Taller métodos de solución de sistemas de ecuaciones y matriz inversa PDF

Preview

Summary

Download Taller métodos de solución de sistemas de ecuaciones y matriz inversa PDF

Description

ACTIVIDAD 5

CRISTINA JIMENEZ SUCERQUIA BLANCA JANETH PEREZ BOTERO

ALGEBRA LINEAL NRC 5120

DOCENTE JUAN CARLOS CARMONA ARANGO

ADMINISTRACIÓN EN SALUD OCUPACIONAL CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS SECCIONAL ANTIOQUIA BELLO 2021

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Actividad 5

Taller: métodos de solución de sistemas de ecuaciones y matriz inversa Apreciado estudiante, en el presente taller encontrará diversos tipos de ejercicios, algunos de los cuales fueron tomados de la sección 9.4 del capítulo 9 del libro “Matemáticas aplicadas a la administración”.1

Para revisar los resultados de cada uno de los ejercicios, puede utilizar las siguientes aplicaciones: • Wolframalpha (https://www.wolframalpha.com/) • Geogebra (www.geogebra.org) Actividad Para cada uno de los siguientes conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas, determine si hay una solución única y obtenga la solución, si existe, utilizando la regla de Cramer. Desarrolle cada ejercicio paso a paso: 1) En cada caso halle la matriz inversa mediante los siguientes métodos:  El método de los determinantes. 1 0 3 a) 𝐴 = (1 0 2) 4 −1 6

Solución

Se halla el determinante

𝐴 = [(1 ∗ 0 ∗ 6) + (0 ∗ 2 ∗ 4) + (1 ∗ −1 ∗ 3)] −[(3 ∗ 0 ∗ 4) + (0 ∗ 1 ∗ 6) + (2 ∗ −1 ∗ 1)]

𝐴 = [(0) + (0) + (−3)] − [(0) + (0) + (−2)] 𝐴 = [−3] − [−2]

𝐴 = −3 + 2 𝐴 = −1

1 1 4 𝐴𝑡 = (0 0 −1 ) 3 2 6

Se hallan los valores de Adj (𝐴𝑡 ): Datos primera columna

0 −1 𝐴11 = [ ] = 0 − (−2) = 2 2 6

1 4 𝐴21 = [ ] = −(−6 − 08) = 2 2 6

1 4 ] = (−1 − 0) = −1 𝐴31 = [ 0 −1

0 −1 ] = −(0 − (−3) = −3 𝐴12 = − [ 3 6

Datos segunda columna

1 4 𝐴22 = [ ] = 6 − 12 = −6 3 6

1 4 ] = −(−1 − 0) = 1 𝐴32 = − [ 0 −1

Datos tercera columna

0 0 ] = (0 − 0) = 0 𝐴13 = [ 3 2

1 1 ] = −(2 − 3) = 1 𝐴23 = − [ 3 2 2 −3 Adj𝐴𝑡 = ( 2 −6 −1 1

0 1) 0

1 1 ] = (0 − 0) = 0 𝐴33 = [ 0 0

Se halla la matriz inversa:

𝐴−1 =

𝐴𝑑𝑗 (𝐴𝑡 ) 𝐴

2 −3 ( 2 −6 𝐴−1 = −1 1 −1

−2 3 𝐴−1 = ( −2 6 1 −1

0 1) 0

0 −1) 0

5 −2 0 33 12 ) b) 𝐵 = ( 5 −1 1 Se halla el determinante

|𝐵| = [(5 ∗ −2 ∗ 1) + (0 ∗ 3 ∗ 5) + (12 ∗ −1 ∗ 3)] − [(3 ∗ −2 ∗ 5) + (0 ∗ 12 ∗ 1) + (3 ∗ −1 ∗ 5)]

|𝐵| = [(−10) + (0) + (−36)] − [(−30) + (0) + (−15)] |𝐵| = [−46] − [−45] |𝐵| = −46 − 45 |𝐵| = −1

Se hallan los valores de Adj𝐵𝑡 :

