Tema 3. Modelos de ecuaciones simultáneas PDF

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Apuntes de la asignatura, diapositivas contrastadas con lo visto en clase. Profesora: Nuria....

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TEMA 3: MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS INTRODUCCIÓN Un modelo multiecuacional es un modelo compuesto de varias ecuaciones que determinan varias variables endógenas y se relacionan entre sí, es decir, la endógena de una de las ecuaciones es la exógena de otra o comparten variable endógena. También denominados Modelos de Ecuaciones Simultáneas (MES). Cada una de las ecuaciones puede emplear un método distinto de estimación. 1. NATURALEZA DE LOS MODELOS MULTIECUACIONALES 1. Endogenización de variable exógena: Consiste en concretar alguna de las variables exógenas mediante una ecuación que la modelice, por ejemplo: Y 1=β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +… u1 X 1=β 3 + β 4 X 4+ β5 X 5 + …u 2 La variable exógena endogenizada puede ser función de alguna de las variables exógenas que determinaban la endógena principal. 2. Desagregación de variable endógena: Que la variable endógena esté compuesta por partes integrantes que, por separado, cada una de ellas necesite tratamiento por separado mediante ecuaciones diferentes: Y i=Y 1 i + Y 2 i Y 11=β 0 + β 1 X 1+ β 2 X 2+ …u 11 Y 12=θ0 + θ1 X 1+ θ2 X 3+ … u 12 Las variables endógenas del modelo pueden compartir variables exógenas. Ejemplo:

1.1. HIPÓTESIS BÁSICAS DE MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS (MES) 1. Linealidad en los parámetros: Los parámetros hacen que cada variable exógena afecte a la endógena siempre en la misma proporción, son constantes. 2. Especificación correcta: Se considera que no hay errores en la elección de las variables exógenas ni en la selección ni elaboración de los datos. Es decir, las exógenas son las más relevantes, no las hay inútiles por no ser correctas o por obstruir el modelo como poner tasa de paro y tasa de empleo o por solaparse en su efecto con otra variable que es similar, como poner nivel de estudios y presupuesto de educación. 3. Grados de libertad suficiente. El grado de libertad es la diferencia entre el número de observaciones y el de parámetros. n>k 1

En caso de ser menor, hay parámetros y por tanto variables asociadas que no pueden recibir datos, el modelo no puede funcionar, a más grados de libertad más se puede contrastar el modelo. 4. Parámetros constantes: La estructura del modelo no se puede adaptar a cambios del sistema que analiza, los parámetros son constantes en el proceso de observación y en el de predicción. 5. Independencia lineal de variables explicativas: No existe correlación entre las variables explicativas, el cambio de una no afecta a otra, esto implica que cada columna de la matriz de correlación es linealmente independiente al resto. 6. Variables no estocásticas: El modelo es determinista para mismos valores de las exógenas mismo resultado, no hay componente de aleatoriedad, los valores de las exógenas son fijos. 7. Exogeneidad de variables explicativas: Hay variables que son datos introducidos al modelo y que el modelo no genera 8. Ausencia de autocorrelación. La variable endógena no se afecta a sí misma ni ninguna de las otras, la variable dependiente afecta también a la independiente. No hay relación entre los errores 9. Homocedasticidad. La varianza de los errores es constante a lo largo del tiempo, estos no cambian lo que se apartan de la media. La homocedasticidad quiere decir que todos los valores estimados tienen la misma dispersión (cedasticidad) el mismo error que se distribuye a partes iguales, esto quiere decir que la varianza del error. Xi sigue una distribución normal multivariante N(0,σ^2 In) Sobre el modelo en su conjunto: 1. Existe correlación entre los términos de perturbación aleatoria de las distintas ecuaciones, pues están relacionadas entre sí, por tanto, también lo está su error. 2. Homocedasticidad interecuacional: La relación entre ecuaciones no altera el comportamiento de la varianza. 1.2. TIPOLOGÍA DE MODELOS MULTIECUACIONALES 1.2.1. MODELOS RECURSIVOS Son aquellos en los que cada variable endógena depende, además de las variables predeterminadas (hace referencia a las variables explicativas, variables explicativas retardadas o las variables endógenas retardadas) especificadas de cada ecuación, de otras endógenas, pero sin que existan relaciones recíprocas de causalidad. Es decir, son modelos en que hay varias variables endógenas y cada variable endógena puede ser función de una o más de las otras variables endógenas. Que no existan relaciones recíprocas de causalidad quiere decir que, si la endógena A es función de la endógena B, la endógena B no es función de la endógena A y así sucesivamente, por tanto, no pueden tener las mismas exógenas pues despejando algebraicamente se podría crear la relación recíproca de causalidad. Gráficamente Y 2 e Y 3 tienen un efecto causa sobre la Y1 . La Y 2 le afecta la Y 3 y la X2. A la Y 3 le afecta X3 y X5. Cuando existe una sola dirección de causa, estaríamos hablando de modelos recursivos.

