Solucionario-Estad Empresarial II- Guía 1-2022-0 PDF

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Estimadores PuntualesEstimadores por intervaloCURSOESTADÍSTICA EMPRESARIAL IIGUÍA DE PRÁCTICA Nº 1Periodo Académico 2022-FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ECONÓMICASPruebas de HipótesisCoordinador del Curso:Grabiela Montes Quintana Este material de apoyo académico se hace para uso exclusivo de lo...

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FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ECONÓMICAS

CURSO ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II

GUÍA DE PRÁCTICA Nº 1 Periodo Académico 2022-0

Estimadores Puntuales Estimadores por intervalo

Estadística Empresarial II

Guía de trabajo 1

2022-0

Pruebas de Hipótesis

Coordinador del Curso: Grabiela Montes Quintana Este material de apoyo académico se hace para uso exclusivo de los alumnos de la Universidad de Lima y en concordancia con lo dispuesto por la legislación sobre los derechos de autor: Decreto Legislativo 822

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Guía de trabajo 1

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PROPIEDADES DE ESTIMADORES PUNTUALES

X1,X2 ,X3 ,....,X7 1.

Sea una muestra aleatoria de una población que tiene promedio µ y varianza σ2. Se proponen los siguientes estimadores del parámetro µ:

a)

b)

, Determine si los estimadores son insesgados.

¿Cuál de los dos estimadores elegiría? Ahora vamos a estudiar la propiedad de eficiencia de ambos estimadores.

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El mejor es el primer estimador porque tiene menor varianza, por lo tanto, sería más eficiente.

2.

Suponga que X1, …, Xn, representa una muestra aleatoria extraída de una población X que tiene distribución exponencial con parámetro β, si sugerimos como estimadores del parámetro β a los siguientes: ¿Cuál estimador se utilizaría? Justifique adecuadamente su respuesta. Recuerde que en una distribución exponencial E(X) = β y V(X) = β2

3.

Sea X1, X2, X3, …, Xn una muestra aleatoria de tamaño n, obtenida de una población en la cual se sabe que: E(X) =  y V(X) = 2. Si se definen como estimadores de  a las siguientes estadísticas:

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ˆ1 

4.

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3X1  4X2  2X3 5

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X X 12X3 ˆ2  1  2  3 5 15

19X X X ˆ3  1  2  3 12 4 3

a)

¿Cuáles de ellos son estimadores insesgados de ?

b)

De entre los estimadores insesgados, ¿Cuál es el más eficiente?

Sea X1, X2 dos variables aleatorias independientes tales que X i  N(,²). Dado los siguientes estadísticos: 1 1  1  X1  X2 2 2

1 3 X  4  X 1  2 2 2

2  3 X  1 X 1 2 4 4

5 3 X  1 4 1 4

3  3X1  4X2 5

6 5 X  1 X 4 1 4 2

¿Cuáles de estos estadísticos son estimadores insesgados de la media ? 5.

Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria de cualquier población con  y ² = 1. De los siguientes estimadores de : 1 1 1  1  X1  X2  X3 6 3 2

6.

1  2   X1  X2  X3  3

a)

¿Cuáles son estimadores insesgados de ?

b)

¿Cuál es el estimador de varianza mínima?

1 1 1  3  X1  X2  X3 4 6 3

El tiempo (en horas) que esperan los pasajeros para abordar un avión, se distribuye uniformemente en el intervalo [0,  ]. Para estimar el parámetro , se seleccionan al azar, a dos pasajeros que esperan subir al avión. Sean X 1 y X2 los tiempos que deben esperar hasta abordar el avión. Si se utilizan los siguientes estimadores de :

Recuerde que si una variable X tiene distribución uniforme en el intervalo [α , β] entonces y

a)

¿Son estimadores insesgados de ? Primero vamos a calcular la esperanza y la varianza de la población

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Los dos estimadores son insesgados.

b)

¿Cuál de los dos estimadores escogería como el mejor estimador de  y por qué? Como los dos estimadores son insesgados, vamos a ver cuál es más eficiente:

Escogería el segundo estimador, porque tiene la menor varianza, es más eficiente. c)

Si al seleccionar una muestra aleatoria de tamaño 2 se encontraron los siguientes resultados numéricos X 1 = 2.5 y X 2 = 3.3 ¿Cuál es el valor numérico del estimador de  (utilizar el estimador seleccionado en la parte b)? Se puede indicar que lo máximo que se puede esperar para abordar el avión es 5.8 horas.

7.

Para estimar el parámetro  de la distribución exponencial se toman muestras aleatorias de cuatro observaciones X1, X2, X3, X4 y se proponen los siguientes estimadores puntuales del parámetro :

Recuerde que, si una variable tiene distribución exponencial, entonces: E(X) = β y V(X) = β2 a) ¿Cuál de los estimadores es insesgado? b) Analizar la eficiencia de los estimadores y diga cuál de ellos elegiría y por qué.

Propuestos para el alumno

8.

Sea X1, X2, X3, X4 una muestra aleatoria de cualquier población con  y ² sus parámetros. ¿Cuál de los dos estadísticos que se definen a continuación, es el estimador más eficiente de ?

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  X1  X 2  X3  X4  1 4

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  4X1  X3  X4  2 4

¿Cuál de los estimadores es insesgado?

9.

Suponga que X1, …, Xn, representa una muestra aleatoria de una población para la cual se sabe que esta variable tiene distribución exponencial con parámetro β, si sugerimos como estimadores del parámetro β a los siguientes: 1 __ ˆ3  1 (X 1  5X 2 ) ˆ2  ( X1  X 2 )  ˆ ˆ  X 1 4  x 2 2 1 ¿Cuál estimador se utilizaría? Justifique adecuadamente su respuesta. Recuerde que en una distribución exponencial E(X) = β y V(X) = β2

ESTIMACIÓN MEDIANTE INTERVALOS DE CONFIANZA

Intervalo de confianza y tamaño de muestra para la media 10. Para un investigador social es importante determinar el tiempo medio que se requiere para

desarrollar un test y medir el tipo de liderazgo de una persona. Con esta finalidad aplica el test a una muestra aleatoria de 36 sujetos y fija un nivel de confianza del 95%. Luego de evaluar a los 36 sujetos obtiene los siguientes resultados: el tiempo promedio requerido fue de 35 minutos, se sabe, además, por antecedentes históricos, que la varianza del tiempo que se requiere para el desarrollo del test es de 25 minutos2 y que se comporta de acuerdo a una distribución normal. a) Hallar e interpretar un intervalo para el tiempo medio que se requiera en el desarrollo de dicho test.

La variable en estudio es el tiempo que se requiere para desarrollar el test, esta variable tiene distribución normal con media desconocida y varianza de 25 minutos 2, y lo que se desea es obtener un estimador por intervalo del 95% de confianza de la media, tiempo promedio necesario para desarrollar el test, lo cual haremos basándonos en una muestra de tamaño 36. En este caso usamos el siguiente estimador: (Caso 1) confianza = 95%, 1-α= 0.95, α= 0.05,

α/2 = 0.025, 1-α/2 = 0.975

En R usamos el siguiente código para hallar el cuantil Z(1-α/2):

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Z...