Stochastik fuer Ingenieure Klausur Wi Se 20 21 PDF

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Klausur Stochastik...

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Vertr.-Prof. Dr. P. Breiding

03. März 2021

Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik IV: Stochastik für Ingenieure

Hinweise: • Die Klausur besteht aus 5 Aufgaben mit insgesamt 100 möglichen Punkten: Aufgabe

1

2

3

4

5

Punkte

20 22 16 18 24 100

Σ

• Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. • Fangen Sie für jede neue Aufgabe ein neues Blatt an. Wenn Sie mit LaTeX oder R Markdown arbeiten, können Sie den Befehl \newpage verwenden, um eine neue Seite zu erzeugen. Lassen Sie ausreichend Ränder! • Geben Sie zu allen Aufgaben eine ausführliche Diskussion in eigenen Worten bzw. einen nachvollziehbaren Lösungsweg an! Sämtliche Rechnungen sind in nachvollziehbaren Schritten explizit durchzuführen. • Laden Sie Ihre Lösung innerhalb der Bearbeitungszeit in Moodle hoch. • Während der Klausur können Sie im Zoom Raum https://uni-kassel.zoom.us/j/98093345383?pwd=UmRWZjJlUUlSRHZXZjJSV1h1YjNaUT09

Fragen stellen (Passcode: 752114). • Telefonische Erreichbarkeit während der Klausur unter der Nummer 0177 7588982. Bitte nur im Notfall anrufen. Für Fragen steht der Zoom Raum bereit. • Verschiedene Abgaben mit den exakt gleichen Formulierungen werden mit 0 Punkten für die jeweilige Aufgabe bewertet.

1

Aufgabe 1. (3+2+4+4+3+4 = 20 Punkte) Bei einer Wahl wurden n = 100 Personen gefragt, welche Partei sie wählen würden.

1. Um welche Art von Merkmal handelt es sich bei den Daten? Begründen Sie Ihre Antwort. 2. Warum wurde ein Balkendiagramm zur Visualisierung der Daten verwendet? 3. Das Balkendiagramm stellt die Häufigkeitsverteilung der Ergebnisse der Umfrage dar. Handelt es sich um eine absolute oder um eine relative Häufigkeitsverteilung? Begründen Sie Ihre Antwort. 4. 10% der befragten Personen würden sowohl Partei A als auch Partei B wählen. Wie viele Personen würden Partei A oder Partei B oder beide wählen? 5. In einer weiteren Umfrage wurden folgende Beliebtheitswerte für Partei A zwischen 0 (= total unbeliebt) und 10 (= sehr beliebt) festgestellt. 3, 7, 6.5, 8, 9, 5.5, 10. Bestimmen Sie die Rangwerte und die Spannweite der Beliebtheitswerte. 6. Berechnen Sie den empirischen Mittelwert und den Median der Beliebtheitswerte.

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Aufgabe 2. (2+2+4+4+4+2+4 = 22 Punkte) Einer Gruppe A von n = 1000 Personen wurde ein neues Medikament verabreicht, welches die Krankheit K präventiv bekämpfen soll. In Gruppe A wurde bei k = 4 Personen die Krankheit K sicher diagnostiziert. Einer weiteren Gruppe B von n = 1000 Personen wurde ein Placebo verabreicht. Dort wurde bei k = 20 Personen die Krankheit diagnostiziert. 1. Basierend auf diesen Daten, was schätzen Sie ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufällig ausgewählten Person aus der Gesamtbevölkerung eines Landes die Krankheit diagnostiziert wird? Formulieren Sie ein entsprechendes Ereignis. 2. Was ist, basierend auf diesen Daten, die Wahrscheinlichkeit die Krankheit K zu haben, wenn man zuvor das Medikament genommen hat? Formulieren Sie die Wahrscheinlichkeit als bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignissen. Zur schnellen Identifikation der Krankheit wird ein Test verwendet. Der Test fällt bei Personen, die die Krankheit K haben, mit einer Wahrscheinlichkeit von 99.9% positiv aus (dies nennt man die Test-Sensitivität). Bei Personen, die nicht K haben, fällt der Test mit Wahrscheinlichkeit 99.8% negativ aus (dies nennt man die Test-Spezifität). 3. Formulieren Sie Test-Sensitivität und Test-Spezifität als bedingte Wahrscheinlichkeiten von geeignet gewählten Ereignissen. 4. Leiten Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person aus der Bevölkerung positiv auf K getestet wird, her. 5. Angenommen, eine Person wird positiv auf K getestet. Leiten Sie die Wahrscheinlichkeit her, dass sie tatsächlich K hat. Sei nun P das Wahrscheinlichkeitsmaß aus den Aufgaben zuvor. Zudem sei M das Ereignis, dass eine Person das Medikament genommen hat, T das Ereignis, dass der Test positiv ist, K+ das Ereignis, dass eine Person die Krankheit hat, und K− das

Ereignis, dass eine Person die Krankheit nicht hat. Wir schreiben PM (·) = P (· | M) und nehmen an, dass PM (T | K+ ) = P (T | K+ ) und PM (T | K− ) = P (T | K− ). 6. Was heißen diese Annahmen für die Test-Sensitivität und die Test-Spezifität? 7. Leiten Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, welche zuvor das Medikament genommen hat, positiv auf K getestet wird, her.

