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ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2009-2010

Studio di funzioni Esercizi svolti. 1. Studiare la seguente funzione f(x) = e disegnarne il grafico.

x3 − 3x + 2 x2 − 1

Svolgimento: • dominio: basta imporre la condizione che il denominatore non sia nullo, quindi x2 6= 1 ,

da cui segue che il dominio di f `e D = R \ {−1, 1} ; • asintoti: osserviamo che f(x) =

2 (x − 1)(x2 + x − 2) x2 + x − 2 x3 − 3x + 2 =x− = = x+1 x2 − 1 (x − 1)(x + 1) x+1

per ogni x 6= ±1 . Allora si ha lim f(x) = lim

x→−1+

x→−1+

µ x−

2 x+1

¶

= −∞ ,

mentre µ lim f(x) = lim x− −

¶ 2 = +∞ , x→−1 x+1 x→−1− per cui f ha un asintoto verticale di equazione x = −1. Inoltre µ ¶ 2 lim f(x) = lim x − = 0. x→1 x→1 x+1 Infine risulta ¶ µ 2 lim f(x) = lim = ±∞ , x− x→±∞ x→±∞ x+1 quindi potrebbe esserci un asintoto obliquo. Poich´e ¶ µ f(x) 2 lim =1 = lim 1 − x→±∞ x x→±∞ x(x + 1) e −2 lim (f (x) − x) = lim = 0, x→±∞ x→±∞ x + 1 allora f ha un asintoto obliquo la cui equazione `e y = x ; 1

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• monotonia e massimi e minimi: f `e derivabile nel suo dominio e per ogni x ∈ D risulta µ ¶′ 2 x2 + 2x + 3 ′ f (x) = x − . = ··· = (x + 1)2 x+1 Allora f ′ (x) > 0 per ogni x ∈ D, quindi f `e crescente in D. Inoltre non ci sono massimi e minimi relativi o assoluti per f ; ` , convessit `a e flessi: calcolando la derivata seconda si ha • concavita f ′′(x) =

4 (2x + 2)(x + 1)2 − 2(x2 + 2x + 3)(x + 1) = ··· = − . (x + 1)4 (x + 1)3

Allora

4 > 0 ⇐⇒ x < −1 , (x + 1)3 quindi f `e convessa nell’intervallo (−∞, −1) e concava in (−1, 1) ∪ (1, +∞). Il punto in cui cambia la concavit` a della funzione f non `e un punto di flesso, in quanto in tale punto la funzione non `e definita; f ′′(x) = −

• grafico:

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2. Studiare la seguente funzione e disegnarne il grafico.

f(x) = −

p

4e2x − 4

Svolgimento: • dominio: basta imporre la condizione che il radicando sia maggiore o uguale a zero, quindi 4e2x − 4 ≥ 0 da cui segue che il dominio di f `e D = {x ∈ R : x ≥ 0} ; • segno: risulta che f(x) ≤ 0 per ogni x ∈ D e f (x) = 0 se e solo se x = 0 ; • asintoti: si ha che

lim −

x→+∞

p

4e2x − 4 = −∞ ,

per cui f non ha asintoti orizzontali. Inoltre √ 4e2x − 4 lim − = −∞ x→+∞ x quindi f non ha neanche asintoti obliqui; • monotonia e massimi e minimi: f `e derivabile per ogni x > 0 e risulta −2e2x < 0 per ogni x > 0 , f ′ (x) = √ e2x − 1 quindi f `e decrescente nel suo dominio; ` , convessit ` a e flessi: calcolando la derivata seconda di f si ottiene • concavita che per ogni x > 0 √ 2x −4e2x e2x − 1 + 2e2x · √2e2x −2e2x (e2x − 2) 2 e −1 ′′ f (x) = . = p 2x e −1 (e2x − 1)3 Allora f ′′(x) > 0 se e solo se

e2x − 2 < 0

e quindi se e solo se x < (log 2)/2 . Pertanto f `e convessa in [0, (log 2)/2) e concava in ((log 2)/2, +∞), mentre x = (log 2)/2 `e un punto di flesso; • grafico:

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3. Studiare la seguente funzione f(x) = e disegnarne il grafico.

