische Lösungen

2 · 𝑔 · 󰇛𝑧  𝑧 󰇜 2 · 𝑔 · ℎ

𝑢 󰇛𝑡  𝑡 󰇜  ?

Instat. Torricelli:

𝑢 󰇛𝑡󰇜 

2 · 𝑔 · 𝑧󰇛𝑡󰇜 24

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Druckdefinitionen Körperumströmung

Druckdefinition - Druckmessung

Staupunkt

u∞ = u1

u∞ 𝑧  𝑧

Bernoulli (Druckform):

u2 = uStau = 0

𝑧  𝑧 𝜌  𝜌 𝑝  𝜌 · 𝑔 · 𝑧  𝑢  𝑝  𝜌 · 𝑔 · 𝑧  𝑢 2 2

0

Staupunkt Körperoberfläche  u = 0  pd = 0

Druckdefinitionen:

𝑝  𝑝  𝑝  𝑝  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

(hydro)statischer Druck dynamischer Druck = Staudruck Totaldruck / Gesamtdruck

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Druckmessungen Messung: Strömungsdruck pflanzt sich im Messrohr fort → kann als Flüssigkeitssäule gemessen werden.

Piezorohr

Druckbegriff - Druckmessung

piezo (griech.) = Druck

𝑝

𝑝  𝑝  𝑝

Pitotrohr Staudrucksonde, benannt nach Henry Pitot

𝑝  𝑝  𝑝

u 

Piezorohr: Standrohr senkrecht zur Strömungsrichtung, Messung statischer Druck Pitotrohr: Rohr mit Öffnung in Strömungsrichtung, Messung Gesamtdruck 26

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Druckmessungen

Prandtl - Rohr Kombination aus Pitotrohr und Piezorohr

𝑝

𝑝  𝑝  𝑝

Druckbegriff - Druckmessung

𝑝

𝜌  𝑢  𝑝  𝑝  𝑝 2  Messung der Geschwindigkeit

𝑝

u

𝑝

Ludwig Prandtl 1904 in Göttingen

Empfindlich bei kleinen Abweichungen der Ausrichtung gegenüber der Strömungsrichtung  Ungeeignet zur Messung von z.B. Windgeschwindigkeiten (Richtungsabhängig!)  Wird in der Fliegerei auch oft als Pitotrohr bezeichnet

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Druckmessungen – Anwendung Flugzeug

Druckbegriff - Druckmessung

Nachbau Junkers F13, 1919

Der Air-France-Flug 447 (AF 447, Airbus A330-203 ) Linienflug, Air France, Rio de Janeiro  Paris Absturz in der Nacht vom 31. Mai zum 1. Juni 2009 über dem Atlantik. 228 Opfer. Ursache(n): Pitot-Sonden (Messung Fluggeschwindigkeit), Verstopfung durch Eiskristalle  falsche Messwerte  Abschaltung Autopilot Signal der ausgefallenen Pitotsonden übersehen, nur Reaktionen auf die Abschaltung Autopilot, durch (wahrscheinlich) mangelndes Training falsche Reaktionen (Überziehen des Flugzeugs)  Absturz

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p1 =ρgh1

Venturirohr

p2 =ρgh2

Bernoulli:

𝑢 𝑢 𝑝  ρ  𝑝  ρ 2 2

Konti:

u1

Venturirohr-Volumenstrom

𝐴 · 𝑢  𝐴 · 𝑢  mit:

𝑢  𝑘 · 𝑢

A kA  2 A1

Konti  Bernoulli:

2

1

u2

Achtung! Kavitation bei >> u2

𝜌 𝜌 𝜌 · 𝑔 · ℎ   𝑢 · 𝑘  𝜌 · 𝑔 · ℎ   𝑢 2 2

Zur Messung/Bestimmung von:

𝑢 

1 · 2 · 𝑔 · 󰇛ℎ   ℎ 󰇜 1  𝑘 

oder

𝑉󰇗  𝐴 ·

1 · 2 · 𝑔 · 󰇛ℎ  ℎ  󰇜 1  𝑘 29

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Kavitation (von: Cavity – Hohlraum) Hohe Geschwindigkeiten (z.B. Querschnittsverengung, hohe Drehgeschw. Turbine) Statischer Druck pS< Dampfdruck pDampf  Dampfblasenbildung Dampfblasen strömen mit in Gebiete mit höherem Druck, kollabieren schlagartig (Rasseln / Knattern)  Beim Zerfall entsteht ein Mikrostrahl, der mit hohem Druck auf die Wand trifft  Entstehung Druckspitzen

Kavitation

 Stöckelschuheffekt „normale“ Kräfte üben bei kleiner Fläche „riesige“ Drücke aus

𝑝

cavitation propellor damage Erik Axdahl wikipedia CC BY-SA 2.5

Entstehung der Bläschen

𝐹 𝐴

Schäden

 Zerstörung von Rohrwänden Essenia Deva, pixelio

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Beispielaufgabe Aus einem großen offenen Behälter strömt Flüssigkeit durch ein Rohr in einen großen geschlossenen Behälter. Die Niveauhöhen sind konstant. Geg.: ρ, h1, H1, H2, g, pa, p1, d a) Wie groß ist der Volumenstrom im Rohr?

Beispiel Übungsaufgabe

b) Wie groß muss p1 mindestens sein, damit keine Kavitation in der Rohrleitung auftritt? Dampfdruck pD ist gegeben.

pa H2

d H1

p1 h1

31

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Beispielaufgabe a)...