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Universidad T ́ecnica Federico Santa Mar ́ıaDepartamento de F ́ısica - Campus SantiagoF ́ısica General II FIS2do semestre 2020Tarea 1 a) Se tiene dos cargas puntualesq 1 y−q 2separadas a una distanciadentre si. En el plano dondese encuentran las cargas se ubica una tercera cargaq 0 >0. Encuen...

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Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de F´ısica - Campus Santiago F´ısica General II FIS120 2do semestre 2020

Tarea 1 1.

a) Se tiene dos cargas puntuales q1 y −q2 separadas a una distancia d entre si. En el plano donde se encuentran las cargas se ubica una tercera carga q0 > 0. Encuentre el o los puntos donde la carga q0 experimenta una fuerza nula. Analice los casos |q1 | = |q2 |, |q1 | > |q2 | y |q1 | < |q2 |.

b) Si la carga q1 se reemplaza por un alambre infinito de densidad de carga uniforme λ0 > 0, perpendicular a la l´ınea que une q0 con −q2 , encuentre (utilizando el m´etodo directo o de Coulomb) el o los puntos donde la carga q0 experimenta una fuerza nula. Analice la condici´on sobre la densidad de carga λ0 para que existan estos puntos de fuerza nula.

Soluci´ on:

a) Por la configuraci´on podemos notar que la fuerza a la carga q0 solamente se puede cancelar en l´ınea que contiene a q1 y q2 . Utilizando a q1 como el centro coordenado, separamos, entonces, (I) el espacio para x a la izquierda de q1 , (II) entre las cargas, y (III) para x a la derecha de q2 . Podemos notar inmediatamente que para esta configuraci´on el espacio dos no presenta puntos donde la fuerza se anula. Para el espacio (I) se tiene la ecuaci´on   q2 q1 = 0, (1) F = kq0 − 2 + x (d + x)2 luego la soluci´on para x ser´a x=

√ d (−q1 ± q1 q2 ). q1 − q2

(2)

Notamos que si q1 = q2 no hay soluci´on, tampoco si q1 > q2 , luego para q2 > q1 la u ´ nica soluci´on posible es

√ d (3) x = q2 − q1 (q1 + q1 q2 ), donde x se mide desde la carga q1 hacia la izquierda. Para el espacio (III) se utiliza el mismo procedimiento, la fuerza ser´a   q1 q2 F = kq0 − = 0, (4) x2 (x − d)2

donde la soluci´on ser´a x=

√ d (q1 ± q1 q2 ). q1 − q2

(5)

√ d ( q1 + q1 q2 ) , q1 − q2

(6)

La u ´ nica soluci´on posible ser´a para el caso de q1 > q2 con x=

donde x es medido desde q1 hacia la derecha. b) Al igual que en el caso anterior solamente pueden existir ceros en la l´ınea perpendicular al cable que pasa por q2 . Tomando los mismos espacios que en el ejercicio anterior podemos ver que en el espacio (I) la ecuaci´on de fuerza ser´a (tomando el eje coordenado cero en el centro del cable) q2 q0 2λq0 +k F = −k = 0, (7) x (d + x)2 Esta ecuaci´on tiene dos soluciones desde el cable hacia la izquierda ( espacio (I) ). p q2 ± q22 − 8dq2 λ x1,2 = −d + . 4λ

(8)

La condici´on que tiene que satisfacer λ y q2 es q2 > 8dλ.

(9)

En el espacio (II) no existe soluci´on. En el espacio (III) la ecuaci´on de fuerza ser´a F =k

q2 q0 2λq0 = 0, −k (x − d)2 x

(10)

Lo que da una u ´ nica soluci´on posible. x= d+

q2 +

p

q22 + 8dq2 λ . 4λ

La segunda soluci´on da un valor de x < d lo cual ya no estar´ıa en el espacio (III).

(11)

2.

2

a a) Calcule el campo el´ectrico que genera un disco de radio a y densidad de carga σ(r) = σ0 r2 +a 2 en un punto sobre su eje de simetr´ıa (bajo la condici´on z < a).

b) Calcule el campo el´ectrico que genera un alambre homog´eneo de largo L y carga Q sobre un punto ubicado a una distancia d de su extremo, ubicado sobre la misma l´ınea del alambre. c) Calcule el campo el´ectrico de la distribuci´on de cargas mostrada en la figura en el punto P del eje de simetr´ıa, considerando que la distancia desde el centro del disco al punto P es H < a a2 ( el disco tiene una densidad de carga σ = σ0 r2 +a 2 y la barra una carga total Q distribuida uniformemente en su largo L ).

Soluci´ on:

a) Tomando el centro coordenado en el medio del disco y usando Z ~r − ~r′ ~ E = k dq′ , |~r − ~r ′ |3/2

(12)

podemos definir los vectores ~r = Zkˆ y ~r′ = r ′ rˆ. Por simetr´ıa podemos notar que solamente ˆ por lo que obtenemos nos quedamos con la direcci´on k, ~ =k E

Z

dq′

Z kˆ . (Z 2 + r ′2 )3/2

(13)

Se procede luego a escribir la ecuaci´on anterior usando la densidad de carga dq ′ = σdA′ , donde σ est´a dado en el enunciado, luego la ecuaci´ on ser´a ~ =k E

Z

dA′

Zkˆ σ0 a2 . 2 2 + a (Z + r ′2 )3/2

(14)

r ′2

La diferencial de a´rea en polares est´a dada por dA′ = 2πr ′ dr ′ con l´ımites de integraci´on entre 0 y a, luego la integral quedar´ a Z a r′ 2 ˆ ~ E = 2πσ0 a kZk . (15) dr ′ ′2 (r + a2 )(Z 2 + r ′2 )3/2 0 La integral da 2 ~ = 2πσ0 a kZ E (a2 − Z 2 )3/2

  |Z| arctan √ − arctan a2 − Z 2   1 1 2 2 5/2 ˆ + (a − Z ) k. −√ 2 |Z| Z + a2

! √ Z 2 + a2 √ a2 − Z 2 (16)

b) Para una barra de largo L podemos elegir el centro coordenado en el punto medio de ella. Luego los vectores que participan en el campo el´ectrico ser´an ~r = xˆı y ~r ′ = x′~ı, con l´ımites de integraci´on −L/2 y L/2. Luego el campo el´ectrico ser´a

~ E = kˆı

Z

x − x′

. (17) 1 = kˆı dq ′ (x − x′ )2 (x − dq = λdx′ y efectuando el cambio de variables Pasando luego a una densidad constante u=x-x’, se obtiene Z x−L/2 Z x+L/2 du du ~ = −kλˆı (18) E = kλˆı x−L/2 u2 . x+L/2 u2 dq ′

x′ )′3

Z...