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Formelsammlung Strömungslehre

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Technische Strömungslehre – Formelsammlung 1 Kompressibilität K von Flüssigkeiten ∆p ∆V =− E FL V0

K=

1 E Fl

2 Kompressibilität von Gasen ∆p ∆V =− p0 V0

Bei Gasen entspricht p 0 = EGas für den Normzustand von ϑ0 = 0 °C ; p0 = 1,01325bar

3 Allgemeine Gasgleichung p ⋅ V = m ⋅ Ri ⋅ T

ist konstant bei gleichbleibender Temperatur

p,V , m....... Druck, Volumen, Masse des Gases Ri ............... allgemeine Gaskonstante (Luft: ~287,2 kgJ⋅K ) T ................ Temperatur in Kelvin auch in folgender Form: 1 ρ ...........Dichte des Gases p ⋅υ = Ri ⋅ T mit υ = υ ............spezifische Dichte des Gases ρ

4 Viskosität von Fluiden 4.1

Dynamische Viskosität

η=

τ dc x

[Pa ⋅ s ] dz

τ=F A 4.2

auch F = η ⋅ A ⋅

∆c x vgl. 4.3 ∆z

Schubspannung, F ist Reibungskraft

Kinematische Viskosität die sog. kinematische Viskosität ist anschaulich als spezifische η m² [s ] ν= Viskosität zu bezeichnen ρ

η ................ Dynamische Viskosität ρ ................ Dichte des Mediums 4.3

Newtonsches Fluid-Reibungsgesetz ∆c τ =η ⋅ D =η ⋅ x ∆z

τ = F A .... Schubspannung, F ist Reibungskraft D ............... Schergradient η ................ dynamische Viskosität siehe oben 4.1

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Formelsammlung Strömungslehre 4.4

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Schallgeschwindigkeit a

4.4.1 Bei Flüssigkeiten a=

EFL

[ms ],

ρ0

gemäß

∆ p E FL = ; ∆ρ ρ 0

4.4.2 Bei Gasen

a = κ ⋅ Ri ⋅ T

[ms ] ,

gemäß p ⋅ v = Ri ⋅T

κ ................ Issentropenexponent (Luft: ~1,4) (maßlos) Ri ............... allgemeine Gaskonstante (Luft: ~287,2 kgJ⋅K ) T ................ Temperatur in Kelvin

5 Fluidstatik 5.1

5.2

Flüssigkeiten bei translatorischer Bewegung a tan α = g Flüssigkeiten bei rotatorischer Bewegung

z=

ω² 2g

⋅ r² + Zs

z ................ Funktion z (r ) der Oberfläche abhängig vom Radius r ϖ ............... Winkelgeschwindigkeit des Behälters Z s .............. Scheitelhöhe (tiefster Flüssigkeitsstand) Volumengleichheit in einem Zylinder: V Zyl. =V ( Paraboloid ) (Volumengle ichheit bei Ruhe / Drehung ) R

⇒ VPar . = ∫ dV = π

R 2 R2  3 2 ω π π r dr r Z dr R 2 + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +Zs s  ∫ ∫ g 0 g 4  0

ω²

0

⇒ h1 = h2 =

ω 2 R2 g

⋅

4

R

Z s = H0 − h1 Z R = H 0 + h2

H 0 ............. Einfüllhöhe der Flüssigkeit über dem Boden h1 / h2 ......... Distanz zwischen niedrigstem/höchstem Fl.-Stand und Einfüllhöhe H 0 R ................ Innendurchmesser des Zylinders

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6 Fluid-Druck 6.1

Druckkraft auf gekrümmte Flächen ohne Berücksichtigung des Gewichts der Flüssigkeit (nur für Boden/Decke, keine Wände )

Fz = p ⋅ Aproj . A proj . .......... Projektionsfläche des zu betrachtenden Elements FZ .............. resultierende Kraft auf dieses Element Beispiel gemäß nebenstehender Abbildung: 1. FZ − 2 ⋅ FW = 0

s

2. Fz = p ⋅ Aproj . = p ⋅ D ⋅ L

⇒ FW = σ zul. ⋅ s ⋅ L 6.2

FZ

FW

FW

L

(entsprechend Kesselformel)

