Sprawozdanie - Rezonans w obwodach elektrycznych PDF

Preview

Summary

Sprawozdanie - Rezonans w obwodach elektrycznych ...

Description

WYDZIAŁ FIZYKI Wojciech Żurkowski

Wtorek 14 - 17 Zespół 3 stycznia 2017 16 Ocena Przygotowanie Sprawozdanie Końcowa

Prowadzący

Podpis prowadzącego

Drgania w obwodzie elektrycznym 1

Cel doświadczenia

Celem doświadczenia jest wykonanie czynności potrzebnych do określenia częstotliwości rezonansowej obwodu wraz z jej niepewnością.

2

Spis narzędzi • Generator funkcji G432 • Cyfrowy miernik uniwersalny Metex M-3660D • Analogowy miernik uniwersalny Meratronik V 640 • Oscyloskop • Przewody • Opornik 10 Ω • Cewka 0.124 H • Kondensator 5100 pF

3

Wstęp teoretyczny

Zależności prądu płynącego przez obwód od częstotliwości drgań Rezonans elektryczny powstaje w układach LC w obwodach prądu zmiennego. Zjawisko w obwodach zawierających elementy o reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej, polega na wzajemnej kompensacji tych reaktancji dla określonych częstotliwości prądu. W stanie rezonansu, wypadkowa reaktancja będzie równa zeru, a prąd płynący przez obwód będzie zgodny w fazie z siła elektromotoryczną generatora. Stan rezonansu występuje gdy, obie reaktancje pojemnościowa oraz indukcyjna są sobie równe. XC = XL 1

1 (1) ωC Prąd płynący w obwodzie w stanie rezonansu jest wprost proporcjonalny do przyłożonego napięcia oraz odwrotnie proporcjonalny do rezystancji obwodu. Napięcia na reaktancjach są sobie równe ale przeciwnie skierowane −UC = UL . Stan rezonansu można osiągnąć poprzez odpowiedni dobór reaktancji cewki i kondensatora lub pulsacji napięcia zasilającego. Częstotliwość przy której spełnione jest równanie nr 1 nazywamy częstotliwością rezonansową. ωL = −

f0 =

1 √ 2π LC

(2)

Do układu tego można zastosować II prawo Kirchhoffa, będzie ono miało następującą postać: ε=L Po podstawieniu I =

dQ dt

dI Q + RI + C dt

(3)

i ε = ε0 eiωt

d2 Q dQ Q (4) +R + 2 C d t dt Gdzie: ε - amplituda SEM wymuszająca, L - indukcyjność, R - rezystancja układu, C - pojemność, Q - ładunek, t - czas. ε0 eiωt = L

Rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja Q(t) = Q0 ei(ωt+ϕ) Funkcje w równaniach są zapisane w postaci liczb dla uproszczenia obliczeń trygonometrycznych, sens fizyczny mają jedynie składowe rzeczywiste. Po obliczeniu pierwszej i drugiej pochodnej Q(t) i podstawieniu do wzoru otrzymujemy równanie: −Lω 2 Q0 eiωteiϕ + iωRQ0 eiωteiϕ + Po podstawieniu ωo =

√1 LC

1 Q0 eiωteiϕ = ε0 eiωt C

(5)

i podzieleniu przez L dostajemy:

−ω 2 Q0 eiϕ + iω

R ε Q0 eiϕ + ω 20 Q0 eiϕ = 0 L L

(6)

Po wyciągnięciu przed nawias Q0 i wyliczeniu modułu z liczby zespolonej, otrzymujemy wzór na amplitudę ładunku w obwodzie. ε0 Q0 = q (7) 2 2 L (ω0 − ω 2 )2 + (ω R L)

W celu wyznaczenia prądu płynącego przez obwód potrzebne jest całkowite napięcie oraz U łączna impedancja (podobnie jak w prawie Ohma I = |Z| ). Natężenie prądu można zapisać jako: I(t) = I0 eiωt (8) Wtedy impedancja cewki i kondensatora prezentuje się następująco: dI = iωLI0 eiωt dt ZL = iωL

