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STRUTTURE IPERSTATICHE: IL METODO DELLE FORZE Si definiscono iperstatiche, come noto, le strutture dotate di un numero di vincoli superiore a quello strettamente necessario per garantirne l’equilibrio. Tale circostanza ha come immediata conseguenza il fatto che le sole equazioni di equilibrio non siano più sufficienti a risolvere simili schemi. Occorre, allora, fare ricorso a speciali metodi di risoluzione. I principali sono i seguenti: - metodo delle forze; - metodo degli spostamenti (o dei cedimenti); principio dei lavori virtuali. Il metodo delle forze viene così denominato perché consente di ricondurre la struttura iperstatica ad una isostatica ad essa equivalente assumendo come incognite delle forze (intese in senso lato; dunque possono essere forze o coppie, interne o esterne). Per comprendere subito lo spirito di tale metodo, si sottopone all’allievo la risoluzione del seguente caso applicativo. Trattasi di una trave incastrata in un estremo, semplicemente appoggiata all’altro e sottoposta ad un carico uniformemente distribuito q.

L

q A

B z

y La trave è evidentemente 1 volta iperstatica. Lo si può intuire subito osservando che trattasi di una mensola (di per sé isostatica) cui è stato aggiunto un vincolo semplice (carrello) in B oppure si può eseguire il computo in modo completo: 3t − s = l −i t =1 ⇒ 3t = 3

⇒

3−4 = 0−i

⇒

i =1

s = 3+1= 4 ∃/c.i.r ⇒ l = 0 La prima fase del metodo consiste nel rendere idealmente isostatica la struttura. È ovvio che tale operazione può essere condotta in infiniti modi (ad esempio declassando l’incastro a cerniera oppure sopprimendo il carrello in B o, ancora, introducendo una sconnessione a flessione in una sezione qualsiasi compresa tra A e B, ecc.). In linea di principio, la scelta è del tutto arbitraria; essa non influenza, ovviamente, il risultato finale. Con l’esperienza si impara, però, a scegliere di caso in caso lo schema isostatico che comporti un minore onere nei calcoli successivi. Nel caso in esame, si sceglie di rendere isostatica la struttura data sopprimendo il carrello (schema (1) nella figura che segue). Affinché lo schema isostatico possa ritenersi esattamente equivalente (nel

seguito si indicherà spesso con la sigla S.I.E., Sistema Isostatico Equivalente) a quello iperstatico dato, occorre però ripristinare le condizioni statiche e cinematiche che il vincolo soppresso esplicava sullo schema originario. Occorre, cioè, sovrapporre lo schema 1 allo schema 2 in cui si ripristina la presenza della reazione vincolare del vincolo soppresso (detta X, per ora, essendo incognita).

Ripristinata la caratteristica statica del vincolo virtualmente eliminato, occorre, imporre il rispetto anche della sua caratteristica cinematica. Occorre, cioè, imporre che sia: vB = 0 (1) L’equazione (1), detta equazione di congruenza permette di determinare il valore dell’incognita X, una volta che sia stata esplicitata in funzione di X stessa. Lo spostamento verticale vB può determinarsi sommando algebricamente gli spostamenti indotti solo da q (schema 1) e quelli indotti solo da X (schema 2): (2) vB =vB(1) +vB(2) = 0 Ricordando i valori notevoli: vB(1) = qL4 8EI

;

vB(2) = − XL3

(3)

3EI

Sostituendo le espressioni (3) nella (2): vB =vB(1) +vB(2) = 8qLEI4 − 3XLEI3 = 0⇒ X = 83 qL

(4)