Druck durch Gewichtskräfte

6.2.1 Druckverteilung in Flüssigkeiten

p( z) = p0 − ρ ⋅ g ⋅ z

z läuft von unten nach oben! z=0 ⇒ Flüssigkeitsgrund (Boden)

p ( z) = p B + ρ ⋅ g ⋅ z

z läuft von oben nach unten! z=0 ⇒ Füssigkeitsoberfläche

pB .............. barometrischer Druck an der Oberfläche der Meßflüssigkeit p0 .............. Druck am Ursprung des z-Koordinatensystems (normalerweise Boden) z ................ Laufvariable im Koordinatensystem ρ ................ Dichte der Flüssigkeit g ................ Erdbeschleunigung

6.2.1.1 Prandtl-Manometer

p G = p B + ρFl ⋅ g ⋅ ∆z pG .............. Gasdruck im zu messenden Medium ∆z .............. Höhendifferenz zwischen linkem und rechtem Stand der Flüssigkeitssäule ( ∆z = z1 − z 2 ) 6.2.1.2 Hydraulische Presse F1 F2 = A1 A2

allgemein; Kreiskolben ⇒

F1 D1

2

=

F2 2

D2

F1 / 2 ............ Kraft auf Kolben 1 bzw. 2 A1 / 2 , D1 / 2 .. Fläche, Durchmesser des Kolbens 1 bzw. 2 6.2.1.3 Hydraulischer Heber ∆ p = ρ ⋅ g ⋅ ∆z nur gültig solange ∆p < p B , ansonsten Vakuumbildung, z.B. erreicht bei normalem Luftdruck ab 10m Flüssigkeitssäule ∆p .............. Druckdifferenz zwischen linker und rechter Seite ∆z .............. Höhendifferenz zwischen linker und rechter Flüssigkeitsoberfläche

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6.2.2 Fluidkräfte auf ebene Wände

F = ρ ⋅ g ⋅ tS ⋅ A

mit t S = cosα ⋅ y S

F ............... im Kraftangriffspunkt D auf die Wandung wirkende Kraft

ρ ................ Dichte des Fluids

g ................ Erdbeschleunigung t S ................ Tiefe des Schwerpunktes der Wandung von der Fluidoberfläche aus α ................ Neigungswinkel der Wandung gegenüber der Normalen zur Oberfläche y S .............. Abstand des Schwerpunktes der Wandung von der Fluidoberfläche im Koordinatensystem der Wandung Kraftangriffspunkt D:

xD =

I xy yS ⋅ A

; yD = yS +

I S, x I ; e = y D − y S = S ,x A⋅ yS yS ⋅ A

x D , y D ....... Koordinaten des Kraftangriffpunkts D im KOS der Wandung I xy .............. Deviationsmoment der Wandung

I S , x ............. Flächenmoment 1. Grades bzgl. der x-Achse im Schwerpunkt S A ................ Fläche der Wandung e ................. Exzentrizität, Abstand von Schwerpunkt zu Kraftangriffspunkt 6.3

Hydrostatischer Auftrieb

Fa = ρ ⋅ g ⋅ V Fa .............. Auftriebskraft ρ ................ Dichte des umgebenden Fluids g ................ Erdbeschleunigung V ................ Volumen des verdrängten Fluids (also nur das Volumen des eintauchenden Körpers, das unterhalb er Flüssigkeitsoberfläche liegt) 6.4

Barometrische Höhenformel p0 = p b0 ⋅ e

ρ  − b0 ⋅ g ⋅z   p b0 

nur gültig für z < 1000m , darüber isentrope Zustandsänderung verwenden gemäß Zusatzblätter von Prof. Dr. V. Schröder

; pb0 = 1,01325bar; Tb0 = 288,15 K mit ρ b 0 = 1,225 kg m3 (atmosphärische Verhältnisse am Boden gemäß ICAO-Norm) 6.5

Aräometer

t=

V π ⋅ r2

 ρ ⋅  0 − 1   ρ

t.................. Tiefe der Eichmarkierung V ................ Volumen des Aräometers r ................. Radius des Meßröhrchens des Aräometers ρ 0 .............. Dichte des Eichfluids ρ ................ Dichte des u messenden Fluids