UL = L

(9)

2

UC =

π 1 i I I0 eiω (t− 2 ) = − ωC ωC i ZC = − ωC

(10)

Impedancja układu jest modułem z sumy impedancji opornika cewki i kondensatora. |Z| =

s



R2 + ωL −

1 ωC

2

(11)

Prąd płynący w obwodzie będzie wyrażony następująco: I(ω) = r

UG 

R2 + ωL −

1 ωC

2

(12)

Przesunięcie fazowe oraz dobroć układu Przesunięcie fazowe możemy wyznaczyć ze wzoru: ∆t 2π T

φ=

(13)

Krzywą teoretyczną zaś przedstawia równanie: 1 ωC

φ(ω) = arctg

− ωL R

!

(14)

Dobroć układu jest współczynnikiem proporcjonalności amplitudy drań układu do amplitudy siły wymuszającej. W przypadku opisywanego układu możemy ja wyznaczyć dwoma metodami. Metoda 1 Wprost z definicji Q=

ω0 L R

(15)

Metoda 2 Dobroć możemy wyznaczyć jako stosunek szerokości połówkowej krzywej rezonansowej do położenia częstotliwości rezonansowej na wykresie. Q=

ω0 ω1/2

3

(16)

4

Opis przebiegu doświadczenia

Część I W celu dokonania pomiarów w części I zbudowano układ przedstawiony na poniższym schemacie.

Rysunek 1: Schemat układu pomiarowego nr 1 Układ pomiarowy zbudowany został z generatora funkcji o regulowanej częstotliwości, woltomierza włączonego do obwodu równolegle z rezystorem, oraz rezystora. Wszystkie elementy połączono przewodami w sposób przedstawiony na schemacie. Wykonano serię 24 pomiarów napięcia i częstotliwości generatora. Przy każdym pomiarze zmieniano częstotliwość napięcia na generatorze. Pośród tych 24 pomiarów wykonano także 6 pomiarów w których dążono do uzyskania maksymalnego napięcia na rezystorze.

Część II W celu dokonania pomiarów w części II zbudowano układ przedstawiony na poniższym schemacie.

Rysunek 2: Schemat układu pomiarowego nr 2 Układ pomiarowy został zbudowany w taki sam sposób jak pierwszy, jednak teraz dołączono do niego oscyloskop który mierzy napięcie na wyjściu generatora oraz na rezystorze. W celu uproszczenia, przebiegi na oscyloskopie dopasowano tak, by okres zawsze miał tą samą szerokość (10 cm). Dokonano 24 pomiarów w miejscach gdzie przesunięcia były wielokrotnością 0,2 cm oraz w miejscach gdzie było ono skrajnie duże.

4

5

Pomiary

Część I Wyniki pomiarów napięcia prądu, częstotliwości drgań oraz obliczone natężenia zostały przedstawione w poniższej tabeli. Niepewność natężenia prądu została policzona metodą różniczki zupełnej, niepewność napięcia jest stała i równa 0,75 mV. Niepewności mierników zawarto w dodatku. Częstotliwość [kHz] 4,72 5,43 5,71 5,86 5,96 6,03 6,09 6,14 6,19 6,25 6,26 6,26 6,26 6,26 6,29 6,35 6,40 6,46 6,52 6,60 6,71 6,86 7,24 8,27

Napięcie [mV] 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0

Natężenie [mA] 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 4,85 4,85 4,85 4,85 4,85 4,85 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50

Krzywa teoretyczna została dopasowana wzorem nr 12. 5

Niepewność natężenia [mA] 0,05 0,07 0,10 0,12 0,15 0,18 0,21 0,23 0,26 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,26 0,23 0,21 0,18 0,15 0,12 0,10 0,07 0,05

