Tema 1 del material de estudio de nivelación primer periodo 2021 PDF

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ALGEBRALÓGICA MATEMÁTICA ÁREA DE ALGEBRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTASÍndice Pág. Tema # Proposiciones Funciones proposicionales Reglas de inferencia Recursos complementarios Bibliografía Actividad de aprendizaje autónomo Tema # 1t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F)u: ¿Qué día es hoy? ...

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ALGEBRA

LÓGICA MATEMÁTICA ÁREA DE ALGEBRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Índice

Tema # 1

Pág.

1.1.

Proposiciones

2

1.2.

Funciones proposicionales

21

1.3.

Reglas de inferencia

27

Recursos complementarios

41

Bibliografía

42

Actividad de aprendizaje autónomo

43

1

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

1.1. Proposiciones La lógica le proporciona a las matemáticas un lenguaje claro y un método preciso para demostrar teoremas a partir de axiomas. Sin la lógica los axiomas serian un montón de verdades aceptadas, pero nada más. La lógica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nuevas verdades (teoremas) que antes no conocíamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´ángulos interiores de cualquier triangulo siempre es de 180°. Al ser la lógica el punto de partida de las matemáticas, en ella se deben introducir nociones primarias tales como proposición, valor de verdad, conectivo lógico.

PROPOSICIONES LÓGICAS

ENUNCIADO.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje PROPOSICIÓN.- Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F)

Notación.- Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc.

Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:

Proposición

Valor de verdad

q: Manta es la capital de la provincia de Manabí

(V)

r: El número 15 es divisible por 3.

(V)

s: El perro es un ave.

(F)

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t: Todos los triángulos tienen cuatro lados u: ¿Qué día es hoy? p: ¡Viva Loja!

Tema # 1 (F) No es una proposición No es una proposición

EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES

a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido lo que es una proposición? c) ¡Estudia esta lección! d) ¿Cuál es tu nombre l? e) Prohibido pasar f) Borra el pizarrón

No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes ni las preguntas son proposiciones ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos enunciados que constan de variables. Se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable".

Ejemplos:

p: x es la capital del Perú Sí x: Lima, Quito…

Para p (Lima): Lima es la capital del Ecuador

es falso

(F)

Para p (Quito): Quito es la capital del Ecuador es verdadero (V)

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Tema # 1

b) q: y + 4 = 11 , y es número natural y: 0; 1; 2; 3; 4;…..

Para q (1): 1 + 4 = 11

, es falso (F)

q (7): 7 + 4 = 11

, es verdadero (V)

CLASE DE PROPOSICIONES

A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado proposicional .

Por ejemplo, sea la proposición

p: 3 + 6 = 9

B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más proposiciones simples. Ejemplo 1:

r: Pitágoras era griego p

y

era geómetra q

Encontramos dos enunciados, el primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra.

Ejemplo 2: p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto

Donde podemos observar que la proposición p, se divide en dos proposiciones simples: r: Juan es profesor

y

s : Manuel es arquitecto Es decir ,

p : r o s

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Tema # 1

Conectores lógicos Enlazan proposiciones simples, o a partir de proporciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos OPERACIONES PROPOSICIONALES Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. NEGACIÓN

Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:

p:

Diego estudia matemática p :

Diego no estudia matemática

Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p

p

V

F

F

V

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

Ejemplo.

La negación de p: todos los alumnos estudian matemática es p : no todos los alumnos estudian matemática

CONJUNCIÓN

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción (o producto lógico) de estas proposiciones a la proposición p  q (se lee "p y q")

Ejemplo: Sea la declaración: 5 es un número impar y 6 es un número par p



q

Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son p:

5 es un número impar

q:

6 es un número par

Y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.

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Tema # 1

Tabla de verdad p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa. Ejemplo:

Si p: 3 es mayor que 7 q: Todo número par es múltiplo de dos Entonces: p  q: 3 es mayor que 7 y todo número par es múltiplo de dos Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera DISYUNCIÓN

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción (o suma lógica) de las proposiciones p y q es la proposición p  q, se lee “p o q“

Ejemplo 1. Tiro las cosas viejas o que no me sirven

La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

Tabla de verdad p

q

p  q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Ejemplo.

Si p: Hace frio en invierno ,

o

q: Napoleón invadió Lima

p  q: Hace frio en invierno o Napoleón invadió Quito

Por ser al menos una de las proposiciones verdadera la conjunción es verdadera

IMPLICACIÓN O CONDICIONAL Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p → q (si p entonces q). La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional.

Ejemplo.

Supongamos la implicación i) Si apruebo, ENTONCES te presto el libro p

→

q

La implicación está compuesta de las proposiciones: p: apruebo, q: te presto el libro

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

Tabla de verdad p

q

p → q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

1.5.- DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ↔ q (se lee "p si y sólo si q")

Ejemplo:

p: Karina ingresa a la universidad q: Karina estudia mucho

Entonces: p  q: Karina ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho.

Ejemplo: Sea i) a = b si y sólo si a² = b²

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Tema # 1

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: a = b q: a² = b²

Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.