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7 Fluiddynamik stationärer Strömungen 7.1

Laminare und turbulente Strömung D Re = c ⋅ (Rohr)

ν

Re = c∞ ⋅

L

ν

(Platte, Tragflügel)

L ................ Flügeltiefe c∞ ............... Anströmgeschwindigkeit (relative Flügelgeschwindigkeit gegenüber den Fluidteilchen)

D ............... Rohrdurchmesser c ................. Geschwindigkeit des Fluidteilchens

ν ................ kinematische Viskosität Re .............. Reynoldszahl Re < 2320 ⇒ laminare Strömung Re > 2320 ⇒ turbulente Strömung

7.2

Durchflussgleichung (Kontinuitätsgleichung) eindimensionaler, stationärer Strömungen

7.2.1 Definition des Volumenstroms

•

für gleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung über dem Querschnitt gemäß:

⇒ V& = A ⋅

ds ; dt

falls c ⊥ A ⇒ V& = A⋅ c

& ................ Volumenstrom V s, A, t ........ Weg, Fläche, Zeit c ................. mittlere Geschwindigkeit der Fluidteilchen über den Querschnitt

•

für ungleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung über dem Querschnitt gemäß: V& = ∫ dV& = ∫ c( r ) ⋅ dA A

R

z.B. Kreisquerschnitt: V& = 2π ∫ c( r) ⋅ r ⋅ dr 0

c (r ) ........... integrierbare Funktion der Geschwindigkeitsverteilung der Fluidteilchen über den Querschnitt r ................. Laufvariable über den Kreisquerschnitt von 0 (Mittelpunkt) bis R (Außenradius) 7.2.2 Definition des Massenstroms m& = ρ ⋅V& &m ............... Massenstrom ρ ................ Dichte des Fluids

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7.2.3 Kontinuitätsgleichung n

∑ m&

i

=0

„Die Summe aller einströmenden und ausströmenden Massenströme ist Null.“

i =1

auch:

ρ1 ⋅ c1 ⋅ A1 = ρ2 ⋅ c2 ⋅ A2 ρ 1 , c1 , A1 ..Dichte, Geschwindigkeit, Fläche der zuströmenden Fluide ρ 2 , c 2 , A2 Dichte, Geschwindigkeit, Fläche der abfließenden Fluide Im Fall inkompressibler Fluide verändert sich die Dichte ρ nicht. Damit vereinfacht sich obige Gleichung zur Durchflußgleichung: V&1 = V&2 ⇔ c1 ⋅ A1 = c 2 ⋅ A2 für inkompressible Fluide & V1 / 2 ............ zu-/abfließender Volumenstrom V& = c ⋅ A 7.3

Bernoulli-Gleichung des ruhenden Systems

7.3.1 Bernoulli-Gleichungen ohne Berücksichtigung von Verlusten

ρ 2 dynamischer Druck

geodätischer Druck

statischer Druck

p + ρ⋅ g ⋅ z +

⋅ c 2 = C1 = const. b) als Druckgleichung

zu statischer Druck und dynamischer Druck vgl. auch Prandtl-Staurohr 7.4.2

Geschwindigkeitshöhe

p c2 +z+ = C 2 = const . c) als Höhengleichung 2g ρ⋅g geodätischer Höhe

C, C1, C2........Bernoullikonstanten

a) als Energiegleichung (durch Integration der Eulerschen Bewegungsgleichung)

statische Druckhöhe

c2 = C = const . 2

spez. Geschwindigkeit

spez. Druckenergie

ρ

+ g ⋅z + spez. Lageenergie

p

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7.3.2 Erweiterte Bernoulli-Gleichungen unter Berücksichtigung von Verlusten a) als Energiegleichung:

p1

ρ

+ g ⋅ z1 +

c12 p2 c2 = + g ⋅ z2 + 2 + YV 1− 2 ρ 2 2

YV1− 2 ............ spezifische Verlustenergie zwischen Punkt 1 und 2 b) als Druckgleichung :