5 12 5 𝐵𝑡 = (0 −2 −1 ) 3 3 1

Datos de la primera columna

−2 −1 𝐵11 = [ ] = −2 − (−3) = 1 3 1

12 5 ] = −(12 − 15) = 3 𝐵21 = − [ 3 1

𝐵31 = [

Datos de la segunda columna

12 5 ] = −12 − (−10) = −2 −2 −1

0 −1 ] = −0 − (−3) = −3 𝐵12 = − [ 3 1 5 5 ] = 5 − 15 = −10 𝐵22 = [ 3 1

5 5 ] = −(−05 − 0) = 5 𝐵32 = − [ 0 −1

Datos de la tercera columna

0 −2 𝐵13 = [ ] = 0 − (−6) = 6 3 3

5 12 ] = −(15 − 36) = 21 𝐵23 = − [ 3 3 5 12 ] = (10 − 0) = −10 𝐵33 = − [ 0 −2

3 216 31 −10 ) Adj (𝐴−1 ) = ( −2 5 −10 Se halla la matriz inversa

𝐵−1 =

𝐵−1

1 −2 4 c) 𝐶 = (1 −1 1 ) 0 1 −2

1 ( 3 = −2

𝐴𝑑𝑗 (𝐵𝑡 ) 𝐵

−3 6 −10 21 ) 5 −10 −1

−1 3 −6 𝐵−1 = ( −3 10 21 ) 2 −5 10

Se halla la determinante |𝐶| = [(1 ∗ −1 ∗ −2) + (−2 ∗ 1 ∗ 0) + (1 ∗ 1 ∗ 4)] − [(4 ∗ −1 ∗ 0) + (−2 ∗ 1 ∗ −2) + (1 ∗ 1 ∗ 1)]

|𝐶| = [(2) + (0) + (4)] − [(0) + (4) + (1)] |𝐶| = [6] − [−1] |𝐶| = 6 − 5 |𝐶| = 1

1 1 0 𝐶 𝑡 = (−2 −1 1 ) 4 1 2

Se hallan los valores de Adj (𝐶 𝑡 )

−1 1 𝐶11 = [ ]=2−1= 1 1 −2

Datos de la primera columna

1 0 𝐶21 = − [ ] = −(−2 − 0) = 2 1 −2

𝐶31 = [

1 0 ] = (1 − 0) = 1 −1 1

−2 1 ] = −(4 − 4) = 0 𝐶12 = − [ 4 −2

Datos de la segunda columna

1 0 𝐶22 = [ ] = −2 − 0 = −2 4 −2

𝐶32 = − [

1 0 ] = −(1 − 0) = −1 −1 1

Datos de la tercera columna −2 −1 𝐶13 = [ ] = (−2 − (−4)) = 2 4 1 1 1 𝐶23 = − [ ] = −(1 − 4) = 3 4 1

1 0 2 Adj(𝐶 𝑡 ) = (2 −1 3) 1 −2 1

𝐶33 = [

1 1 ] = (−1 − (−2)) = 1 −2 −1

Se halla la matriz inversa 𝐶 −1 = 𝐶 −1

1 0 2 d) 𝐷 = (2 −2 3) 1 −1 1

𝐴𝑑𝑗 (𝐶 𝑡 ) 𝐶

1 0 2 ( 2 −2 3) = 1 −1 1 1

1 0 2 𝐶 −1 = (2 −2 3) 1 −1 1

Se halla la determinante

|𝐷| = [(1 ∗ −2 ∗ 1) + (0 ∗ 3 ∗ −1) + (2 ∗ −1 ∗ 2)] −[(2 ∗ −2 ∗ 1) + (0 ∗ 2 ∗ 1) + (3 ∗ −1 ∗ 1)]

|𝐷| = [(−2) + (0) + (−4)] − [(−4) + (0) + (−3)] |𝐷| = [−6] − [−7] |𝐷| = −6 + 7 |𝐷| = 1

1 2 1 𝐷𝑡 = (0 −2 −1 ) 2 3 1

Se hallan los valores de Adj (𝐷𝑡 )