ex |e2x − 1|

Svolgimento: • dominio: basta imporre che il denominatore di f sia non nullo, quindi che e2x 6= 1

da cui segue che il dominio di f `e dato da D = R \ {0} ; • segno: risulta f(x) > 0 per ogni x ∈ D; • asintoti: si ha

ex = 0, x→±∞ |e2x − 1| quindi y = 0 `e un asintoto orizzontale per f a ±∞. Inoltre si ha ex = +∞ , lim 2x ± x→0 |e − 1| per cui x = 0 `e un asintoto verticale per f ; lim

• monotonia e massimi e minimi: f si pu`o scrivere come  ex  se x > 0   2x e − 1 f(x) =  x    −e se x < 0 , 2x e −1 quindi f `e derivabile in D e si ha  x 2x −e (e + 1)      (e2x − 1)2 f ′ (x) =    ex (e2x + 1)   (e2x − 1)2

se

x>0

se

x < 0.

Pertanto f `e crescente in (−∞, 0) e decresce in (0, +∞) e non ha n´e massimi n´e minimi; • grafico:

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4. Studiare la seguente funzione f(x) = −

1 log (arctan x + 1)

e disegnarne il grafico. Svolgimento: • dominio: l’insieme di definizione D di f `e dato da   arctan x + 1 > 0 

da cui segue

log (arctan x + 1) 6= 0

  arctan x > −1 

e quindi

arctan x + 1 6= 1

  x > tan(−1) = − tan 1  x 6= 0 .

Allora il dominio di f `e D = (− tan 1, 0) ∪ (0, +∞) ; • segno: risulta f(x) > 0 se e solo se log (arctan x + 1) < 0 e quindi se e solo se 0 < arctan x + 1 < 1 da cui segue x ∈ (− tan 1, 0) ; • asintoti: si ha

¶ 1 = −∞ log (arctan x + 1) x→0+ e ¶ µ 1 lim − = +∞ , log (arctan x + 1) x→0− quindi x = 0 `e un asintoto verticale per f. Inoltre si ha ¶ µ 1 lim = 0, − log (arctan x + 1) x→(− tan 1)+ lim

µ −

per cui f `e prolungabile con continuit`a in x = − tan 1 . Infine ¶ µ 1 1 lim =− . − x→+∞ log (arctan x + 1) log (π/2 + 1) Allora y = −

1 `e un asintoto orizzontale per f ; log (π/2 + 1)

• monotonia e massimi e minimi: la funzione f `e derivabile per ogni x ∈ D e si ha 1 1 1 · . f ′ (x) = · log2 (arctan x + 1) arctan x + 1 1 + x2 Allora f ′ (x) > 0 se e solo se arctan x + 1 > 0

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e quindi per ogni x ∈ D . Pertanto f `e crescente in D ; ` , convessit `a e flessi: lo studio della derivata seconda si presenta • concavita complicato. Calcoliamo µ ¶ 1 1 1 lim f ′ (x) = lim · · . x→(− tan 1)+ x→(− tan 1)+ log2 (arctan x + 1) arctan x + 1 1 + x2 Grazie al confronto tra infiniti risulta ¶ µ 1 1 · lim = +∞ log2 (arctan x + 1) arctan x + 1 x→(− tan 1)+ e quindi lim

x→(− tan 1)+

f ′ (x) = +∞ .

Allora f ha una tangente verticale di equazione x = − tan 1 . Poich´e f `e crescente in (− tan 1, 0), allora f `e necessariamente concava in un intorno destro di x = − tan 1. D’altra parte, essendo lim f(x) = +∞, f deve necessariamente essere convessa in x→0−

un intorno sinistro di x = 0. Quindi, deve esistere almeno un flesso in un punto x0 ∈ (− tan 1, 0) ; • grafico:

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Esercizi proposti. • Studiare le seguenti funzioni e disegnarne il grafico: 1. f(x) = x + ex 2. f(x) = log(x2 + x) 3. f(x) =

ex + 2e−2x 3

4. f(x) = | log |x|| 1 5. f(x) = √ x−1   log(1 + x) 6. f(x) =   |1 + x| − 1 7. f(x) =

se

x≥0

se

x...