p1 + ρ ⋅ g ⋅ z1 +

ρ 2

⋅ c1 = p2 + ρ ⋅ g ⋅ z2 + 2

ρ 2

2

⋅ c2 + pV 1− 2

pV1− 2 ........... Druckverlust zwischen Punkt 1 und 2 c) als Höhengleichung:

p1 c1 2 p2 c 22 +z + = +z + + H V1− 2 ρ ⋅ g 1 2 g ρ ⋅ g 2 2g

YV 1−2 =

p V1− 2

ρ

= H V1−2 ⋅ g

H V1− 2 .......... Verlusthöhe zwischen Punkt 1 und 2 7.3.3 Gültigkeit der Bernoulli-Gleichungen Die Bernoulli-Gleichung gilt exakt grundsätzlich nur entlang einer Stromlinie bei stationärer Strömung eines idealen Fluids, d.h. die Bernoullikonstante ist nur dieser Stromlinie entlang konstant. Für den Sonderfall paralleler Stromlinien und homogener Geschwindigkeitsverteilung über den Querschnitt senkrecht zur Strömungsrichtung ist die Bernoulli-Gleichung allgemeingültig, d.h. die Bernoullikonstante ist über den gesamten Querschnitt für jede Stromlinie gleich und konstant. Für den Sonderfall einer Strömung entlang einer gekrümmten Bahn muß die Druckänderung dpn über den Querschnitt berücksichtigt werden. 7.4

Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung für ruhende Systeme

7.4.1 Torricellische Ausflußgleichung (siehe auch 7.8.3 unten: Ausfluss aus Behältern)

c2 =

2⋅ (g ⋅ ∆ z − YV 1− 2 ) Annahme: p1 = p 2 = p B und c1 ≈ 0 bei großem Querschnitt A1 YV1− 2 ............ spezifische Verlustenergie zwischen Punkt 1 und 2 ∆z .............. Höhendifferenz zwischen Punkt 1 und 2

7.4.2 Prandtl-Staurohr / umströmtes Profil Grundsatz für umströmte Profile: die Gesamtenergie und damit der Gesamtdruck ändert sich entlang einer Stromlinie nicht!

p2 = p1 +

ρ 2

⋅ c1 oder p g = p st + p dyn Annahme: z1=z2 (horizontal); c 2 = 0 (im Staupunkt) 2

p g = p 2 .................... Gesamtdruck p st = p1 .................... statischer Druck p dyn =

ρ 2

c1 2 ............. dynamischer Druck

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7.4.3 Horizontaler, gerader Diffusor p2 ' = p1 + ρ ⋅

2 c1 2   A1   ⋅1 −    2   A2    

(rein theoretisch) ohne Verluste

REALITÄT: VERLUSTBEHAFTETER DIFFUSOR MIT WIRKUNGSGRAD η D ηD =

pV1 −2

p2 − p1 p 2 '− p 1

sehr guter Diffusor mit sehr kleinen Neigungswinkeln: ηD ≈ 0,95

p1 ............... tatsächlicher (realer) Druck vor dem Diffusor pV1 −2 = p 2 '− p 2 p2 ............... tatsächlicher (realer) Druck nach dem Diffusor p2 ' ............. theoretischer Druck (ohne Verluste, vgl. oben) nach Durchströmen des Diffusors 2 Druckverlust beim realen (verlustbehaftetem) ρ 2   A1   = (1 − η D ) ⋅ ⋅ c1 ⋅ 1 −    Diffusor 2   A 2  

GESCHWINDIGKEITSERHÖHUNG DURCH DEN KONFUSOR: 2

c2 = c1 + 2 ⋅

p1 − p 2'

ρ

(ohne Verluste; mit Verlusten: p 2 ' durch p2 ersetzen)

