Td2 L2 Probas S1 2122 - Decrire l\'univers des possibles et donner son cardinal dans les situations PDF

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Summary

Decrire l'univers des possibles
et donner son cardinal dans les situations suivantes :
1. On tire deux cartes simultanement dans un jeu de 52 cartes et on regarde la hauteur.
2. On lance trois fois de suite une piece de monnaie et on compte le nombre de fois ou Pile
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Description

´ Rennes 2 Universite ´ Annee 2021/2022 Semestre 1

Mathe´matiques Licence 2 Probabilite´s

Feuille 2 - Espaces probabilis´es

Exercice 1 (Univers des possibles) D´ecrire l’univers des possibles Ω et donner son cardinal dans les situations suivantes : 1. On tire deux cartes simultan´ement dans un jeu de 52 cartes et on regarde la hauteur. 2. On lance trois fois de suite une pi`ece de monnaie et on compte le nombre de fois o` u Pile est apparu. 3. On lance une pi`ece jusqu’`a ce que Pile apparaisse et on compte le nombre de lancers. 4. On interroge un ´etudiant de MIASHS 2 et on note le jour de son anniversaire. 5. On lance une pi`ece cinq fois de rang et on note la suite des r´esultats. 6. On classe les n ´etudiants de MIASHS 2 en fin de semestre. 7. On regarde le podium de la licence MIASHS 2 en fin de semestre.

Exercice 2 (Op´ erations sur les ´ ev´ enements) Soit Ω un univers muni d’une tribu F et trois ´ev´enements A, B et C de F. On sait qu’on peut traduire les ´ev´enements par des op´erations sur les ensembles, par exemple l’´ev´enement ”A et B se r´ealisent” s’´ecrit A ∩ B, ”A ou B se r´ealise” s’´ecrit A ∪ B. Grˆace aux symboles d’union, d’intersection et de passage au compl´ementaire, d´eterminer des expressions pour les ´ev´enements suivants : 1. E1 : A se r´ealise seul; 2. E2 : A et C se r´ealisent mais pas B ; 3. E3 : au moins l’un des trois ´ev´enements se r´ealise; 4. E4 : au moins deux des trois ´ev´enements se r´ealisent; 5. E5 : les trois ´ev´enements se r´ealisent;

6. E6 : aucun ne se r´ealise; 7. E7 : au plus l’un des trois se r´ealise; 8. E8 : au plus deux des trois se r´ealisent; 9. E9 : exactement deux des trois se r´ealisent; 10. E10 : au plus trois se r´ealisent.

Exercice 3 (Atout va) Vous jouez aux cartes avec Annabelle, No´emie et Simon avec un jeu de 32 cartes. On distribue 8 cartes `a chacun. 1. Quelle est la probabilit´e que vous ayez 8 cartes de la mˆeme couleur ? 2. Quelle est la probabilit´e que vous ayez 4 valets ? On rem´elange le paquet. On donne 2 cartes `a chacun. 3. Quel est la probabilit´e que vous ayez 2 As ?

Exercice 4 (Anniversaires) 1. Parmi les 90 ´etudiants de Licence 2 MIASHS, quelle est la probabilit´e qu’au moins deux aient leur anniversaire le mˆeme jour (ignorer les ann´ees bissextiles) ? 2. Combien devrait-il y avoir d’´etudiants pour qu’avec plus d’une chance sur deux, au moins un autre ´etudiant ait son anniversaire le mˆeme jour que vous ?

Exercice 5 (L’affaire est dans le sac) Dans un sac se trouvent 10 jetons : 8 noirs et 2 blancs. Les jetons sont distinguables apr`es tirage mais indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultan´ement 2 jetons du sac. 1. Quelle est la probabilit´e des ´ev`enements suivants : (a) A : ”Aucun jeton blanc n’est tir´e” (b) B : ”Un jeton blanc exactement est tir´e” S 2. Calculer la probabilit´e de A B. 2

Exercice 6 (Le Chevalier de M´ er´ e) Le Chevalier de M´er´e ´etait, `a la cour de Louis XIV, un joueur imp´enitent. Il pensait en particulier avoir trouv´e deux r`egles pour gagner de l’argent. 1. Premi`ere r`egle : ”Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un 6 en lan¸cant un d´e quatre fois de suite”. D´emontrer que c’est vrai. 2. Deuxi`eme r`egle : ”Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un double 6 en lan¸cant deux d´es vingt-quatre fois de suite”. D´emontrer que c’est faux. Remarque : c’est Blaise Pascal qui lui a prouv´e son erreur, les probabilit´es ´etaient n´ees ... Exercice 7 (Le foot al´ eatoire) Une ´equipe de football comporte 11 joueurs. Chacun des joueurs occupe une fonction d´etermin´ee dans l’´equipe (l’un est goal, l’autre avant-centre,...). Dans une salle sont r´eunis les membres de 5 ´equipes. On partage au hasard l’ensemble des 55 joueurs en 5 groupes de 11 personnes. 1. Quelle est la probabilit´e que chacun des 5 groupes ainsi constitu´es soit form´e des 11 joueurs appartenant `a la mˆeme ´equipe ? 2. Quelle est la probabilit´e que chacun des 5 groupes comprenne un joueur de chacune des 11 fonctions (chacun un goal, un avant-centre,...) ?