−2 −1 ] = (−2 − (−3)) = 1 𝐷11 = [ 3 1

Datos de la primera columna

2 1 𝐷21 = − [ ] = −(2 − 3) = 1 3 1

2 1 ] = (−2 − (2)) = 0 𝐷31 = [ 2 −1

Datos de la segunda columna

0 −1 ] = −(0 − (−2)) = −2 𝐷12 = − [ 2 1 1 1 ] = 1 − 2 = −1 𝐷22 = [ 2 1

1 1 ] = −(−1 − 0) = 1 𝐷32 = − [ 0 −1

0 −2 𝐷13 = [ ] = (0 − (−4)) = 4 2 3

Datos de la tercera columna

1 2 𝐷23 = − [ ] = −(3 − 4) = 1 2 3

1 2 𝐷33 = [ ] = (−2 − 0) = −2 0 −2

1 −2 4 Adj(𝐷𝑡 ) = 1 ( −1 1) 0 1 −2

Se halla la matriz inversa 𝐷−1 = 𝐷−1 =

𝐴𝑑𝑗 (𝐷𝑡 ) 𝐷

11 −1 1 −2 4) ( 0 1 −2 1

1 −2 4 (𝐷−1 ) = 1( −1 1) 0 1 −2 2) En los siguientes problemas, encuentre la inversa de la matriz dada (si existe): 3 4 a) [ ] 2 5

Se halla la determinante:

|𝐴| = [3 ∗ 5] − [4 ∗ 2] |𝐴| = 8 − 8 |𝐴| = 0

No tiene matriz inversa porque su determinante es igual a (0) cero. 1 4 b) [ ] 2 0

Se halla la determinante

|𝐴| = [1 ∗ 0] − [4 ∗ 2] |𝐴| = 0 − 8 |𝐴| = −8

Se hallan los valores de Adj (𝐴𝑡 )

1 2 𝐴𝑡 = ( ) 4 0

0 )4 Adj(𝐴𝑡 ) = ( −2 1

Se halla la matriz inversa 𝐴−1 =

𝐴−1

c) [

𝐴𝑑𝑗 (𝐴𝑡 ) 𝐴

0 − 4) (−2 1 = 8

1 0 2) 𝐴−1= ( 1 −1 4 8

3 −2 ] −6 4

|𝐴| = [3 ∗ 4] − [−2 ∗ 6]

Se halla la determinante

|𝐴| = 12 − 12

|𝐴| = 0 No tiene matriz inversa porque su determinante es igual a (0) cero.

2 4 3 d) [ 1 −3 1 ] 2 4 −2

Se halla la determinante

|𝐴| = [(2 ∗ −3 ∗ −2) + (4 ∗ 1 ∗ 2) + (1 ∗ 4 ∗ 3)] −[(3 ∗ −3 ∗ 2) + (4 ∗ 1 ∗ −2) + (1 ∗ 4 ∗ 2)]

|𝐴| = [(12) + (8) + (12)] − [(−18) + (−8) + (8)] |𝐴| = [32] − [−18] |𝐴| = 32 + 18 |𝐴| = 50

2 1 2 𝐴𝑡 = ( 4 −3 4 ) 3 1 −2

Se hallan los valores de Adj(𝐴𝑡 ) Datos de la primera columna

−3 4 𝐴11 = [ ]=6−4= 2 1 −2

1 2 ] = −(−2 − 2) = 4 𝐴21 = − [ 1 −2

1 2 ] = (4 − (−6) = 10 ) 𝐴31 = [ −3 4 Datos de la segunda columna 4 4 ] = −(−08 − 12) = 20 𝐴12 = [ 3 −2 2 2 𝐴22 = [ ] = −4 − 6 = −10 3 −2

