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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSESCUELA DE ESTUDIOS GENERALESÁREA INGENIERÍASOLUCIONARIO DELA PRÁCTICA Nº 1SECCIÓN 1CÁLCULO 12020 -ELABORADO POR:Amado Vargas, GyanfrancoDamian Lopez, Victoria FatimaGomez Hinojosa, Maria FernandaMendoza Espinoza, Alexander del PieroPaucar Vargas, Giovanni Jos...

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES ÁREA INGENIERÍA

SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA Nº 1 SECCIÓN 1 CÁLCULO 1 2020-1 ELABORADO POR: Amado Vargas, Gyanfranco Damian Lopez, Victoria Fatima Gomez Hinojosa, Maria Fernanda Mendoza Espinoza, Alexander del Piero Paucar Vargas, Giovanni Jossepe

1. A = {x ϵ ℤ/6 ≤ 𝑥 2 + 2 ≤ 83} 6 ≤ 𝑋2 + 2 ≤ 83

4 ≤ 𝑥 2 ≤ 81

4 ≤ 𝑥 2 ∧ 𝑥 2 ≤ 81

0 ≤ (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) ∧ (𝑥 − 9)(𝑥 + 9) ≤ 0 𝑥 ∈ ⟨−∞, −2] ∪ [2, +∞⟩ ∧ 𝑥 ∈ [−9,9] ∴ 𝑥𝜀[−9, −2] ∪ [2,9] 𝑛(𝐴) = 16

B = {x ϵ ℤ /𝑥 2 − 5 < 27 } 𝑥 2 − 5 < 27 𝑥 2 < 32

𝑥 2 − 32 < 0

(𝑥 − √32)(𝑥 + √32) < 0 ∴ 𝑥 ∈ ⟨−5,6; 5,6⟩ 𝑛(𝐵) = 11

∴ 𝑛 (𝐴𝑥𝐵) = 𝑛 (𝐴) 𝑥 𝑛(𝐵) = 176

2. 𝐴𝑥𝐵 = {(2, 𝑐), (𝑎, 𝑑), (𝑏, 𝑐 ), (𝑏, 5 )}

𝐵𝑥𝐴 = {(4, 𝑎 ), (𝑐, 3), (𝑑, 𝑎), (𝑑, 𝑏)}

Calcular a+b+c+d:

𝐴 = {2, 𝑎, 𝑏 } = {𝑎, 3, 𝑏 } → 𝑎 + 𝑏 = 5 𝐵 = {𝑐, 𝑑, 5} = {4, 𝑐, 𝑑 } → 𝑐 + 𝑑 = 9 ∴ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 14

3. 𝐴𝑥𝐵 = {(1,3), (1,5), (2,3), (2,5)}

𝐵𝑥𝐶 = {(3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5)}

Calcule (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶

𝐴 = {1,2} ; 𝐵 = {3,5} ; 𝐶 = {2,3,5} 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,5}

(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = {2,3,5}

4. 𝐴 = ⟨−1,3⟩; 𝐵 = ⟨2,4]

𝐴𝑥𝐵 = {(𝑥, 𝑦 )/ −1 < 𝑥 < 3 ∧ 2 < 𝑦 ≤ 4}

𝐵𝑥𝐴 = {(𝑥, 𝑦)/ 2 < 𝑥 ≤ 4 ∧ −1 < 𝑦 < 3}

5. 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/2 < 𝑥 < 5}

𝐵 = {𝑦 ∈ ℝ/−1 < 𝑦 ≤ 3}

Obtener el producto cartesiano de 𝐴𝑥𝐵 𝑦 𝐵𝑥𝐴 ; graficar. 𝐴𝑥𝐵 = {(𝑥, 𝑦 ) ∈ 𝐴𝑥𝐵/ 2 < 𝑥 < 5 ∧ −1 < 𝑦 ≤ 3} Vea el gráfico en la siguiente página.

