Taller #3; álgebra lineal PDF

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Tarea #3 de álgebra lineal Álgebra de matrices

Jorge Ospino Portillo NRC: 9893

Danna Christina García López (200163240). Javit Marquez Luna (200163986). Daniela Reyes De la Rosa (200162666).

Universidad del Norte Álgebra lineal Departamento de matemáticas y estadística. 2021 10

1. Ejercicios números 44 y 45 del grupo de Problemas 1.5, página 58. 44. Considere la “gráfica” que une los cuatro puntos de la figura 1.7. Construya una matriz de 4 x 4 que tenga la propiedad de que aij = 0 y el punto i no está conectado (unido por una línea) con el punto j y aij = 1 si el punto i está conectado con el punto j.

R// a11= 0

a31= 1

a12= 1

a32= 1

a13= 1

a33= 0

a14= 0

a34= 1

a21= 1

a41= 0

a22= 0

a42= 0

a23= 1

a43=1

a24= 0

a44= 0

0 A=(1 1 0

1 1 0 0 1 0) 1 0 1 0 1 0

45. Haga lo mismo (construyendo una matriz 5x5) para la gráfica de la figura 1.8.

R// a34= 0 a35= 1 a41= 1 a42= 1 a43= 0 a44= 0 a45= 0 a51= 0 a52= 0 a53= 1 a54= 0 a55= 0

a11=0 a12= 1 a13= 0 a14= 1 a15= 0 a21= 1 a22= 0 a23= 1 a24= 1 a25= 0 a31= 0 a32= 1 a33= 0

0 1 A= 0 1 (0

1 0 1 1 0

0 1 0 0 1

1 1 0 0 0

0 0 1 0 0

)

2. Ejercicios números 43, 44, 45 y 46 del grupo de Problemas 1.6, página 81. 43. Un fabricante de joyería sobre diseño, tiene órdenes por 2 anillos, tres pares de aretes, 5 1 prendedores y un collar. El fabricante estima que le lleva 1 hora de mano de obra hacer un anillo, 1 1

horas hacer un par de aretes, horas hacer un prendedor y 2 horas hacer un collar. 2

a) Exprese las órdenes del fabricante como un vector renglón. R// 𝐴 = (2 3 5 1)

b) Exprese los requerimientos en horas para los distintos tipos de joyas como un vector columna. R// 𝐵 =

1 3 2 1 2

(2 )

2

c) Utilice el producto escalar para calcular el número total de horas que requerirá para terminar las órdenes. R// (𝐴 ∗ 𝐵) = (2 3 5 1) ∗

1 3

2 1 2

= 11

(2) [(2*1) + (3*1.5) + (5*0.5) + (1*2)] = (2 + 4.5 + 2.5 + 2) = 11

44. Un turista regresó de un viaje por Europa con monedas extranjeras de las siguientes denominaciones: 1000 chelines austriacos, 20 libras inglesas, 100 francos franceses, 5000 liras italianas y 50 marcos alemanes. En dólares, un chelín valía $0.055, la libra $1.80, el franco $0.20, la lira $0.001 y el marco $0.40. a) Exprese la cantidad de cada tipo de moneda por medio de un vector renglón. R// 𝐴 = (1000 20 100 5000 50) b) Exprese el valor de cada tipo de moneda en dólares por medio de un vector columna. 0.055 1.80 R// 𝐵 = 0.20 0.001 ( 0.40 )

c) Utiliza el producto escalar para calcular cuantos dólares valía el dinero extranjero del turista. 0.055 1.80 R// (𝐴 ∗ 𝐵) = (1000 20 100 5000 50) ∗ 0.20 = 136 0.001 ( 0.40 )

[(1000*0,055) +(20*1,80) +(100*0,20) +(5000*0,001) +(50*0,40)]= (55+36+20+5+20) =136

45. Una compañía paga un salario a sus ejecutivos y le da un porcentaje de sus acciones como un bono anual. El año pasado el presidente de la compañía recibió $80000 y 50 acciones, se pagó al vicepresidente $45000 y 20 acciones, y el tesorero recibió $40000 y 10 acciones. a) Exprese los pagos a los ejecutivos como una matriz 2x3. 80000 45000 40000 R// 𝐴 = ( ) 50 20 10 b) Exprese el número de ejecutivos de cada nivel como un vector columna. 1 R// 𝐵 = (1) 1

c) Utilice la multiplicación de matrices para calcular la cantidad total de dinero y el número total de acciones que pagó la compañía a los ejecutivos el año pasado. 1 80000 45000 40000 165000 R// (𝐴 ∗ 𝐵) = ( ) ∗ ( 1) = ( 80 ) 50 20 10 1 C11 = (80000*1) + (45000*1) + (40000*10) = 165000 C21= (50*1) + (20*1) + (10*1) = 80 46. La siguiente tabla contiene ventas, utilidades brutas por unidad y los impuestos por unidad sobre las ventas de una compañía grande:

Encuentre una matriz que muestre las utilidades y los impuestos totales para cada mes. 4 6 R// 𝐴 = ( 5 8

2 20 3,5 1,5 1 9 ) 𝐵 = ( 2,75 2 ) 3 12 1,5 0,6 2,5 20 49,5 4 2 20 3,5 1,5 6 1 9 37,25 ) ∗ ( 2,75 2 ) = ( => (𝐴 ∗ 𝐵) = ( 5 3 12 43,75 1,5 0,6 64,87 8 2,5 20