Exercice 8 (Urne de Polya) Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Une boule est tir´ee au hasard puis on la replace dans l’urne avec 3 autres boules de la mˆeme couleur (de sorte qu’il y a alors 13 boules dans l’urne). On tire alors une nouvelle boule au hasard dans l’urne. 1. Calculer la probabilit´e que la seconde boule tir´ee soit blanche. 2. Etant donn´e que la seconde boule tir´ee est blanche, quelle est la probabilit´e que la premi`ere soit noire ?

Exercice 9 (Poker menteur) Vous jouez aux cartes avec Simon et un jeu de 32 cartes. On distribue 5 cartes `a chacun. 1. Quelle est la probabilit´e que vous ayez 5 cartes de la mˆeme couleur ? 3

2. Quelle est la probabilit´e que Simon et vous ayez 5 cartes de la mˆeme couleur ? 3. Quelle est la probabilit´e que Simon ait un carr´e ? Vous regardez vos cartes : vous avez 5 coeurs : Roi, Valet, 10, 8 et 7. Simon vous dit alors (sans montrer son jeu) : ”J’ai un carr´e”. 4. Est-ce plus ou moins probable qu’avant la distribution des cartes ?

Exercice 10 (Gare aux escales) Vous voyagez en avion de Los Angeles `a Rennes avec deux escales `a New York puis `a Paris. La probabilit´e que votre bagage ne soit pas mis en soute est la mˆeme `a Los Angeles, New York et Paris, elle est de 5%. Arriv´e `a Rennes vous constatez l’absence de votre valise. Calculez les probabilit´es que votre valise soit rest´ee `a Los Angeles, New York et Paris respectivement. Exercice 11 (Le match ´ etait truqu´ e) D’une urne contenant trois pi`eces dont deux sont truqu´ees, on extrait une pi`ece avec laquelle on joue `a pile ou face. On suppose que la probabilit´e d’obtenir pile avec l’une des pi`eces truqu´ee est 0.3 et est 0.4 avec l’autre. Sachant que la pi`ece extraite a amen´e quatre fois de suite face, quelle est la probabilit´e qu’elle soit truqu´ee. Exercice 12 (Groupes sanguins) Le sang humain est class´e en quatre groupes distincts : A, B, AB et O. Ind´ependamment du groupe, le sang peut poss´eder le facteur Rh´esus. Si le sang d’un individu poss`ede ce facteur, il est dit Rh´esus positif (not´e Rh+); s’il ne poss`ede pas ce facteur, il est dit de Rh´esus n´egatif (not´e Rh-). Sur une population P, les groupes sanguins se r´epartissent de la mani`ere suivante : A B AB O 0.40 0.10 0.05 0.45 Pour chaque groupe, la proportion d’individus poss´edant ou non le facteur Rh´esus se r´epartit ainsi : Groupe Rh+ Rh-

A B AB O 0.82 0.81 0.83 0.80 0.18 0.19 0.17 0.20 4

Un individu ayant un sang du groupe O et de Rh´esus n´egatif est appel´e donneur universel. On choisit un individu au hasard dans la population P. Calculer la probabilit´e des ´ev`enements suivants : 1. O = ”l’individu a un sang du groupe O” 2. DU = ”l’individu est un donneur universel” 3. Rh = ”l’individu a un sang de Rh´esus n´egatif” 4. On suppose dans cette question que l’individu a du sang de Rh´esus n´egatif. Quelle est la probabilit´e que cet individu soit du groupe O ?

Exercice 13 (Liouville et les probabilit´ es) Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules noires. Le joueur A commence et gagne s’il tire une boule rouge, sinon c’est `a B de tirer (A n’a pas remis la boule noire dans l’urne). B gagne s’il tire une boule noire, sinon c’est `a A de tirer et ainsi de suite. 1. Quelle est la probabilit´e que A gagne ? 2. Ce jeu est-il ´equitable ?

Exercice 14 (Let’s make a deal) Vous participez `a un jeu o` u l’on vous propose trois portes au choix, A, B ou C. L’une des portes cache une voiture `a gagner et chacune des deux autres portes un carambar. Vous choissisez une porte mais sans l’ouvrir. L’animateur, qui sait o` u est la voiture, ouvre une autre porte que votre choix, derri`ere laquelle se trouve un carambar. Il vous donne maintenant le choix entre voue en tenir `a votre choix initial ou changer de porte. Qu’avez-vous int´erˆet `a faire ? Exercice 15 (Ind´ ependance d’´ ev´ enements) 1. On consid`ere deux ´ev´enements A et B tels que P(A) = 0.1, P(B ) = 0.9 et P(A∪B) = 0.91 . Les ´ev´enements A et B sont-ils ind´ependants ? 2. On consid`ere trois ´ev´enements ind´ependants A, B et C tels que P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 et P(C) = 0.2 . Que vaut P(A ∪ B ∪ C) ?