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1.2.2. MODELOS BLOQUE-RECURSIVOS Las ecuaciones se reparten en grupos de manera que entre ellos la relación es recursiva, por lo que la resolución de unos bloques permite obtener otras ecuaciones no influidas directamente, puede existir relaciones recíprocas de causalidad pero hay bloques o grupos de ecuaciones que no tienen dicha relación, es decir hay ecuaciones dónde las endógenas tienen una relación simultánea (Recíproca) una es determinante de la otra y viceversa y a su vez una u ambas o todas las variables del bloque recíproco tienen relación con otra variable (O más) con la que la relación no es recíproca, por tanto resolviendo el bloque recíproco se puede obtener la otra variable. Ejemplo:

1.2.3. MODELOS INTERDEPENDIENTES Existen relaciones recíprocas de causalidad entre todas las variables, todas las variables endógenas son función del resto de variables endógenas y a su vez son determinantes del resto. Ejemplo: Tiene tres variables endógenas, tantas como ecuaciones: La primera ecuación: tiene efecto la Y2 y la Y3 En la Y2: tiene efecto Y1 e Y3 sobre ella. Y3: tiene efecto la Y1 y la Y2

2. MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL (MBRL) Vs. MODELO BÁSICO ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS (MBELS)

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2.1. NOTACIÓN DE LOS MODELOS BÁSICOS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS Y hi=ϒ h 1 Y 1i +ϒ h 2 Y 2 i+ϒ hg Y gi +… β h 1 X 1 i+β h 2 X 2 i+ β hk X ki +u hi ( ϒ hh=0 ) Dónde tenemos g número de variables endógenas y k número de variables exógenas (en general, Predeterminadas). i hace referencia a que endógena es, h es la ecuación.

Ejemplo: Sea el siguiente sistema: Y 1=f ( Y 2 , X 2 ) Y 2=f ( Y 3 , X 2 , X 3 ) Y 3=f (X 2 , X 4 ) Y 1 t=ϒ 12 Y 2 t + β 11 +β 12 X 2 t +u 1 t Y 2 t=ϒ 23 Y 3 t + β 21+ β22 X 2 t + β 23 X 3 t +u2 t Y 3 t= β31 + β 32 X 2 t + β 34 X 4 t +u3 t Solución: Pasos 1. Gráfico de relaciones endógenas: 2. Tipo de modelo multiecuacional: 3. Nº de variables endógenas predeterminadas y exógenas: en ningún caso incluimos esas variables endógenas que actúan como explicativas. Se trata de un modelo De forma matricial:

La matriz de parámetros gamma se rellena: Ecuación Ecuación Ecuación 1 2 3 0 0 0 ϒ12 0 0 0 ϒ23 0 4