7.4.4 Pitot-Rohr c = 2⋅ g ⋅h

nur für offene Flüssigkeitssysteme und offenes Rohr

h ................ Höhe der Flüssigkeitssäule im Pitot-Rohr

7.5

Druckänderung normal zu Stromlinien (z.B. bei gekrümmter Bahn) 2

c dpn = ρ ⋅ ⋅ dn r

(vgl. U#31) (Näherungsformel, gute Näherung nur bei Betrachtungen über den gesamten Querschnitt)

dpn ............. Druckänderung über den Querschnitt der Länge dn normal zur Strömungsrichtung dn .............. Länge des betrachteten Querschnitts n dn c ................. mittlere Geschwindigkeit im Bereich des betrachteten Querschnitts r ................. mittlerer Radius des betrachteten Querschnitts c ρ ................ Dichte des Fluids damit: Potentialwirbel: dpn = − ρ ⋅c ⋅ dc ⇒ r1 ⋅ c1 = r2 ⋅c 2 = konst. 2 ρ 2  r  p (r ) = p 0 + ⋅ c 0 ⋅ 1 − 02  2  r 

r

Merke: in einem ungekrümmten durchflossenen Volumen ist (bei stationärer Strömung) der statische Druck über der Querschnittsfläche konstant, auch bei abgelöster Strömung und unterschiedlichen Geschwindigkeiten über diesem Querschnitt (Einschnürung).

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Bernoulli-Gleichung des rotierenden Systems p

ρ

w2 u 2 − + g ⋅ z = konst . 2 2

+

Energiegleichung ohne Verluste (mit Verlusten bzw. andere Gleichungsformen entsprechend 7.3)

u = ω ⋅ r ..... Umfangsgeschwindigkeit bei Winkelgeschwindigkeitω und Radius r des Absolutsystems w ................ Relativgeschwindigkeit des Fluidteilchens zum rotierenden System (normalerweise tangential zur Stromlinie) p ,ρ , z ....... Druck, Dichte und Höhe des Fluids Druckänderung an Turbinenschaufeln allgemein (vgl. Zusatzblätter) Sonderfall: gerade Turbinenschaufeln: w = w '+ 2⋅ω ⋅ ∆n

7.7

Impulssatz

7.7.1 Integration über Kontrollvolumen

(

n

∑F

Ii

= m& ⋅ c 2 − c1

)

Vektorgleichung! Vorzeichen gemäß Koordinatensystem!

i =1

n

∑F

Ii

........ Summe aller angreifenden Impulskräfte

i =1

& ............... Massenstrom durch das Volumenelement m c 2 ............... Summe aller abfließenden Stromgeschwindigkeiten

c1 ................ Summe aller zufließenden Stromgeschwindigkeiten 7.7.2 Unbestimmte Integration („Impulspotential“) Grundsätzlich: Druck- und Impulskräfte zeigen immer in den FIi = m& ⋅ c i Kontrollraum hinein! Vorzeichenregel: 1. am Eintritt in Kontrollvolumen FI 1 in c(1) -Richtung 2. am Austritt entgegen c ( 2) -Richtung 7.8

Folgerungen aus dem Impulssatz

7.8.1 Kräftegleichgewicht m r m& ⋅ c2 − c1 = ∑ FSk nur gültig für stationären Fall (ohne Beschleunigung)

(

)

k =1

(

)

n r m& ⋅ c 2 − c 1 ≡ ∑F Ij

Summe aller Impulskräfte am Kontrollraum

j= 1

m

r

∑F

Sk

........ Summe aller sonstigen angreifenden Kräfte am Kontrollraum

k =1

7.8.2 Schiefer Stoß gegen feststehende Wand FW = ρ ⋅ AD ⋅ cD ⋅ sin δ

nur für Anordnung gemäß:

V&2 = 12 ⋅V&1 ⋅ (1 − cos δ ) V&3 = 12 ⋅V&1 ⋅ (1 + cosδ )

Sonderfall: δ = 90° , damit: V&2 = V&3 = 12 ⋅ V&1

2

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7.8.3 Ausfluß aus Behältern ins Freie (Siehe 7.4.1 oben: Torricellische Ausflussgleichung) A α= e Kontraktionszahl Ai

Ae ............... Querschnittsfläche des tatsächlichen Ausflußstroms (Einschnürung, Ablösung!) Ai ............... Querschnittsfläche des Eintrittsstroms Beispiele: - scharfkantiges Loch, kreisförmig: α=0,58 - scharfkantiges Loch, rechteckig: α=0,61 - Bordamündung, scharfkantig: α=0,5 - abgerundete Düse: α≈1

8 Rohrströmungen 8.1

Laminare Rohrströmung Re...