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Aufgabe 3. (3+3+4+2+4 = 16 Punkte) Sie arbeiten für ein Unternehmen in der Logistik Branche und sollen sich um die Sortierung der einkommenden Waren kümmern. An einem Tag werden n = 30 Container geliefert. Von diesen sollen Sie nun k = 12 ins Lager sortieren. Der Rest wird sofort weiter transportiert. Hinweis: In dieser Aufgabe müssen spezielle Funktionen wie die Fakultät oder der Binomialkoeffizient nicht ausgewertet werden. 1. Sie nummerieren die Container nach Zeitpunkt des Eintreffens. Welches Urnenmodell beschreibt die Möglichkeiten, die Container in einem Regal zu sortieren? Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie die Anzahl Möglichkeiten an. 2. Jetzt werden die Container nicht nummeriert, sondern nur nach dem Merkmal unterschieden, ob sie sofort weiter transportiert werden oder nicht. Welches Urnenmodell beschreibt nun die Möglichkeiten, die Container in einem Regal zu sortieren? Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie die Anzahl Möglichkeiten an. Die 12 Container sind nun im Lager sortiert und nummeriert. Ihnen stehen für die weitere Arbeit 5 Mitarbeiter:innen zur Verfügung 3. Welches Urnenmodell beschreibt die Möglichkeiten, den Mitarbeiter:innen Arbeiten an den Containern zuzuweisen? Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie die Anzahl Möglichkeiten an. 4. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Mitarbeiter:innen am gleichen Container arbeiten? 5. Interpretieren Sie die Wahrscheinlichkeit aus 4. anhand folgender Fragen: Welche Annahme haben Sie gemacht, um auf Ihr Ergebnis zu kommen? Ist diese Annahme realistisch? Ist die Verteilung der Mitarbeiter:innen ein zufälliger Prozess oder deterministisch? Wie interpretieren Sie das Ergebnis aus 4., wenn die Verteilung nicht zufällig ist?

4

Aufgabe 4. (4+3+2+3+6 = 18 Punkte) Das folgende Histogramm zeigt die empirische Verteilung von Zufallszahlen einer Zufallsvariable X .

Die Breiten der Balken sind gleich 1, und die Höhen summieren sich zu 1. 1. Beurteilen Sie anhand des Histogramms, ob der empirische Mittelwert größer oder kleiner als der Median ist, oder ob beide in etwa gleich groß sind. Begründen Sie Ihre Antwort. Die empirische Verteilung kommt von einer Zufallsvariable X, welche eine sogenannte gemischte Verteilung hat. In diesem Fall ist die Dichte von X 2

(x−50) f (x) = (1 − α) √12π exp(− x2 ) + α √12π exp(− 2 ), 2

wobei α =

1 . 10

2. Diskutieren Sie, warum die Verteilung von X gemischt heißt. Welche Verteilungen werden hier gemischt? 3. Diskutieren Sie, warum die Verwendung von gemischten Verteilungen notwendig sein kann, wenn man das Merkmal Körpergröße von Tierart T modellieren möchte. Hinweis: Hierbei ist generell die Verwendung von gemischten Verteilungen gemeint. Nicht unbedingt die gemischte Verteilung aus dem Histogramm. Hinweis: T ist ein Platzhalter für eine beliebige aber feste Tierart, die an einem bestimmten Ort vorkommt. 4. Zeigen Sie P (X ≤ x) = (1 − α)P (X1 ≤ x) + αP (X2 ≤ x), wobei X1 ∼ N (0, 1) und X2 ∼ N (50, 1). 5. Berechnen Sie E X und Var(X).

5

Aufgabe 5. (3+2+3+2+3+4+4+3 = 24 Punkte) Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Wir nehmen an, dass der Durchmesser (in Millimetern) der Kugeln aufgrund von produktionsbedingten Schwankungen N (µ, σ 2 )-verteilt ist. Dabei sind sowohl µ als auch σ 2 unbekannt. Wir wollen nun wissen, ob µ > 2. Dazu wurden N = 10 Durchmesser x = (x1 , . . . , xN ) stichprobenartig gemessen und ein statistischer Test durchgeführt. Das Ergebnis ist wie folgt: One Sample t-test data:

x

t = 1.7253, df = 9, p-value = 0.05928 alternative hypothesis: true mean is greater than 2 95 percent confidence interval: 1.982589

Inf

sample estimates: mean of x 2.278482

1. Welche Nullhypothese und welche Alternativhypothese wurden gewählt? Warum wurde diese Wahl getroffen? 2. Was ist der Fehler 1. Art in diesem Setting? 3. Welcher Test wurde verwendet und warum? War die Wahl angebracht? 4. Wurde ein links-, rechts- oder beidseitiger Test verwendet? Warum wurde diese Wahl getroffen? 5. Sei T (x) die im Test gewählte Teststatistik. Was ist der Ablehnungsbereich? 6. Ihre Mitarbeiter:in behauptet, dass laut Test die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese gilt, gleich 0.05928 ist. Ist diese Aussage begründet? Wenn nein: Welche Wahrscheinlichkeit ist gleich 0.05928? 7. Welche Folgerung ziehen Sie aus dem Test? Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich. 8. Diskutieren Sie, warum die Annahme, dass die Schwankungen N (µ, σ 2 )-verteilt sind, problematisch sein könnte.

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