SSII 20202 PEC1 - PEC 1 SSII PDF

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81.509 · Señales y sistemas II · PEC1 · 20202 · Grado en Tecnologías de Telecomunicación Estudios de Informática, Multimedia y Telecomunicación

Presentación PEC1 La PEC1 de la asignatura Señales y sistemas II está compuesta por un conjunto de ejercicios que hacen referencia a los contenidos del Módulo 1 de la asignatura.

Criterios de valoración La puntuación de cada ejercicio es 2.5 puntos.

Formato y fecha de entrega La solución podrá estar escrita a mano o a ordenador. En cualquiera de los dos casos, el formato de entrega será un fichero PDF con el siguiente formato de nombre: Apellidos_Nombre_PEC1.pdf Por ejemplo: Rodriguez_Gil_Jose_PEC1.pdf Dicho fichero deberá ser depositado en la aplicación “Registro de EC” del aula de la asignatura. La fecha límite para la entrega de las soluciones de la presente PEC es la siguiente: Lunes 22 de Marzo del 2021 a las 23:59

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Enunciados Ejercicio 1 a) (1,5 puntos) Calcula la transformada Z de las siguientes secuencias usando la definición −𝑛 de la transformada Z (la ecuación de análisis 𝑋(𝑧) = ∑∞ ) e indicando su ROC. 𝑛=−∞ 𝑥[𝑛]𝑧 Nota: no se pueden usar las fórmulas de la Tabla1 ni de la Tabla2 de los apuntes. a1) 𝑥[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 8] Desarrolla la expresión calculada para la TZ hasta obtener un resultado en forma de cociente de polinomios en z o en z-1. 1 𝑛

𝜋

a2) 𝑥[𝑛] = ( ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛) 𝑢[𝑛] 4 4

Desarrolla la expresión calculada para la TZ hasta obtener un resultado en la forma 𝑋(𝑧) = 1−𝑎 cos(𝜔0)𝑧 −1

1−2𝑎 cos(𝜔0)𝑧 −1+𝑎 2𝑧 −2

b) (1 punto) Calcula la expresión de la transformada Z de las siguientes secuencias usando propiedades de la transformada Z y expresiones de transformadas conocidas (Tabla1 y Tabla2 de los apuntes) 1 𝑛−1

b1) 𝑥[𝑛] = 𝑛 ( 5)

𝑢[𝑛]

b2) 𝑥[𝑛] = (−0.5)𝑛 (𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 10])

Ejercicio 2 a) Calcula la transformada Z inversa de 17 −1 𝑧 + 𝑧 −2 − 𝑧 −3 1 3 𝑅𝑂𝐶 |𝑧| > 𝑋(𝑧) = 1 −1 3 1− 𝑧 3 a1) Calculando el cociente de los polinomios y descomponiendo en fracciones simples 2+

a2) Utilizando la función Matlab ‘residuez’ b) Calcula la transformada Z inversa de 1 1 + 𝑧 −1 1 4 𝑋(𝑧) = 𝑅𝑂𝐶 |𝑧| > 2 2 1 (1 − 𝑧 −1 ) 2 c) Considera la siguiente expresión de una transformada Z 3 6 − 𝑧 −1 2 𝑋(𝑧) = 1 1 1 + 𝑧 −1 − 𝑧 −2 2 2

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Calcula la Transformada Z inversa para cada posible ROC

Ejercicio 3 La entrada a un sistema causal, lineal e invariante es 1 1 𝑛 3 𝑥[𝑛] = − ( ) 𝑢[𝑛] + (2)𝑛 𝑢[−𝑛 − 1] 3 2 4 La transformada Z de la salida del sistema es 𝑌(𝑍) =

1 + 𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶 1 < |𝑧| < 2 1 (1 − 𝑧−1 ) (1 + 𝑧 −1 ) (1 − 2𝑧 −1) 2

a) Calcula 𝑋(𝑍) la transformada Z de la señal de entrada y 𝐻(𝑍) la función de transferencia del sistema b) Calcula ℎ[𝑛] la respuesta al impulso del sistema c) Dibuja el diagrama de ceros y polos del sistema. ¿Es estable el sistema? d) Escribe la ecuación en diferencias que representa al sistema

Ejercicio 4 Considera un sistema lineal, invariante y causal caracterizado por la siguiente ecuación en diferencias 𝑦[𝑛] =

1 3 3 𝑦[𝑛 − 1] − 𝑦[𝑛 − 2] + 2𝑥[𝑛] − 𝑥[𝑛 − 1] 4 8 4

a) Dibuja el diagrama de bloques que caracteriza el sistema b) Calcula la función de transferencia H (z), dibuja el diagrama de ceros y polos y la ROC c) Calcula 𝑦 [𝑛], la respuesta del sistema para la secuencia de entrada 𝑥[𝑛] = 𝑢[𝑛] trabajando en el dominio de la transformada Z.

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