Tarea Calificada 2 PDF

Preview

Summary

TAREA CALIFICADA 2 – ECV TAREA: Determine las coordenadas del centro de gravedad de la región limitada por 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 , 𝑦 = 6𝑥 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 𝑦 = 6𝑥 ⇒ 2x − 𝑥2 𝑥2 + 4𝑥 = 0 X = 0; X = -4 0 (2𝑥 − 𝑥 2 ) − 6𝑥 𝑑𝑥 A = ∫−4 0 = ∫−4 − 𝑥 2 − 4𝑥 𝑑𝑥 −𝑥3 0 2 = 3 − 2𝑥 ⃒ 64 −4 =−{ 3 32 – 32 = 3 0 1 2 = 32 ∫−4𝑥 {2𝑥 − ...

Description

TAREA:

TAREA CALIFICADA 2 – ECV

Determine las coordenadas del centro de gravedad de la región limitada por 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 , 𝑦 = 6𝑥

𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 𝑦 = 6𝑥 ⇒ 2x − 𝑥2 𝑥2 + 4𝑥 = 0 X = 0; X = -4

0 (2𝑥 − 𝑥2 ) − 6𝑥𝑑𝑥 A = ∫−4

0

= ∫−4 − 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 −𝑥3

0

2



= 3 − 2𝑥

64

−4

=−{

3

32

– 32 = 3

2 = 32 ∫−4𝑥 {2𝑥 − 𝑥 − 6𝑥}𝑑𝑥 = 0

1 3

3

=

4

𝑥4

{−

32

4

-

𝑥3 

3

0

=

−4

3

32

3

32

{−

3 2 ∫−4−𝑥 − 4𝑥 𝑑𝑥

64

0

} = −2

4

2 2 2 3 ȳ = 2(132 ∫−4 {2𝑥 − 𝑥  − {6𝑥 𝑑𝑥 = 64 0

3

=

3 64

𝑥 5

5

{

- 𝑥 4−

32 3

∴ ( , ȳ) = ( -2, − 552

𝑥3 

0 = 3{− 64 −4

3328

} 15

𝑥4 − 4𝑥3 − 32𝑥2𝑑𝑥 ∫−4 0

=−

52 5

1. Determine el área de la región limitada por las curvas y = x3 – 7x + 6 e y = 6 −3x 𝑦 = 𝑥3 − 7𝑥 + 6 𝑦 = 6 − 3𝑥 ⇒ 𝑥3 − 7x + 6 = 6 − 3x 𝑥3 − 4𝑥 = 0 → 𝑥 (𝑥2 − 4) = 0 X = -2; X = 0; X=2 A = ∫0 (𝑥3 − 7𝑥 + 6) − (6 − 3𝑥) 𝑑𝑥 + ∫2(6 − 3𝑥) − (𝑥3 − 7𝑥 + 6)𝑑𝑥 −2

= ∫0 𝑥 − 4𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3

−2

= 2 { 2 𝑥2 −

0

2(4𝑥

− 𝑥 )𝑑𝑥 = 2 ∫2 4𝑥 − 𝑥3𝑑𝑥 3

0 4

𝑥

4

2  =2{8–4} 2 8𝑢 0

0

2. Calcule el área de la región limitada por la cardioide 𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 y la circunferencia 𝑟 = 3𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑒𝑛𝜃 𝜃 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 = 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 𝜃 = 𝜋/6 Por Simetría

1 𝜋/2 2 2 𝐴𝑡 = 2 ( ∫ (3𝑠𝑒𝑛𝜃 ) − (1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 ) 𝑑𝜃 ) 2 𝜋/6 𝜋/2

𝐴𝑡 = ∫

𝜋/6

9𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 1 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃

𝜋/2

𝐴𝑡 = ∫

𝜋/6

8𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 1 𝑑𝜃

𝜋/2

𝐴𝑡 = ∫

𝜋/6

3 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 4𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃

𝐴𝑡 = [ 3𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃]𝜋⁄2 𝜋 𝜋 𝜋 2√3 2√3 ) 𝐴𝑡 = 3 ( ) − (3 ( ) + − 2 6 2 2

𝜋 𝜋 𝐴𝑡 = 3 ( ) − 2 2 𝐴𝑡 = 𝜋 𝑢2

3. Calcule la longitud del arco de la cuerda definida por la función 𝐱+𝐞−𝐱 𝐲= 𝐞 , y las rectas x = 1 , x=3 𝟐

𝑑𝑦 𝑑𝑥

1 =

𝑥

−𝑥

(𝑒 − 𝑒

2

3

𝐿=∫ 1

√ 1+ (

)

ex − e−𝑥 2 2

) 𝑑𝑥

e2x − 2 + e−2𝑥 𝐿 = ∫ √1 + ) 𝑑𝑥 4 ( 3

1 3

𝐿=∫

√

e2x + 2 + e−2𝑥 𝑑𝑥

4

1 3

𝐿= ∫

√

ex + e−𝑥 2 ) 𝑑𝑥

2

( 1

ex + e−𝑥 𝑑𝑥 𝐿=∫ 2 1 3

1

3 x

−𝑥

𝐿 = ∫ (e + e 2 1 1 x −𝑥

) 𝑑𝑥 3 1

𝐿=

1 2

3

−3

(e − e )

−1

𝐿= 𝐿=

2

[(e − e ) − (𝑒 − 𝑒 )] 1 (17.68)

2 𝐿 = 8.84 𝑢

𝑥 , 𝑦 = 3√𝑥 𝑥y 4. Calcule el área de la región definida por las curvas 𝑦 = √𝑥 las rectas verticales x = 1 , x = 64 64

𝐴 = ∫ ( √𝑥 − √𝑥 ) 𝑑𝑥 3

1

64

𝐴= ∫

1

(𝑥2

1 3 𝑥 )

𝑑𝑥

3 𝑥43 )

64

−

1

𝐴= (

2𝑥32 3

−

4

3

1

3

2(√64) 3( √64)4 2 3 − 𝐴= ( ) −( − ) 3 4 3 4

2 ∗ 512 3 ∗ 256 1 ) − ) − (− 𝐴= ( 12 3 4 448 1 + 𝐴= 3 12 𝐴=

1793 12

𝐴 = 149.42 𝑢2...