En la primera ecuación solo existe ϒ 12 , en la segunda ecuación solo existe ϒ 23 . La matriz de parámetros beta se rellena: Ecuación Ecuación Ecuación 1 2 3 β11 β21 β31 β12 β22 β32 0 β23 0 0 0 β34 Según los beta que existan en cada ecuación, de forma similar a los parámetros gamma. … La forma estructural es la notación algebraica de la forma matricial, define la ecuación de una de las endógenas: Y =YΓ + Xβ + U Por tanto: Y −YΓ =Xβ + U ( 1−Γ ) Y =Xβ + U −1 −1 Y =( 1−Γ ) · Xβ+( 1−Γ ) · U La ecuación en su forma reducida será la definición de todo el sistema para la endógena, es decir incluye todas las exógenas: Y =Π·X + V Por tanto, comparando la forma reducida con la forma estructural: Y =Π·X + V −1 −1 Y = Xβ· ( 1−Γ ) + ( 1−Γ ) · U −1 β ( 1−Γ ) =Π −1 ( 1−Γ ) · U =V La forma reducida es un paso intermedio para estimar los parámetros de la forma estructural, sin embargo, vamos a tener un problema de identificación al pasar los parámetros de una forma reducida a la forma estructural. Se pueden dar diferentes resultados: 1. Para una forma reducida se pueden dar varias formas estructurales (más de una), por lo tanto, hablaríamos de un sistema sobre-identificable. 2. Que de una forma reducida obtendríamos una única forma estructural, por lo tanto, el sistema sería exactamente identificable. 3. Que, de esa forma reducida, no nos de ninguna forma estructural, por lo tanto, el sistema sería no identificable. Lo pone alguna vez en el examen: Pasar de la forma estructural a la forma reducida 1.4. DEFERENCIAS ENTRE MBRL Vs. MBELS

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2. REGLAS El problema de identificación pretende establecer si las estimaciones numéricas de los parámetros de una ecuación estructural pueden obtenerse de los coeficientes en forma reducida estimados. Si puede hacerse, se dice que la ecuación particular está identificada; si no, se dice entonces que la ecuación bajo consideración está no identificada o subidentificada. Una ecuación identificada puede estar exactamente (o total o precisamente) identificada o sobreidentificada. Se dice que está exactamente identificada si pueden obtenerse valores numéricos únicos de los parámetros estructurales. Se dice que está sobreidentificada si puede obtenerse más de un valor numérico para algunos de los parámetros de las ecuaciones estructurales. Las circunstancias bajo las cuales puede ocurrir cada uno de los casos anteriores se indicarán en seguida. El problema de identificación surge porque diferentes conjuntos de coeficientes estructurales pueden ser compatibles con el mismo conjunto de información. En otras palabras, una ecuación dada en una forma reducida puede ser compatible con diferentes ecuaciones estructurales o con diferentes hipótesis (modelos), y puede ser difícil decir cuál hipótesis (modelo) particular se está investigando. En lo que resta de la sección se consideran diversos ejemplos para mostrar la naturaleza del problema de identificación. La identificación indica si el sistema tiene solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. 2.2. ORDEN Es aquella regla que nos dice que un sistema cumple la condición necesaria pero no suficiente: K−k ≥ g−1 El número de exógenas del sistema menos el número de exógenas de la ecuación debe ser mayor o igual al número de endógenas menos 1. La constante o término independiente cuenta en k. K es el número de exógenas más 1 por la constante. g son las endógenas explicativas más la endógena explicada. K−k > g−1 En caso de ser mayor la ecuación está sobreidentificada K−k=g−1 En caso de igualdad está exactamente identificada 6

En caso de ser menor el numero de la diferencia de las exógenas no está identificada En un modelo de g ecuaciones simultáneas, para que una ecuación esté identificada debe excluir al menos g − 1 variables (endógenas y predeterminadas) que aparecen en el modelo. Si excluye exactamente g − 1 variables, la ecuación está exactamente identificada. Si excluye más de g − 1 variables, estará sobreidentificada. La condición de orden analizada anteriormente es una condición necesaria pero no suficiente para la identificación; es decir, aun si se cumple, puede suceder que una ecuación no esté identificada. En términos más generales, aun si una ecuación cumple la condición de orden K − k ≥ m − 1, puede no estar identificada porque las variables predeterminadas excluidas de esa ecuación, pero presentes en el modelo, quizá no todas sean independientes de manera que tal vez no exista una correspondencia uno a uno entre los coeficientes estructurales (las β) y los coeficientes en forma reducida (las Π). O sea, probablemente no sea posible estimar los parámetros estructurales a partir de los coeficientes en la forma reducida. Por consiguiente, se requiere una condición que sea tanto necesaria como suficiente para la identificación. Ésta es la condición de rango para la identificación K−k < g−1