Część II Wyniki pomiarów przesunięcia fazowego oraz częstotliwości drgań zostały przedstawione w poniższej tabeli. Za niepewność przesunięcia przyjęto 0,1 cm (po przeliczeniu na radiany jest to 0,06 rad). Częstotliwość [kHz] 4,84 5,28 5,95 6,02 6,08 6,12 6,16 6,18 6,20 6,23 6,25 6,26 6,27 6,29 6,31 6,34 6,37 6,38 6,41 6,47 6,55 6,60 6,87 8,17

Przesunięcie [cm] 2,3 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6 -1,8 -2,0 -2,3

φ [rad] 1,44 1,38 1,26 1,13 1,00 0,88 0,75 0,63 0,50 0,38 0,25 0,13 0,00 -0,13 -0,25 -0,38 -0,50 -0,63 -0,75 -0,88 -1,00 -1,13 -1,26 -1,44

Niepewność częstotliwości [kHz] 0,06 0,06 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,08 0,08 0,08 0,09

Krzywa teoretyczna została dopasowana wzorem nr 14.

6

Dobroć układu Jak wspomniano w części teoretycznej dobroć układu który jest miarą wzmacniania drgań przez układ w zjawisku rezonansu, możemy obliczyć na dwa sposoby. Z definicji Q= Podstawiając ω0 =

ω0 L R

√1 LC

s

1 L · C RR + RL + RG

Q=

Błąd możemy obliczyć metodą różniczki zupełnej. ∆Q =

s



∂Q ∆L ∂L

2

+



∂Q ∆C ∂C

2

+



∂Q ∆RR ∂RR

2

+



∂Q ∆RL ∂RL

2

+



∂Q ∆RG ∂RG

2

Ostatecznie otrzymujemy: Q = 16, 49 ± 0, 21 Ze szerokości połówki krzywej rezonansowej Z wykresu I(ω) odczytano szerokość połówki i oszacowano że ma ona ”szerokość” 0,36 kHz, za niepewność odczytania przyjęto 0,10 kHz. Częstotliwość rezonansowa została wyznaczona jakoś średnia z 6 pomiarów i równa jest (6,26 ± 0,05) kHz, niepewność mierzącego oszacowano jako odchylenie standardowe średniej. Niepewność dobroci obliczono z różniczki zupełnej. Q=

f0 f1/2

Q = 17, 39 ± 2, 5

6

Wnioski

Część 1 Dopasowanie krzywej teoretycznej i punktów doświadczalnych jest dość dokładne, wszystkie punty pomiarowe (po uwzględnieniu ich niepewności) pokrywają się z krzywą teoretyczną. W procesie kreślenia wykresów, zaobserwowano że zmniejszenie oporu R do wartości 9 Ω powoduje że krzywa teoretyczna prawie idealnie pokrywa się z punktami pomiarowymi, jest to wyraźną sugestią że to opór R jest źródłem największego błędu. Drobne przesuniecie wierzchołków krzywej i pomiarów, jest zapewne spowodowane drobnym odstępstwem od wartości nominalnych kondensatora i cewki. Część II Krzywa przesunięcia fazowego, tak w części I bardzo dobrze pokrywa się z punktami pomiarowymi. Drobne przesuniecie w okolicach φ = 1 i φ = −1 są zapewne spowodowane czynnikami o których mowa była w części I. Niepewność wyznaczania fazy była nieznaczna w stosunku do niepewności wyznaczania częstotliwości. 7

Dobroć układu Obie metody wyznaczania współczynnika dobroci dały podobne wyniki, mieszczą się one w granicach niepewności. Metoda obliczania dobroci z szerokości połówki okazała się być obarczona bardzo dużym błędem ze względu na niepewność odczytania ”szerokości” połówki z wykresu.

Dodatek Dane dotyczące układu pomiarowego Indukcyjność cewki Pojemność kondensatora Opór cewki Opór rezystora Niepewność woltomierza Niepewność częstotliwościomierza Napięcie generatora

(0,124 ± 0,001) H (5100 ± 102) pF (239 ± 1) Ω (10 ± 1) Ω 1,5 % 1% + 1dgt (1,6 ± 0,075) V

8...