Il fatto che sia risultato X > 0 indica che il verso ipotizzato è quello corretto. Il sistema isostatico seguente è allora perfettamente equivalente a quello dato e su di esso possono condursi tutte le analisi (calcolo sollecitazioni interne, spostamenti, q deformazioni, tensioni) già studiate con riferimento ai sistemi isostatici. A B

z X=R =

y L

qL

Si proceda, ad esempio, con il calcolo delle rimanenti reazioni vincolari (RBy=X=3qL/8): RAy = qL − RBy = qL −

qL =

qL

MA = −qL L2 + 83qLL = − qL82

(5)

Note le reazioni vincolari, è immediato il tracciamento del diagramma del taglio visto che risulta: 5 VA = RAy = 8 qL (6) VB = −RBy = −qL Dalla legge del taglio, si può ricavare facilmente l’ascissa z* in cui il taglio si annulla: 5 − V(z) = RAy qz

⇒

z* = RqAy = 8qqL = 85 L

(7)

Il diagramma del momento si disegna, al solito, mediante la costruzione della parabola, a partire dai valori noti agli estremi: (8)

MA = − qL82 MB = 0 Nota l’ascissa z* di taglio nullo, è possibile calcolare il valore massimo del momento flettente: Mmax = M(z*) = − qL82 + 85qL⋅z*−qz* z2* = − qL82 + 85qL⋅85 L−q (9)

85 L

2

12 = 1289 qL2

I punti di nullo del diagramma del momento possono ricavarsi come segue: M(z)= −MA + RAyz − q2z 2 = − qL82 + 85qLz − q2z 2 = 0⇒ z = LL/4

(10)

Oltre al già noto punto di nullo in B (z = L ), si ricava, allora, l’ascissa L/4 del punto di nullo in campata. La funzione v(z) della linea elastica si ricava esattamente come fatto per le travi isostatiche. La determinazione delle 4 costanti di integrazione C0, C1, C2 e C3 si basa sulla scrittura delle seguenti 4 condizioni al contorno: in A (z=0): vA=v(0)=0 in B (z=L): vB=v(L)=0 (11) fA=-v’(0)=0

MB=-EIv”(L)=0

Si ricava, in tal modo: qL 5qL C0 = 0 ; C1 = 0 ; C2 = 16 EI2 ; C3 = − 48 EI e, dunque, l’equazione della linea elastica risulta essere la seguente: v(z) = qL2 z2 − 5qL z3 + qz4 16EI 48EI 24EI (17)

(12)

2A applicazione Si prenda in esame la seguente trave incastrata-incastrata di luce L, sottoposta al carico uniformemente distribuito q. È evidentemente 3 volte iperstatica. Lo si può vedere in modo pratico interpretando la struttura data come una mensola cui è stato aggiunto un secondo incastro (vincolo triplo); o in modo rigoroso, osservando che t = 1, s = 6 ( 3t-s = -3) e che l =0 in virtù del fatto che gli incastri non consentono la definizione di alcun centro di rotazione.

q

A

B z

y Nello spirito del metodo delle forze, occorre rendere fittiziamente isostatica la struttura. Si sceglie, ad esempio, di farlo declassando a cerniera l’incastro in A e a carrello quello in B. Il sistema isostatico (1) così ottenuto è effettivamente equivalente a quello iperstatico dato se ad esso si sommano gli schemi (2), (3) e (4), utili a ristabilire la caratteristica statica dei due vincoli originari, e se gli enti XA, X’B e X”B (incognite iperstatiche) assumono valori (unici) tali da garantire il rispetto anche delle condizioni cinematiche imposte dai vincoli originari.