2.3. RANGO Condición necesaria y suficiente para que se cumpla la regla de rango: rango = g−1 Debe existir un rango suficiente distinto de 0, en cuyo caso no hay sistema de ecuaciones. rangog−1 Superidentificable A nivel del modelo en su conjunto, éste será identificable si lo son cada una de las ecuaciones que lo componen; basta con que una ecuación sea no identificable para que el modelo lo sea también. Igualmente, si el modelo es identificable, sólo lo será exactamente si todas las ecuaciones lo son; si una ecuación es superidentificable, el modelo también se considera superidentificable. En un modelo que contiene g ecuaciones en g variables endógenas, una ecuación está identificada si y sólo si puede construirse por lo menos un determinante diferente de cero, de orden (g − 1)(g − 1), a partir de los coeficientes de las variables (endógenas y predeterminadas) excluidas de esa ecuación particular, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo. Cada ecuación está identificada por la condición de orden. Verifique esto con la condición de rango. Considere la primera ecuación, que excluye las variables Y4, X2 y X3 (esta exclusión está representada por los ceros en el primer renglón de la tabla).

Para que esta ecuación esté identificada, se debe obtener por lo menos un determinante diferente de cero de orden 3 x 3 a partir de los coeficientes de las variables excluidas de esta ecuación, pero incluidas en otras.

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Para conseguir el determinante, se obtiene primero la matriz relevante de los coeficientes de las variables Y4, X2 y X3 incluidas en las otras ecuaciones. En el presente caso, solamente hay una matriz como ésa, llamada A, definida de la siguiente manera:

Usando las variables Y4, X2 y X3 de otras ecuaciones puesto que en la primera su parámetro es 0. Puesto que el determinante es cero, el rango de la matriz, denotado por ρ(A), es menor que 3. Por consiguiente, la ecuación no satisface la condición de rango y, por tanto, no está identificada. g = 4 porque hay cuatro endógenas. Cuando estamos ante dos ecuaciones, SIEMPRE se cumplirá la condición de rango Ejemplo:

EJEMPLO 2:

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2.4. PRINCIPALES CONCLUSIONES 1. A diferencia de los modelos uniecuacionales, los modelos de ecuaciones simultáneas contienen más de una variable dependiente o endógena, lo que requiere un nº de ecuaciones igual al nº de variables endógenas. 2. Una característica única de los modelos de ecuaciones simultáneas es que la variable endógena en una ecuación aparece como variable explicativa en otra ecuación del modelo. 3. Como consecuencia, esta variable explicativa endógena se convierte en estocástica y usualmente está correlacionada con el término de perturbación de la ecuación en la que aparece como variable explicativa. 4. En esta situación, el método MCO clásico no puede ser aplicado porque los estimadores así obtenidos no son consistentes, es decir, no convergen hacia sus verdaderos valores poblacionales independientemente del tamaño de la muestra. 5. Hay que prestar, no obstante, atención al problema de la Identificación, ya que surge, como problema, antes que la estimación. 6. Por problema de identificación se entiende la posibilidad de obtener estimaciones numéricas únicas de los coeficientes estructurales a partir de los coeficientes de la forma reducida. 7. Si esto puede hacerse, una ecuación que forma parte de un modelo de ecuaciones simultáneas estará identificada. Si no pudiera hacerse, la ecuación estará No identificada (o subidentificada). 8. Una ecuación identificada puede estarlo de manera exacta o sobreidentificada. Si se obtienen valores únicos de los parámetros estructurales, estará exactamente identificada la ecuación. Si existe más de un valor posible para los parámetros estructurales, la ecuación estará superidentificada o sobreidentificada. 9. El problema de la identificación surge porque el mismo conjunto de información puede ser compatible con diferentes conjuntos de coeficientes estructurales, es decir, diferentes modelos. 10. Para determinar la identificación de una ecuación: criterio de Orden y criterio de Rango. La primera es condición necesaria, y la segunda necesaria y suficiente. Pero en la práctica, la condición de Orden es generalmente adecuada para asegurar la Identificabilidad. 3. ESTIMACIÓN Los enfoques dependerán de la cantidad de información que se nos presente, los enfoques alternativos en la estimación son: 1. Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y Modelos recursivos. 2. Mínimos cuadrados Indirectos (MCI) y Ecuación exactamente identificada. 3. Mínimos Cuadrados en Dos Etapas (MC2E) y Ecuación sobreidentificada. 9