𝐵𝑥𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐴/−1 < 𝑥 ≤ 3 ∧ 2 < 𝑦 < 5}

[6-9] 𝐴 = {−3, −2, −1,0,1,2,3,5} 𝑦 𝐵 = {−1,5,7,12,13,14} 6. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵/𝑦 3 ≥ 𝑥}

R={(-3,-1);(-3,5);(-3,7);(-3,12);(-3,13);(-3,14);(-2,-1);(-2,5);(-2,7);(-2,12);(-2,13); (-2,14);(-1,-1);(-1,5);(-1,7);(-1,12);(-1,13);(-1,14);(0,5);(0,7);(0,12);(0,13);(0,14); (1,5);(1,7);(1,12);(1,13);(1,14);(2,5);(2,7);(2,12);(2,13);(2,14);(3,5);(3,7);(3,12); (3,13);(3,14);(5,5);(5,7);(5,12);(5,13);(5,14)} 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 5} 𝑅𝑎𝑛 (𝑅) = {−1, 5, 7, 12, 13 ,14}

7. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵/𝑥 2 + 𝑦 2 < 9} 𝑥2 + 𝑦2 < 9 𝑥 2 = {0, 1, 4, 9, 25} ∧ 𝑦 2 = {1, 25, 49, 144, 169, 196}

R={(-2,-1);(-1,-1);(0,-1);(1,-1);(2,-1)} 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {−3, −2, −1,0,1,2,3,5}

𝑅𝑎𝑛(𝑅) = {−1,5,7,12,13}

8. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵/𝑥 + 𝑦 ≤ 10}

R={(-3,-1);(-3,5);(-3,7);(-3,12);(-3,13);(-2,-1);(-2,5);(-2,7);(-2,12);(-1,-1);(-1,5); (-1,7);(0,-1);(0,5);(0,7);(1,-1);(1,5);(1,7);(2,-1);(2,5);(2,7);(3,-1);(3,5);(3,7); (5,-1);(5,5)} 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 5} 𝑅𝑎𝑛(𝑅) = {−1, 5, 7, 12, 13, 14}

9. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵/𝑦 ≥ 2𝑥 + 3}

𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 5} 𝑅𝑎𝑛(𝑅) = {−1, 5, 7, 12, 13, 14}

R={(-3,-1);(-3,5);(-3,7);(-3,12);(-3,13);(-3,14);(-2,-1);(-2,5);(-2,7);(-2,12);(-2,13); (-2,14);(-1,5);(-1,7);(-1,12);(-1,13);(-1,14);(0,5);(0,7);(0,12);(0,13);(0,14);(1,5); (1,7);(1,12);(1,13);(1,14);(2,7);(2,12);(2,13);(2,14);(3,12);(3,13);(3,14);(5,13); (5,14)}

10. Calcule los valores de 𝑘 para los cuales 𝑇 es simétrica. ∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑇 → (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑇

𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 𝑘 2 = 4 + 𝑘𝑦 − 𝑦 2 𝑥 2 − 𝑘𝑥 +

𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 − + 𝑘 2 = −𝑦 2 + 𝑘𝑦 − + +4 4 4 4 4

𝑘

𝑘2 𝑘 2 𝑘2 + 4 + 𝑘 2 = − (𝑦 − ) + 4 2 4 2 𝑘 2 (𝑥 − )2 + (𝑦 − 𝑘 )2 = 4 − 𝑘 2 2 2 𝑘 𝑘 2 𝑘 𝑘 𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 → (𝑥 − 2 )2 + (𝑦 − 2 )2 = −((𝑥 − 2 ) + (𝑦 − 2 )2 ) (𝑥 −

)2 −

𝑘2 𝑘2 −4 = 2 2 𝑘2 − 8 = 0 4−

∴ 𝑘𝜖[−2√2, −2√2]

11. Calcule los valores de k para los cuales T es reflexiva.

Si T es reflexiva en ℝ ↔ ∀𝑥𝜖ℝ, (𝑥, 𝑥 ) ∈ 𝑇 →𝑥=𝑦 𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 𝑘 2 = 4 + 𝑘𝑦 − 𝑦 2 → 𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 𝑘 2 = 4 + 𝑘𝑥 − 𝑥 2 2𝑥 2 − 2𝑘𝑥 + 𝑘 2 − 4 = 0 ∆≥ 0 (−2𝑘 )2 − 4(2)(𝑘 2 − 4) ≥ 0 4𝑘 2 − 8𝑘 2 + 32 ≥ 0 −4𝑘 2 + 32 ≥ 0 32 ≥ 4𝑘 2 8 ≥ 𝑘2 −2√2 ≤ 𝑘 ≤ 2√2 ∴ 𝑘𝜖[−2√2, −2√2]