2 2 ] = −(8 − 8) = 0 𝐴32 = − [ 4 4

Datos de la tercera columna

4 −3 𝐴13 = [ ] = (4 − 4(−9)) = 13 3 1 2 1 ] = −(2 − 3) = 1 𝐴23 = − [ 3 1

2 20 13 Adj𝐴𝑡 = ( 4 10 1) 10 0 −10

2 1 ] = (−6 − 4) = −10 𝐴33 = [ 4 −3

Se halla la matriz inversa 𝐴−1 =

𝐴𝑑𝑗 (𝐴𝑡 ) 𝐴

2 20 13 (4 − 10 1) 𝐴−1 = 10 0 − 10 50 𝐴−1=

1 4 0 e) [−9 0 2 ] 2 0 3

1 2 13 25 5 50 2 −1 1 25 5 50 −1 1 (5 0 5 )

Se halla el determinante |𝐴| = [(1 ∗ 0 ∗ 3) + (4 ∗ 2 ∗ 2) + (−9 ∗ 0 ∗ 0)] −[(0 ∗ 0 ∗ 2) + (4 ∗ −9 ∗ 3) + (2 ∗ 0 ∗ 1)]

|𝐴| = [(0) + (16) + (0)] − [(0) + (−108) + (0)] |𝐴| = [16] − [−108] |𝐴| = 16 + 108 |𝐴| = 124

1 −9 2 𝐴𝑡 = ( 4 0 0) 0 2 3

Se hallan los valores de Adj(𝐴𝑡 ) Datos de la primera columna

0 0 𝐴11 = [ ] = (0 − 0) = 0 2 3

−9 2 ] = −(−27 − 4) = −31 𝐴21 = − [ 2 3 −9 2 𝐴31 = [ ] = (0 − 0) = 0 0 0

Datos de la segunda columna

4 0 𝐴21 = − [ ] = −(12 − 0) = −12 0 3 1 2 ] = (3 − 0) = 3 𝐴22 = [ 0 3

1 2 𝐴32 = − [ ] = −(0 − 8) = 8 4 0

Datos de la tercera columna

4 0 ] = (0 − 0) = 0 𝐴13 = [ 2 0

1 −9 ] = −(2 − 0) = −2 𝐴23 = − [ 0 2 0 Adj (𝐴𝑡 ) = (−31 0

1 −9 𝐴33 = [ ] = (0 − 36) = −36 4 0

−12 0 3 −2 ) 8 −36

Se halla la matriz inversa 𝐴−1 =

𝐴𝑑𝑗 (𝐴𝑡 ) 𝐴

0 − 120 3−2 ) ( 31 0 8 − 36 𝐴−1 = 124 −3 0 31 1 3 1 𝐴−1= 4 124 64 2 9 0 ( 31 31 ) 0

1 0 0 4 −2 2 f) [ 2 0 1 1 3 2

4 1 ] 0 3

Se desarrolla por el método de Gauss Jordan 1 0 0 4 −2 2 [ 2 0 1 1 3 2

4 1 1 ][ 0 0 0 3 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0] 0 1

1 −4 −2 −1

0 1 0 0

𝐹2 − 4 𝐹3 𝐹3 − 2𝐹2 𝐹4 − 𝐹1

1 0 0 4 0 −2 2 15 [ ][ 0 0 1 −8 0 3 2 −1

𝐹2 /−2

0 0 1 0

0 0 ] 0 1

1 0

0

[0 0

5

1 0

0

[0 0

5

0 1 −1 0 0 1

0 1 −1 0 0

1

1 0 0

4 1 0 0 0 −1 0 0 15 2 2 −8 −2 2 0 1 0 −47 3 0 1 −7 ] 2 2 ][ 𝐹4 − 3𝐹2

4 1 0 0 0 15 −1 0 0 2 2 2 −8 −2 0 1 0 3 −47 0 1 7 ] [ ] 2 2

𝐹2 + 𝐹3 𝐹4 − 5𝐹3

4 1 0 −1 −1 0 1 0 2 2 2 0 0 1 −8 −2 0 33 3 3 [0 0 0 2 ][ 2 Jordan:

33 𝐹4 /( ) 2

0

1

1

𝐹1 − 4𝐹4

1 𝐹2 + ( )𝐹4 2 𝐹3 + 8𝐹4

0

0

−5 1 ]