4. Mínimos Cuadrados en Tres Etapas (MC3E) 5. Estimadores de Máxima – Verosimilitud. 3.1. ENFOQUE DIRECTO Estimación de cada ecuación aislada, sin distinguir entre exógenas y endógenas y sin considerar la existencia de otras variables del modelo y no de la ecuación, es decir, estimar por MCO esto solo es válido en Modelos Recursivos. Son aquellos en los que cada variable endógena depende, además de las variables predeterminadas especificadas de cada ecuación, de otras endógenas, pero sin que existan relaciones recíprocas de causalidad. Que no existan relaciones recíprocas de causalidad quiere decir que, si la endógena A es función de la endógena B, la endógena B no es función de la endógena A y así sucesivamente. Debe ser exacto identificado: Y 1=f ( X 1 , X 2 , Y 2 ,Y 3 ) Y 2=f ( X 3 ,Y 3 ) Y 3=f (X 4 , X 5 , X 6 ) 3.2. ENFOQUE DE INFORMACIÓN LIMITADA Este enfoque es la estimación por (se usan fundamentalmente los dos primeros): 1. MCI (Mínimos Cuadrados Indirectos) 2. MC2E (Mínimos Cuadrados en 2 etapas) 3. MCK (Mínimos Cuadrados de clase K) 4. MVIL (Máxima Verosimilitud con información limitada) Es decir, se usa para modelos simultáneos, modelos bloques-recursivos o interdependientes. Cada ecuación en el sistema (de ecuaciones simultáneas) se estima individualmente, considerando las restricciones impuestas sobre ella (tales como la exclusión de algunas variables) sin preocuparse de las restricciones sobre las otras ecuaciones en el sistema. 3.2.1. MCI (Mínimos Cuadrados Indirectos) Sucede porque estimamos la forma reducida y luego pasamos a la forma estructural que estimaremos por MCO. Estimaremos siempre por este método cuando el sistema sea exactamente identificable. Si es exactamente identificable nos garantiza que de la forma reducida sólo haya una forma estructural. Por lo tanto, en caso de modelos exactamente identificados. Se estima Π por MCO y con las ecuaciones se obtiene β, ϒ. Se tiene en cuenta todas las exógenas y endógenas del modelo. Y =Π·X +V : Forma reducida Y = Xβ· ( 1−ϒ )−1+ ( 1−ϒ )−1 ·U : Forma estructural −1 β ( 1−ϒ ) =Π −1 ( 1−ϒ ) · U =V Paso 1. Se obtienen primero las ecuaciones en forma reducida: éstas se obtienen de las ecuaciones estructurales en forma tal que la variable dependiente en cada ecuación es la única variable endógena(explicada) y está en función únicamente de las variables predeterminadas (explicativas) y del (los) término(s) de error(es) estocástico(s). Paso 2. Se aplica MCO individualmente a las ecuaciones en la forma reducida: Esta operación es permisible puesto que las variables explicativas en estas ecuaciones están predeterminadas y, por tanto, no están correlacionadas con las perturbaciones estocásticas. Las estimaciones así obtenidas son consistentes. 10

Paso 3. Se obtienen estimaciones de los coeficientes estructurales originales a partir de los coeficientes en forma reducida estimados, obtenidos en el paso 2. Si una ecuación está exactamente identificada, hay una correspondencia uno a uno entre los coeficientes estructurales y los coeficientes en la forma reducida; es decir, pueden derivarse estimaciones únicas de los primeros a partir de los últimos. Como lo indica este procedimiento de tres etapas, el nombre de MCI se deriva del hecho de que los coeficientes estructurales (objeto principal de investigación en la mayoría de los casos) se obtienen indirectamente a partir de las estimaciones por MCO de los coeficientes en forma reducida. 3.2.2. MC2E (Mínimos Cuadrados en 2 etapas) o MCBietápicos Sirve para estimar sistemas tanto sobreidentificables como exactamente identificables. También equivale al método de variables instrumentales donde vamos a considerar que las variables estimad...