[12-14] Discutir completamente y graficar las siguientes relaciones. Hallar su inversa R-1. 12. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦 ) ∈ ℝ × ℝ/ 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 = 0} 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 = 0

1) Intersección con los ejes coordenados • Con el eje X, hacemos 𝑦 = 0 𝑅(𝑥, 0) = 0 − 0 + 0 − 𝑥 = 0 → 𝑥 = 0 • Con el eje Y, hacemos 𝑥 = 0 𝑅(0, 𝑦) = 0 − 0 + 𝑦 − 0 = 0 → 𝑦 = 0 2) Simetrías: A priori, como sólo hay una variable cuadrática, no es simétrica. • Con respecto al eje X, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 (𝑥, −𝑦) Como, 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 ≠ 𝑥 2 (−𝑦) − 2𝑥(−𝑦) + (−𝑦) − 𝑥 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 ≠ −𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 − 𝑥 Por lo tanto, no existe simetría en el eje X. • Con respecto al eje Y, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 (−𝑥, 𝑦) Como, 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 ≠ (−𝑥 )2 𝑦 − 2(−𝑥)𝑦 + 𝑦 − (−𝑥) 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 ≠ 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 + 𝑥 Por lo tanto, no existe simetría en el eje Y. • Con respecto al origen, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 (−𝑥, −𝑦 ) Como, 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 ≠ (−𝑥 )2 (−𝑦) − 2(−𝑥)(−𝑦) + (−𝑦) − (−𝑥) 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 ≠ −𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 − 𝑦 + 𝑥 Por lo tanto, no existe simetría en el origen.

3) Extensión • Calculamos el dominio, para esto despejamos 𝑦 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 = 0 𝑦(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) − 𝑥 = 0 𝑥 𝑥 𝑦= 2 = (𝑥 − 1)2 𝑥 − 2𝑥 + 1 2 Y si es real, (𝑥 − 1) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 1 Por lo tanto, el dominio es 𝐷𝑅 = ℝ − {1} • Calculamos el rango, para esto despejamos 𝑥 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 = 0 𝑥 2 𝑦 − (2𝑦 + 1)𝑥 + 𝑦 = 0 𝑥=

2

(2𝑦 + 1) ± √(−(2𝑦 + 1)) − 4𝑦 2 2𝑦

2

=0

Y si es real, (−(2𝑦 + 1)) − 4𝑦 2 ≥ 0 (2𝑦 + 1)2 − 4𝑦 2 ≥ 0 4𝑦 2 + 4𝑦 + 1 − 4𝑦 2 ≥ 0 4𝑦 + 1 ≥ 0 1 𝑦≥− 4 1 Por lo tanto, el rango es 𝑅𝑅 = [− , +∞⟩ 4

4) Asíntotas • •

Asíntotas verticales: se despeja 𝑦 =

𝑥 (𝑥−1)2

Asíntotas horizontales: se despeja 𝑥 =

5) Tabulación 𝑥 0 1/2 3/2 6 𝑦 0 2 6) Gráfico

7) Inversa

2 2

-1 -1/4

→ (𝑥 − 1)2 = 0 → 𝑥 = 1

2 (2𝑦+1)±√(−(2𝑦+1)) −4𝑦 2

2𝑦

=0→𝑦=0

𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 = 0 • Despejamos 𝑥 •

(2𝑦 + 1) ± √4𝑦 + 1 2𝑦 Permutamos 𝑥 por 𝑦 (2𝑥 + 1) ± √4𝑥 + 1 𝑦= 2𝑥 Por lo tanto, 𝑥=

(2𝑥 + 1) ± √4𝑥 + 1 } 2𝑥 2 13. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦 ) ∈ ℝ × ℝ/ 𝑥𝑦 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0} 𝑅 −1 (𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ/ 𝑦 =

𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0

1) Intersección con los ejes coordenados • Con el eje X, hacemos 𝑦 = 0 𝑅(𝑥, 0) = 0 − 𝑥 − 0 + 1 = 0 → 𝑥 = 1 • Con el eje Y, hacemos 𝑥 = 0 𝑅(0, 𝑦) = 0 − 0 − 2𝑦 + 1 = 0 → 𝑦 =

1 2

2) Simetrías • Con respecto al eje X, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 (𝑥, −𝑦) Como, 𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 ≠ 𝑥 (−𝑦)2 − 𝑥 − 2(−𝑦) + 1 𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 ≠ 𝑥𝑦 2 − 𝑥 + 2𝑦 + 1 Por lo tanto, no existe simetría en el eje X. • Con respecto al eje Y, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 (−𝑥, 𝑦) Como, 𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 ≠ (−𝑥 )𝑦 2 − (−𝑥) − 2𝑦 + 1 𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 ≠ −𝑥𝑦 2 + 𝑥 − 2𝑦 + 1 Por lo tanto, no existe simetría en el eje Y. • Con respecto al origen, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 (−𝑥, −𝑦 ) Como, 𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 ≠ (−𝑥 )(−𝑦)2 − (−𝑥) − 2(−𝑦) + 1 𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 ≠ −𝑥𝑦 2 + 𝑥 + 2𝑦 + 1 Por lo tanto, no existe simetría en el origen. 3) Extensión • Calculamos el dominio, para esto despejamos 𝑦 𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 𝑥𝑦 2 − 2𝑦 + (1 − 𝑥) = 0 −(−2) ± √(−2)2 − 4(𝑥)(1 − 𝑥) 𝑦= 2𝑥 Y si es real, (−2)2 − 4(𝑥)(1 − 𝑥 ) ≥ 0 ∧ 2𝑥 ≠ 0 4 − 4𝑥(1 − 𝑥) ≥ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 4(1 − 𝑥 + 𝑥 2 ) ≥ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 𝑥2 − 𝑥 + 1 ≥ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 1 2 1 (𝑥 − ) − + 1 ≥ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 4 2 2 3 1 (𝑥 − ) + ≥ 0 (𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) ∧ 𝑥 ≠ 0 2 4 Por lo tanto, el dominio es 𝐷𝑅 = ℝ − {0} • Calculamos el rango, para esto despejamos 𝑥

𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 𝑥(𝑦 2 − 1) − (2𝑦 − 1) = 0 2𝑦 − 1 𝑥= 2 𝑦 −1 Y si es real, 𝑦 2 − 1 ≠ 0 → 𝑦 ≠ ±1 Por lo tanto, el rango es 𝑅𝑅 = ℝ − {±1} 4) Asíntotas • •

Asíntotas verticales: se despeja 𝑦 =

2±√4(𝑥2 −𝑥+1)

Asíntotas horizontales: se despeja 𝑥 =

5) Tabulación 1 𝑥 0 𝑦 1/2 0 6) Gráfico

1 2

-1 -2.7

2𝑥 2𝑦−1 = 𝑦 2 −1

-1 0.7

7) Inversa 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 • Despejamos 𝑥 2𝑦 − 1 𝑥= 2 𝑦 −1 • Permutamos 𝑥 por 𝑦 2𝑥 − 1 𝑦= 2 𝑥 −1 Por lo tanto,

2𝑥 − 1 } 𝑥2 − 1 14. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦 ) ∈ ℝ × ℝ/ 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 0} 𝑅 −1 (𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ/ 𝑦 =

𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 0

1) Intersección con los ejes coordenados • Con el eje X, hacemos 𝑦 = 0 𝑅(𝑥, 0) = 0 − 2𝑥 2 − 0 = 0 → 𝑥 = 0 • Con el eje Y, hacemos 𝑥 = 0 𝑅(0, 𝑦) = 0 − 0 − 2𝑦 2 = 0 → 𝑦 = 0