1 0 0 4 −1 −1 0 0 2 0 1 0 2 −2 0 1 0 0 1 −8 1 −10 2 [0 0 0 1 ] [11 11 33 1 0 0

0

0

0

0 2 33 ]

01 10 0 0 0 0 1 0] [ 0 0 0 1

3

−4 1 11 −5 11 −6 11 22 8

40 33 28

33 47 11 33 1 −10 11 33

11 2 [ 11

33 −8

1 33 16 33 2 33 ]

3) “(Modelo insumo-producto). La interacción entre tres industrias P, Q y R está dada por la tabla 1. Tabla 1

Industria P Q R Insumos Primarios

Industria P Q R

Demandas finales

Producción total

20 0 40 40 40 100 0 80 40

40 20 80

100 200 200

40 80 20

Fuente: problemas de la sección 9.4 del libro Matemáticas aplicadas a la administración de Arya, Ed. Pearson.

a) Construya la matriz de insumo-producto. P

20 100 40 100 0 100 40 [100

Q

0 200 40 200 80 200 80 200

R

40 200 100 200 40 = 200 20 200 ]

P Q R

1 5 2 5

0

2

[5

0

1 5 2 5 2 5

1

5 1 2 1 5 1 10]

𝑉. 𝐶 𝑉. 𝐶 𝑉. 𝐶 𝑉. 𝐶 𝑉. 𝑇. 𝑃 = + + + 𝑃 𝑃 𝑄 𝑅 𝐷𝑓 𝑋𝑃 =

𝑋𝑄 =

1 1 𝑋𝑃 + 0𝑋𝑄 + 𝑋𝑅 + 70 5 5

2 1 1 𝑋𝑃 + 𝑋𝑄 + 𝑋𝑅 + 50 5 5 2

𝑋𝑃 = 0 𝑋𝑃 +

2 1 𝑋𝑄 + 𝑋𝑅 + 120 5 5

1

15 2 0 𝑋𝑃 𝑋𝑃 50 𝑋𝑄 𝑋𝑄 5 70 ] [ ] = 5 15 2 [ 1 2 ] + [ 120 𝑋𝑅 1 [ 5] 𝑋𝑅 0 5

1 1 0 5 5 70 𝑋𝑃 21 1 𝐶 = [ 50 ] 𝑋 = [𝑋𝑄] 𝐴 = 5 5 2 120 𝑋𝑅 21 0 ( 55 ) M.P

M.C

𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1 𝐶

M.D.F

1 1 0 5 5 1 4 0 70 2 1 𝑋 = ([−9 0 2] − 2 )−1 [ 50 ] 5 5 2 0 3 120 2 1 [0 5 5]

0,8 0 −0,2 70 0,8 0 − 0,2 1 0 0 𝑋 = [0,4 0,8 −0,5 ] [ 50 ] = 2 ( −0,4 0,8 − 0,5 | 0 1 0) 0 −0,4 0,8 0 − 0,4 − 0,8 0 0 1 120 0,8 0 − 0,2 1 0 0 0,8 0 − 0,2 1 0 0 4 ( 0 1,6 − 0,6 | 12 0 ) = ( 01,6 − 0,6 | 12 0 ) 0 − 0,4 − 0,8 0 0 1 0 0 − 2,6 124 /10,4 1 0 0 1,4 0,2 0,4 10,4 0 0 142 4 ( 0 4,160 | 3,26,42,4) = /4,16 (01 0| 0,8 1,5 0,6) 00 2,6 /2,6 0 01 0,4 0,8 1,5 121 1,4 0,2 0,4 70 [0,8 1,5 0,6] [ 50 ] = Matriz Insumo Producto 0,4 0,8 1,5 120

b) Determine las nuevas producciones de P, Q y R si las demandas finales cambian en el futuro a 70, 50 y 120, respectivamente.

P

Q

R

Dem. Final

Prod. Total

P

20

0

40

70

130

Q

40

40

100

50

230

R

0

80

40

120

240 Nuevas producciones

c) ¿Cuáles serán entonces los insumos primarios para las tres industrias? Ins.

