Tareas de seminarios Teorema de Gauss de la divergencia PDF

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2.11. Teorema de Gauss de la divergencia. El Teorema de la divergencia es una analogía, en tres dimensiones, del Teorema de Green en el plano, donde en este caso se establece la relación que existe entre una integral sobre la superficie S y la integral triple de una región sólida B, en la cual la superficie S es su frontera.

Teorema. Sea B ⊆ R3 una región sólida en el espacio limitada por una superficie simple y cerrada S, con orientación positiva y sea F el campo vectorial definido por F : A ⊆ ℜ 3 → ℜ 3 / F (x, y , z ) = ( F1 ( x, y , z ) , F2 ( x , y , z ) , F3 ( x , y , z ) ) ,

tal

que

sus

funciones componentes F1 , F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas de primer orden en la región B y e incluso en S. Si n es el vector normal unitario correspondiente a la orientación positiva de S, entonces:

w ∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫∫ div ( F ) dV S

EJEMPLO 70. Utilice el

B

teorema de la Divergencia para evaluar la integral de

superficie del campo vectorial F ( x , y , z ) = ( 3xy 2 , xe z , z 3 ) a través de la superficie del

sólido acotado por el cilindro y 2 + z 2 = 1 y los planos x = −1 y x = 2 . Solución. El sólido acotado por la superficie S, puede escribirse como la unión de tres

superficies, a saber, S1 , S2 y S3 , como se indica en la Figura 71. Al aplicar el Teorema de la Divergencia

w ∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫∫ div ( F ) dV S

B

= ∫∫∫ ∇ ⋅ ( 3xy , xe , z ) dV 2

z

3

B

= ∫∫∫ (3 y + 0 + 3 z ) dV 2

2

B

= 3∫

2

2π

∫ ∫

−1 0

1 0

rdrdθ dx

= 9π

Si se desea comprobar que en efecto

∫∫ F ⋅ ndS = 9π , w

se debe recordar que la

S

orientación positiva de esta superficie cerrada viene dada por la dirección en que los

vectores normales apuntan hacia fuera del sólido que encierra la superficie, así pues, para la superficie S1 , y parametrizarla a través de la función , su vector normal en la orientación positiva viene dada por n = gu × gv , para la superficie S2 su vector unitario normal viene dado por n = (1,0,0 ) y para la superficie S3 estaría dado por n = (−1,0,0 ) , por lo que al aplicar las propiedades de la integral de superficie obtendríamos la siguiente expresión

∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ ndS w S

S1

S2

S3

ˆ − F ⋅ idS = ∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ idS ∫∫ ˆ S1

S2

S3

Se deja como ejercicio al lector esta comprobación.

Figura 71. Superficie S del Ejemplo 70.

EJEMPLO 71. Utilice el teorema de la Divergencia para evaluar la integral de

1   superficie del campo vectorial F ( x , y , z ) =  z 2x , y 3 + tan z , x 2z + y 2  a través de la 3   superficie del sólido acotado por la parte superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Solución. La superficie S que delimita a la esfera x2 + y2 + z2 = 1 observada en la indica

en

la

Figura

72,

puede

ser

parametrizada

por

la

función

vectorial

g : ℜ 2 → ℜ 3 / g (φ ,θ ) = ( s en (ϕ ) cos (θ ) ,s en ( ϕ ) sen ( θ ) ,cos ( ϕ) ) . Al aplicar el Teorema

de la Divergencia

∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫∫ div ( F ) dV w S

B

1   = ∫∫∫ ∇ ⋅ z2 x , y3 + tan ( z ) , x2 z + y 2  dV 3   B = ∫∫∫ ( z 2 + y 2 + x 2 ) dV B

2π

= ∫0

π

1

0

0

∫ ∫ r sen ( ϕ ) drd ϕd θ 2

= 4π

Aquí si puede observar que el cálculo de la integral

∫∫ F ⋅ ndS w

se realiza de una manera

S

más sencilla que si se hubiese resuelto la integral del campo vectorial F sobre la superficie S.

Figura 72. Superficie S del Ejemplo 71.

EJERCICIOS PROPUESTO 2.11

1) 2) 3)...