Tabla de verdad

p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p  q puede obtenerse mediante la tabla de (p  q)  (q  p), como vemos:

p

q

p→q

q → p (p → q)  (q → p)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

DIFERENCIA SIMÉTRICA

Diferencia simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:

p

q

p 

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

q

La verdad de p  q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes.

Ejemplo.

Sea

i) o vamos a Quito o vamos a Manta

Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso. CONJUNCIÓN NEGATIVA

La conjunción negativa de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "ni p ni q") cuya tabla de valores de verdad es:

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

p

q

p q

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

El resultado es verdadero únicamente cuando las dos proposiciones son falsas (ni p ni q), en cualquier otro caso es falsa.

Ejemplo. A partir de las siguientes proposiciones, determine la proposición resultante de efectuar la conjunción negativa.

a. Tengo caramelos b. Tengo un helado

Sea

i) a  b: Ni tengo caramelos, ni tengo un helado.

Queda claro que las dos proposiciones deben ser falsas. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si las dos son falsas. En caso de tener ambas, o de no tener una de las dos, el enunciado es Falso.

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Tema # 1

TABLAS DE VERDAD Utilizando los conectivos lógicos, se pueden combinar cualquier número finito de proposiciones simples, para obtener otras proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad. Para efectuar el número de combinaciones de los valores de las proposiciones, recurrimos a la relación 2n, donde n representa el número de proposiciones.

Ejemplos.

Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones: 1.-  p → (q  p) → q Solución: 2n = 22 = 4 combinaciones posibles.

p

q

p

→

(q  p )

→

q

V V F F

V F V F

F F V V

V V

V F F F

F V

F V

V V

F V

F F

2.-  p  (q  r )   ( p  r )  q 

Solución: 2n = 23 = 8 combinaciones posibles.

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

p

q

r

p



( q  r)



( p  r )



q

V V V

V V F

V F V

F F F

F F F

V V V

F F V

V V V

V V F

V V F

V F F F F

F V V F F

F V F V F

F V V V V

F V V V

F V V V F

V V F F

V V F V F

F V F F

F V V F F

F

V

F

EQUIVALENCIAS LÓGICAS Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p  q

Ejemplo.

Sea p: p  q, recordamos su tabla de verdad

p

q

p →q

V V F

V F V

V F V

F

F

F

Ahora bien, si analizamos la proposición q: p  q, su tabla de verdad resulta:

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

p V V F F

q V F V F

p q

V F V F

Como vemos, luego de realizar las tablas de valores de verdad, encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos:

( p → q)  (p  q) TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo:

( p → q )  (s  t )

TAUTOLOGÍA

Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores de verdad, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica.

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

Ejemplo.

Si analizamos la proposición t: p  p realizando su tabla de verdad: p

p

p  p

V

F

V

F

V

V

Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación p , la proposición p  p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.

Ejemplo.

Analicemos ahora la fórmula lógica { ( p → q )  p } → q

p

q

p→q

q→p

{(p→q)p}→q

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica.

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

p

q

p→q

(p  ~q) ~(p  ~q)

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

p → q ↔ ~(p  ~q) V V V V

CONTRADICCIÓN

Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción.

Ejemplo

Analicemos la fórmula lógica p  p p

p

p  p

V

F

F

F

V

F

Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción.

CONTINGENCIA

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.

La fórmula (p → q)  p es una tautología, ya que todas sus interpretaciones son verdaderas. p

q

V V F F

V F V F

p →q

V F V V

(p → q ) p V V V V

Un ejemplo de equivalencias lógicas son las denominadas Leyes del álgebra proposicional, las cuales nos permiten simplificar un problema y expresarlo en forma más sencilla y como bien dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores de verdad de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas.

En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber, las principales leyes son:

Tercio excluido:

p  ~p  V p  ~p  F

Involución

~ (~p)  p

Idempotencia

(p  p)  p (p  p)  p

Conmutatividad

pqqp pqqp

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 1

p↔qq↔p

Asociativa

(p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r)

Distributiva

(p  q)  r  (p  r)  (q  r) (p  q)  r  (p  r)  (q  r)

De Identidad

VVV FFF pVV pFp pVp pFF

Del Complemento

p~pV p~pF

Por definición

(p → q)  ~p  q ~ (p → q)  (p  ~q) (p ↔ q)  (p → q)  (q → p) (p ↔ q)  (p  q)  (~p  ~q) (p  q)  (p  q)  ~ (p  q)

De Absorción

p  (p  q)  p p  (p  q)  p

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CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

De Morgan

Tema # 1

~ (p  q)  ~p  ~q ~ (p  q)  ~p  ~q

Ejemplos:

Simplificar las siguientes proposiciones aplicando las leyes: del álgebra proposicional

1. ~ (p  ~ q) → (p  q)

~ [~ (p  ~ q)]  (p  q) ………………

Ley condicional

(p  ~ q)  (p  q)

………………

Ley de doble negación

p  (~ q  q)

………………