Tali valori si determinano, come noto, mediante le equazioni di congruenza:

ϕA = 0

⇔ ϕA(1) +ϕA(2) +ϕA(3) +ϕA(4) = 0

ϕB = 0

⇔ ϕB(1) +ϕB(2) +ϕB(3) +ϕB(4) = 0

(18)

wB = 0 ⇔ w(B1) + w(B2) + w(B3) + w(B4) = 0

È evidente che ϕ(A3) =ϕ(B3) = 0 e che, nell’ipotesi di piccoli spostamenti in cui si sta operando, w(B1) = w(B2) = w(B4) = 0 . Il sistema di equazioni di congruenza (18) si semplifica, pertanto, nel modo

seguente:

ϕA(1) +ϕA(2) +ϕA(4) = 0 ϕB(1) +ϕB(2) +ϕB(4) = 0

(19)

wB(3) = 0 Osservando che lo schema (3) coincide con il caso base preso in esame per la trattazione dello sforzo normale secondo De Saint Venant e ricordando che un’asta di lunghezza L, sezione trasversale di area A, composta di un materiale con modulo di Young E, sottoposta a solo sforzo assiale N subisce una variazione di lunghezza pari a NL / EA, le equazioni (19), esplicitate in funzione delle incognite, porgono: XAL + XB" L = 0

− qL3 + 24EI

3EI

6EI

XAL − XB" L = 0

qL3

(19)

− 24EI

6EI

3EI

X'B L = 0 EA

Dalla terza equazione discende subito X’B = 0. Nel seguito si indicherà allora la coppia X”B semplicemente con XB. Il sistema (19) diventa pertanto: XAL + XBL = qL3 3EI

6EI

24EI3

(20)

XAL + XBL = qL 6EI

3EI

24EI

La matrice dei coefficienti delle incognite di un qualunque sistema di equazioni di congruenza è sempre simmetrico rispetto alla diagonale principale. Nel particolare caso in esame, la matrice è simmetrica anche rispetto all’altra diagonale; essendo poi uguali anche i termini noti, è evidente che XA = XB. Dunque, sostituendo tale uguaglianza in una delle due equazioni, si ricava: XA = XB = qL122 (22)

Dunque, un sistema isostatico equivalente alla trave iperstatica data è, in definitiva, quello seguente:

qL22 12

È banale verificare che le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione interna relative a tale sistema siano quelle indicate nelle figure seguenti.

Su questo schema isostatico l’allievo è, inoltre, in grado di determinare le funzioni abbassamento e rotazione integrando l’equazione della linea elastica. È interessante porre a confronto i diagrammi del momento flettente relativi a due travi uguali per geometria, sottoposte allo stesso carico uniformemente distribuito q, ma essendo l’una semplicemente appoggiata, l’altra incastrata-incastrata:

N.B.

q A

qL2 8

B

24

Si osserva che il diagramma relativo alla trave doppiamente incastrata è pari a quello della trave semplicemente appoggiata traslato verso l’alto (dalle coppie di reazione degli incastri) della quantità qL2/12. qL2 12

Come anticipato nell’introduzione del metodo delle forze, esistono infiniti modi per rendere isostatica una struttura iperstatica data. A ciascuno di questi, corrisponde un particolare sistema di equazioni di congruenza che permettono di determinare il valore delle incognite iperstatiche implicitamente assunte. Per chiarire questo concetto, si pensi che l’esercizio appena concluso può essere svolto (ovviamente a parità di risultati finali) assumendo, in sostituzione allo schema semplicemente appoggiato adottato in precedenza, il seguente schema isostatico, ottenuto da quello iperstatico dato sopprimendo l’incastro in B ed aggiungendo le incognite iperstatiche X'B , X"B , X'''B .

OSS.

Le equazioni di congruenza in questo caso diventano:

ϕB = 0

⇔ ϕB(1) +ϕB(2) +ϕB(3) +ϕB(4) = 0

vB = 0

⇔ vB(1) + vB(2) + vB(3) + vB(4) = 0

wB = 0

⇔ wB(1) + wB(2) + wB(3) + wB(4) = 0

(23)

Esplicitate tali equazioni in funzione delle incognite e risolto il sistema che ne consegue, si ottiene:

X'B =

qL 2 12

X"B = qL2

(24)

X'''B = 0 che coincidono, come è ovvio, con i valori delle reazioni dell’incastro in B già determinati assumendo un diverso S.I.E.....