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Exercice 16 (L’ivresse du gardien de nuit) Un gardien de nuit a 10 cl´es, dont une seule marche, pour ouvrir une porte. Il emploie deux m´ethodes. M´ethode A : `a jeun, il retire du trousseau les cl´es d´ej`a essay´ees ; m´ethode B : ivre, il remet la cl´e dans le trousseau apr`es chaque essai. 1. M´ethode A : on appelle pn la probabilit´e qu’il faille n essais pour ouvrir la porte. D´eterminer pn . 2. M´ethode B : on appelle qn la probabilit´e qu’il faille n essais pour ouvrir la porte. D´eterminer qn . 3. Le gardien est ivre un jour sur trois. Un jour, apr`es avoir essay´e 8 cl´es, le gardien n’a toujours pas ouvert la porte. Quelle est la probabilit´e qu’il soit ivre ?

Exercice 17 (Le Parrain) La Mafia subtilise 10% des colis exp´edi´es de New York par avion. Alice veut envoyer deux cadeaux de No¨el `a son ami Bob. Elle peut faire soit deux paquets s´epar´es ind´ependants, soit un paquet group´e. Calculer dans les deux cas les probabilit´es des ´ev´enements suivants : 1. Un cadeau au moins est arriv´e 2. Les deux cadeaux sont arriv´es

Exercice 18 (La cour des oracles) Lors de la Coupe du Monde de football 2010, avant chacune des 7 rencontres de l’´equipe d’Allemagne (3 matchs de poule, huiti`eme, quart, demi et ”petite finale”) ainsi qu’avant la finale (Espagne contre Pays-Bas), Paul le Poulpe avait le choix entre 2 r´ecipients contenant sa nourriture pr´ef´er´ee, chacun `a l’effigie de l’un des deux adversaires. Le pronostic correspondait au choix du r´ecipient o` u l’animal allait se nourrir. Il se trouve que les 8 pronostics se sont av´er´es exacts. 1. Quelle est la probabilit´e d’un pronostic correct pour un match de poule ? Et pour un match `a ´elimination directe ? 2. En d´eduire la probabilit´e qu’avait Paul le Poule de ”tomber juste” sur l’ensemble des rencontres ? On consid`ere une m´enagerie de N oracles essayant de pr´edire les mˆemes matchs que Paul le Poulpe. 6

3. Quelle est la probabilit´e qu’aucun des N oracles ne donne les 8 bons r´esultats ? 4. Combien d’oracles sont n´ecessaires pour qu’avec une probabilit´e sup´erieure `a 99% l’un au moins pronostique les 8 bons r´esultats ?

Exercice 19 (L’affaire est dans le sac (bis)) Dans un sac se trouvent 10 jetons : 8 noirs et 2 blancs. Les jetons sont indiscernables au toucher. 1. On tire au hasard et successivement 10 jetons en remettant `a chaque tirage le jeton dans le sac. Quelle est la probabilit´e des ´ev`enements suivants : (a) C : ”2 jetons blancs exactement sont tir´es” (b) D : ”Seul le premier jeton tir´e est blanc” (c) E : ”Au moins un des jetons tir´e est blanc” (d) F : ”Au plus un des jetons tir´e est blanc” 2. Combien de jetons faut-il tirer du sac, successivement et avec remise, pour que la probabilit´e d’obtenir un jeton blanc soit sup´erieure `a 90%?

Exercice 20 (Match de tennis) Dans un match donn´e, sur son service, un joueur a deux chances sur trois de gagner le point. 1. Calculer la probabilit´e qu’il a de gagner le jeu sachant qu’il est `a 40 − 40 sur son service. [Indication : noter P cette probabilit´e, P + celle de gagner le jeu s’il a l’avantage, P− celle de gagner le jeu si son adversaire a l’avantage et ´ecrire un syst`eme a` 3 ´equations pour les 3 inconnues P− , P, + et r´esoudre ce syst`eme.] 2. Quelle est la probabilit´e d’arriver `a 40 − 40 pour la premi`ere fois ? 3. Quelle est la probabilit´e que le joueur gagne le jeu en arrivant a` 40 − 30 et en concluant ? En arrivant a` 40 − 15 et en concluant ? En arrivant a` 40 − 0 et en concluant ? 4. Quelle est la probabilit´e que le joueur gagne le jeu ? 5. G´en´eraliser le r´esultat pr´ec´edent en consid´erant qu’il a une probabilit´e p de gagner le point sur son service et tracer la probabilit´e de gagner le jeu en fonction de p.

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