P

Q

R

70

110

60

Insumos primarios

4) Repita el ejercicio 3 para los tres sectores de economía dados en la tabla 2, si las nuevas demandas finales son 68, 51 y 17 para P, Q y R, respectivamente. Tabla 2.

Industria P Q R Insumos Primarios

Industria P Q R

Demandas finales

Producción total

22 80 76 88 40 38 66 60 57

42 34 7

220 200 190

44 20 19

Fuente: Problemas de la sección 9.4 del libro Matemáticas aplicadas a la administración de Arya, Ed. Pearson.

a)

22

220 88 220 66 220 44 [220

80 200 40 200 60 200 20 200

76 190 38 190 57 190 19 190 ]

=

1

10 2 5 1 3 1 [5

2 5 1 5 1 3 1 10

2 5 1 5 1 3 1 10 ]

𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1 𝐶

01 10 00] − 𝑋 = ([ 0 0 1

1

10 2 5 1 [3

2 5 1 5 1 3

2 5 1 42 34 5 )−1 [ ] 1 7 3]

0,9 −2,5 2,5 42 0,9 − 2,5 − 2,5 1 0 0 𝑋 = [ −2,5 0,8 −0,2] [ 34 ] = ( −2,5 0,8 − 0,2 | 0 1 0) −0,3 0,6 −0,3 −0,3 0,6 − 0,3 0 0 1 7

0,9 − 2,5 − 2,5 1 0 0 0,9 − 2,52,5 1 0 0 ) = ( = (0 − 5,53 − 6,43| 2,50,9 0 0 − 5,53 − 6,43 | 2,50,9 0 ) 0 − 0,21 − 0,48 0,3 0 0,9 0,3 0,6 − 0,3 0 0 1

1 0 0 0,9 − 2,5 2,5 1,17 − 3,25 0 −1,45 0,5 − 12,25 = (0 − 5,53 − 6,43 | 2,5 0,9 0 ) = ( 0 − 7,2 0 | 10,35 2,4 − 31,5 ) 0 0 1,3 −1,1 0,2 − 4,9 0 0 1,3 −1,1 0,2 − 4,9 /2,6 7,1 3,5 58,7 2,6 0 0 = ( 0 − 7,2 0 |10,35 2,4 − 31,5) = /−7,2 0 0 1,3 −1,1 0,2 − 4,9 /1,3 2,71,3 − 22,5 1 0 0 = (0 1 0|−1,4 − 0,3 4,4) 0 0 1 −0,8 0,1 − 3,8

2,7 1,3 −22,5 42 4,4 ] [ 34 ]= Matriz insumo producto [ −1,4 −0,3 −0,8 0,1 −3,8 7

b)

Prod. Total

P

Q

R

Dem. Final

P

22

80

76

68

246

Q

88

40

38

51

217

R

66

60

57

17

200 Nuevas producciones

c) Ins.

P

Q

R

70

37

29

Insumos primarios

5) Calcule los siguientes determinantes 4 −1 ] a) [ 7 4

3 −2 b) [ ] 5 8 c) [

5 𝑥 ] −𝑥 4

1 2 3 d) [ 5 −1 0] 1 4 1 𝑎 3 e) [ 𝑦 4]

f)

1 1 2 [ 0 −1 0] 1 7 1

6) Determine el valor de la incógnita en cada caso. a) [𝑎 3]=9 2 5

𝑎 + 1 22 𝑎 𝑎 2] = 1 b) [ 𝑎 0 1 0

7) Por medio de la regla de Cramer resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. a) 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0

b)

1

2

𝑥 + 2𝑦 = 5 3

c) 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

8) Calcular los siguientes determinantes 3x3 por medio de la regla de Sarrus

31 a) 𝐴 = | 4 5 b) 𝐴 = | 1 4

12 79

1 0 3 3

|

1 7 4| 4

0 2 9 c) 𝐴 = | 7 1 2| 1 2 8...