=

1±√𝑥 2 −𝑥+1 𝑥

0 → 𝑦 = ±1

=0→𝑥=0

2) Simetrías • Con respecto al eje X, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 (𝑥, −𝑦) Como, 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 𝑥 2 (−𝑦)2 − 2𝑥 2 − 2(−𝑦)2 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 Por lo tanto, existe simetría en el eje X. • Con respecto al eje Y, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 (−𝑥, 𝑦) Como, 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = (−𝑥)2 𝑦 2 − 2(−𝑥)2 − 2𝑦 2 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 Por lo tanto, existe simetría en el eje Y. • Con respecto al origen, 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 (−𝑥, −𝑦 ) Como, 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = (−𝑥 )2 (−𝑦)2 − 2(−𝑥)2 − 2(−𝑦)2 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 Por lo tanto, existe simetría en el origen. 3) Extensión • Calculamos el dominio, para esto despejamos 𝑦 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 0 (𝑥 2 − 2)𝑦 2 − 2𝑥 2 = 0 (𝑥 2 − 2)𝑦 2 = 2𝑥 2 2𝑥 2 𝑦2 = 2 𝑥 −2 2𝑥 2 𝑥2 − 2 Y si es real, 2𝑥 2 1 ≥ 0∧𝑥 = 0 ≥0→ 2 2 𝑥 −2 𝑥 −2 1 ≥ 0∧𝑥 = 0 (𝑥 − √2)(𝑥 + √2) Por lo tanto, el dominio es 𝐷𝑅 = 〈−∞, −√2〉 ∪ 〈√2, +∞〉 ∪ {0} Calculamos el rango, para esto despejamos 𝑥 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 0 De forma análoga al punto anterior, 𝑦 = ±√

•

𝑥 = ±√

2𝑦 2 𝑦2 − 2

Y si es real, 1 2𝑦 2 ≥0→ 2 ≥ 0∧𝑦 = 0 2 𝑦 −2 𝑥 −2 1 ≥ 0∧𝑦 = 0 (𝑦 − √2)(𝑦 + √2)

Por lo tanto, el rango es 𝑅𝑅 = 〈−∞, − √2〉 ∪ 〈√2, +∞〉 ∪ {0} 4) Asíntotas • •

Asíntotas verticales: se despeja 𝑦 = ±√ 𝑥2−2 → 𝑥 2 − 2 = 0 → 𝑥 = ±√2 2𝑥 2

2𝑦 2

Asíntotas horizontales: se despeja 𝑥 = ±√ 𝑦2−2 = 0 → 𝑦 2 − 2 = 0 → 𝑦 = ±√2

5) Tabulación -2 𝑥 0

-2

2

2

𝑦

0

2

-2

2

-2

6) Gráfico

7) Inversa 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = 0 • Despejamos 𝑥

•

𝑥 = ±√

2𝑦 2 𝑦2 − 2

𝑦 = ±√

2𝑥 2 𝑥2 − 2

Permutamos 𝑥 por 𝑦

Por lo tanto,

2𝑥 2 } 𝑅 −1 (𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ/ 𝑦 = ±√ 2 𝑥 −2

15. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/(−2 ≤ 𝑥 < 2 ∧ −2 ≤ 𝑦 ≤ 2) ∨ (−5 < 𝑥 < −1 ∧ −1 < 𝑦 ≤ 3)} 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/(𝑥 ∈ [−2,2] ∧ 𝑦 ∈ [−2,2]) ∨ (𝑥 ∈ 〈−5, −1〉 ∧ 𝑦 ∈ ⟨−1,3])}

3

16. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦 ): 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 16 ∧ 𝑦 ≥ 4 𝑥}

𝑅 = { (𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 𝑦 2 − 16 ≤ 0 ∧ 4𝑦 − 3𝑥 ≥ 0} 𝐴: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 16 ≤ 0 𝐵: 4𝑦 − 3𝑥 ≥ 0

4

17. 𝑅 = { (𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 ≤ 0 ∧ 𝑦 ≥ 9 𝑥 2 } 𝐴: 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 − 1 + 𝑦 2 ≤ 0 𝐴: (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 ≤ 1 𝐵: 9𝑦 − 4𝑥 2 ≥ 0

18. 𝑅 = { (𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 2𝑦 < 1 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 25} 𝐴: 𝑥 2 + 2𝑦 − 1 < 0 𝑥2 1 𝑦...