22 16,4 ) 20,7 29

c11= (4*3.5) + (2*2.75) +(20*1.5) = 14 + 5.5 + 30 = 49,5 c12= (4*1.5) + (2*2) + (20*0.6) = 6 + 4 + 12 = 22 c21= (6*3.5) + (1*2.75) + (9*1.5) = 21 + 2.75 + 13.5 = 37,25 c22= (6*1,5) +(1*2) +(9*0.6) =9 + 2 + 5.4 = 16,4 c31= (5*3,5) + (3*2,75) + (12*1,5) = 17,5 + 8,25 + 18= 43,75 c32= (5*1,5) + (3*2) + (12*0,6) = 7,5 + 6 + 7,2= 20,7 c41= (8*3,5) + (2,5*2,75) + (20*1,5) = 28 + 6,875 + 30= 64,87 c42= (8*1,5) + (2,5*2) + (20*0,6) = 12 + 5 + 12 = 29

3. Ejercicio número 6 del grupo de problemas Matlab 1.8, páginas 119 y 120. 6) Considere las siguientes matrices. 1 2 3 0 −1 2 𝐴1 = 1 0 0 1 1 −1 (0 0 0 1 2 −1 0 −1 2 𝐴2 = 1 0 3 1 1 1 (0 0 0

2 −4 0 0 𝐴5 = 7 −14 8 7 −14 0 (9 −18 1

4 −1 2 1 0 7 −3 1 4 0

5

2 −1 1 4 ) 5 2 −1 1 4 )

4 5 −1 5 1 −9 7 −2 4 11 7 14

)

3 4 A3 = 2 5 (0

9 9 1 9 0

5 5 3 10 0

5 1 3 2 1 3 9 4 0 −5 )

1 2 −3 −2 −5 8 𝐴4 = 1 2 −2 1 1 0 4 −6 ( 2

4 5 −8 −9 7 9 6 2 8 11

)

a) Usando el comando rref, pruebe si las matrices A1 a A5 son o no invertibles. Pruebe la invertibilidad de A1*A2, A1*A3, A1*A4, A1*A5, A2*A3, A2*A4, A2*A5, A3*A4, A4*A5. Obtenga una conclusión sobre la relación entre la invertibilidad de dos matrices y la invertibilidad de su producto. Explique de qué manera la evidencia apoya su conclusión.

R// A1. es invertible

A2. no es invertible.

A3. es invertible.

A4. es invertible.

A5. no es invertible.

Pruebe la invertibilidad de: A1*A2: NO ES INVERTIBLE

A1*A3: SI ES INVERTIBLE

A1*A4: SI ES INVERTIBLE

A1*A5: NO ES INVERTIBLE

A2:A3 NO ES INVERTIBLE

A2:A4 NO ES INVERTIBLE

A2*A5: NO ES INVERTIBLE

A3*A4: SI ES INVERTIBLE

A3*A5: NO ES INVERTIBLE

A4*A5: NO ES INVERTIBLE

La invertibilidad se da cuando el determinante de la matriz es diferente de 0. De acuerdo con la invertibilidad de las matrices A1 a A5, se obtiene que sólo las matrices A1, A3 y A4 son invertibles pues se obtiene la matriz identidad. Existe invertibilidad en los productos de las matrices invertibles, es decir, A1*A3, A1*A4 y A3*A4 ya que se da la matriz identidad. En cuanto a las matrices no invertibles, el producto entre ellas tampoco es invertible. b) Para cada par de matrices A y B, del problema anterior, tales que AB es invertible, encuentre inv(A*B) - inv(A) * inv(B) y inv(A*B) – inv(B) * inv(A) Obtenga una fórmula para (AB)-1 en términos de A-1 y B-1. Explique. R// A1*A3

A1*A4

A3*A4

Fórmula: (A*B)-1= B-1* A-1 (A*B)(B-1* A-1)= A*B*B-1* A-1 A*Id* A-1= A* A-1= Id

4) Ejercicio número 1 del grupo de problemas Matlab 4.3, página 305. Ver sección 4.3 del texto de consulta. a) Genere una matriz A de 4x4 y sea S=triu(A)+triu(A)’, verifique que S sea simétrica. R// S sí es simétrica

b) Usando el inciso a), genere 2 matrices aleatorias de 4x4 reales simétricas, S y T, y un escalar aleatorio, a. Verifique que aS y S+T también son simétricas.

c) ¿Por qué se puede decir que se ha reunido evidencia de que el subconjunto de matrices simétricas de 4x4 es un subespacio de M44? R// Teniendo en cuenta que se ha venido trabajando con matrices aleatorias simétricas de orden 4 x 4, se ha demostrado que al realizar las operaciones principales tales como multiplicación por un escalar y suma de matrices, se genera otra matriz simétrica, así pues, los subconjuntos generados de matrices son subespacios de M44. d) (Lápiz y papel) Pruebe que el subconjunto de matrices simétricas de n x n es un subespacio de Mnn. R//

Al realizar las operaciones principales tales como la multiplicación por un escalar y suma de matrices, da como resultado subconjuntos de matrices simétricas aleatorias que son subespacios de Mnn....