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Tarea Calificada 1...

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TAREA CALIFICADA 1 – ECV

1. Dada la matriz

para 𝜃 ∈ [0;2𝜋] y las curvas en coordenadas polares

𝑟 = 2|𝐴| y 𝑟 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃). Calcule las coordenadas polares de los puntos deintersección de ambas curvas SOLUCIÓN: 𝜃 ∈ [0;2𝜋]

|𝐴| = 𝐶𝑜𝑠θ(0) − (1)(−Senθ) = 𝑆𝑒𝑛θ 𝑟 = 2|𝐴| = 2𝑆𝑒𝑛θ … . (I) 𝑏. 𝐸. 𝐿 { 𝑟 = 2 (1 − 𝑆𝑒𝑛θ) … . . (II)

(I) − (II): 0 = 2 𝑆𝑒𝑛θ − 2 (1 − Senθ) 0 = 1 𝑆𝑒𝑛θ − (1 − Senθ) 0 = 2 𝑆𝑒𝑛θ − 1 𝑆𝑒𝑛θ =

1 2

Para : r = 2 Sen 30° = 2 (1) = 1 2 1 θ2 = 150° ∶ r = 2 Sen 150° = 2 ( ) = 1 2

θ1 = 30°

𝑃1 = (1, 30°) 𝑃2 = (1, 150°)

2. Analice las simetrías de las siguientes curvas: a. 𝑟 = 2 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 b. 𝑟2 = cos(2𝜃) − cos (𝜃)

SOLUCIÓN:

a. 𝑟 = 2 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 I) Simetría con el eje polar: Comprobamos si f( 𝜃) = f(𝜃) f(-𝜃) = 2 + Cos (-𝜃) f(-𝜃) = 2 + Cos𝜃 = f(𝜃) Sí hay simetría con el eje polar. II) Simetría con la recta 𝜃 =

π

2

¿ f(𝜃) = f (𝜋- 𝜃) ? f (𝜋- 𝜃) = 2 + Cos (𝜋- 𝜃) = 2 – Cos𝜃 f (𝜋- 𝜃) ≠ f(𝜃) ∴ No hay simetría con la recta 2

III) Simetría con el polo: ¿ f(𝜋 + 𝜃) = f (𝜃) ? f (𝜋 + 𝜃) = 2 + Cos (𝜋 + 𝜃) f (𝜋 + 𝜃) = 2 * Cos 𝜃 ≠ f(𝜃) ∴ No hay simetría con el polo.

π

b. 𝑟2 = cos(2𝜃) − cos (𝜃) f(𝜃) = r = ± √𝐶𝑜𝑠2θ − Cosθ I) Simetría con el eje polar:

f(-𝜃) = √𝐶𝑜𝑠(−2θ) − Cos(−θ) f(-𝜃) = √𝐶𝑜𝑠(2θ) − Cosθ f(-𝜃) = f(𝜃) ∴ Sí hay simetría con el eje polar.

II) Simetría con la recta 𝜃 =

π

2

f (𝜋- 𝜃) f (𝜋- 𝜃) = √𝐶𝑜𝑠(2(π − θ)) − Cos(π− θ) f (𝜋- 𝜃) = √𝐶𝑜𝑠(2π − 2 θ) + Cos(θ) f (𝜋- 𝜃) = √𝐶𝑜𝑠2θ + Cosθ f (𝜋- 𝜃) ≠ f(𝜃) ∴ No hay simetría con la recta

π

2

III) Simetría con el polo: f (𝜋+ 𝜃) f (𝜋+ 𝜃) = √𝐶𝑜𝑠(2π + 2θ) − Cos(π + θ) f (𝜋+ 𝜃) = √𝐶𝑜𝑠 2θ + Cosθ f (𝜋+ 𝜃) ≠ f(𝜃)

3.

En la figura adjunta se muestran las gráficas de las siguientes curvas polares: 𝐶1:𝑟 = 3 y 𝐶2: 𝑟 = 3 − 6cos (𝜃)

a. Calcule los puntos de intersección de ambas curvas. b. Calcule la ecuación cartesiana de la curva 𝐶1 c. Diga el nombre de la curva 𝐶2 d. Demuestre que la curva 𝐶2 es simétrica al eje polar. SOLUCIÓN: a. Los puntos de intersección son A,B,C A: |𝑟𝐴| = 3 𝑟𝐴 = 3 − 6 𝐶𝑜𝑠 θ𝐴 ↓ 0° 𝑟𝐴 = 3 − 6 = −3

∴ A = (-3, 0°) ≈ (3, 180°)

Para B * C: r=3 r = 3 – 6 Cos 𝜃 3 = 3 – 6 Cos 𝜃 Cos 𝜃 =0 ↓ 90° 270° ∴ B = (3, 90°) C= (3, 270°)

b. Calcule la ecuación cartesiana de la curva P = ( x, y) = (r Cos 𝜃, r Sen 𝜃 ) x = r Sen 𝜃 y = r Cos 𝜃 𝑆𝑒𝑛2 θ + 𝐶𝑜𝑠2 θ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2( ) 1 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 En : r = 3 ⇒ 𝑟2 = 9 ∴ 𝑥 2 + 𝑦2 = 9 c. Diga el nombre de la curva 𝐶2 Caracol con colita d. Demuestre que la curva 𝐶2 es simétrica al eje polar. Para 𝐶2: 𝑓 (𝜃) = 3 – 6 Cos 𝜃 Se debe cumplir f(- 𝜃) = f ( 𝜃) f(-𝜃) = 3 – 6 Cos (- 𝜃) f(-𝜃) = 3 – 6 Cos 𝜃 = f (𝜃) ∴ Sí hay simetría de la curva 𝐶2 con el eje polar.

4. Dada la región mostrada en la figura adjunta, está definida por la parte exterior de la circunferencia 𝐶 1: 𝑥 2 + (𝑦 − 4) 2 = 16 y la parte interior del cardioide definido por: 𝑟 = 4 + 4𝑠𝑒(𝜃) con 𝑥 ≤ 0

a. Escriba la ecuación de la curva 𝐶1 forma polar. x2 + (y − 4)2 = 16 x2 + y2 − 8y + 16 = 16 x2 + y2 − 8y = 0 r2 − 8rsenθ = 0 r=

b. Exprese la región sombreada algebraicamente en coordenadas polares. 𝜋 𝜋 ( ) A = { r; θ ⁄ ≤ 𝜃 ≤ 3 ; 8𝑠𝑒𝑛𝜃 ≤ 𝑟 ≤ 4 + 4𝑠𝑒𝑛𝜃 } 2 2 1 dA = [ (4 + 4senθ)2 − (8senθ)2 ]2

A=

1 2 1

∫ [ (4 + 4senθ)2 − (8senθ)2 ] 𝜋 2 3𝜋 2

∫ [ (16 + 8senθ + sen2𝜃) − (64sen2θ) ]

A= 2 1 A= 2

𝜋 32

𝜋 2 𝜋 32

2) ] [( ∫ 16 + 8senθ − 63sen θ 𝜋 2

c. Grafique la región 𝑅: 𝑟 ≤ 4 − 4𝑠𝑒(𝜃).

5. Dada la región mostrada en la figura adjunta,

a. Escriba las ecuaciones de las curvas mostradas en la figura en forma cartesiana. 1. 𝑟 = 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 2. 𝑟 = 2 (𝑟) 𝑟 = (2 𝑠𝑒𝑛𝜃)(𝑟) 𝑟2 = 2𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦 𝑥2 + 𝑦 2 =2 𝑦

𝑥2 + 𝑦 2 = 4

b. Exprese la región algebraicamente en coordenadas cartesianas. 𝑥2 + 𝑦 2 𝑦

= 2 ===> 𝑥 = √2𝑦 − 𝑦 2

𝑥2 + 𝑦2 = 4 ===> 𝑥 = √4 − 𝑦2

R = {(x; y) ∈ 𝑅 ⁄0 ≤ 𝑦 ≤ 2 ; √4 − 𝑦2 ≤ 𝑥 ≤ √2𝑦 − 𝑦 2 } 2

1

R = ∫ √4 − 𝑦2 𝑑𝑥 − ∫ √2𝑦 − 𝑦2 𝑑𝑥

c. Exprese la región algebraicamente en coordenadas polares. (

)

𝜋

R = { r; θ ⁄ 0 ≤ 𝜃 ≤

2

; 2𝑠𝑒𝑛𝜃 ≤ 𝑟 ≤ 2 }

1 dA = [ (2)2 − (2senθ)2 ]2 A=

1 2

𝜋 2

∫ 4− 0

6. Exprese a coordenadas polares, las siguientes ecuaciones: a. 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 = 0 𝑟2 − 2(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃) = 0 𝑟2 = 2(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃

b. 𝑦 = 4 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 4 𝑟 = 4 sen−1 𝜃 𝑟 = 4 csc 𝜃

𝐴 = [0 −𝑐𝑜𝑠𝜃 ] 2 17𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 Entonces: 𝑟1 = 2 |𝐴| 𝑟1 = 2 (2 cos 𝜃) 𝑟1 = 4 cos 𝜃 ➔ Circunferencia 𝑟2 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃) ➔ Cardiode

A) En un mismo plano polar grafique las curvas dadas arriba.

𝑟1 = 4 cos 𝜃

𝑟2 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)

b. Grafique la región que esta fuera de la curva polar 𝑟2 y que está dentro de la curva polar 𝑟1....