Tema 3 y 4 + Ejercicios PDF

Preview

Summary

Pofesora: Ana Belén Rabadán Gómez...

Description

El enfoque clásico de la resolución de problemas de decisión en ambiente de incertidumbre critica a los partidarios del enfoque bayesiano el empleo de probabilidades subjetivas asociadas a los estados de la naturaleza. Sin embargo, implicitamente, todos los criterios clásicos propuestos asignan también, de un modo u otro, probabilidades subjetivas a dichos estados. En el caso de Wald, por ejemplo, para cada alternativa, asignan una probabilidad igual a 1 al peor de los resultados asociados a la misma y una probabilidad de 0 al resto de estados de la naturaleza. A este tipo de distribución de probabilidad se le denomina "degenerada" y habrá tantas distribuciones distintas como alternativas. En el criterio de Maximax sucede exactamente lo contrario: cada alternativa lleva asociada una distribución de probabilidad degenerada distinta, en la cual el mejor resultado lleva asociado una probaiblidad de 1 y el resto de 0. Siguiendo ese mismo razonamiento, el criterio de Hurwicz asigna una probabilidad igual a a al peor de los resultados de cada alternativa y 1-a al mejor de todos, reducciendo el conjunto de resultados asociado a cada alternativa a sólo 2 resultados, el mejor y el peor (a este tipo de distribuciones de probabilidad se les denomina "casi degeneradas").

§ § § §

Planteamiento General de un problema de decisión Criterio de valor medio CVM Þ RER Resultado esperado en riesgo Valoración de información perfecta: VEIP Criterios de racionalidad o Dominancia simple o en resultado o Dominancia estocástica o en probabilidad

Los objetivos a alcanzar con este tema (3 y 4: temas riesgo) son los siguientes: ¨ Definir el esqueleto que conforma un problema de decisión en ambiente de riesgo, es decir, sus condiciones y sus elementos. ¨ Describir los criterios de decisión en la búsqueda de la decisión óptima, centrándonos en el denominado Criterio de Valor Medio o de Valor Monetario Esperado (CVM) ¨ Explorar la racionalidad que existe detrás de estos criterios, sustentada en el concepto de Dominancia. ¨ Introducir el concepto de Información, como un nuevo elemento adicional al problema de decisión, y su importancia en la resolución de la incertidumbre presente en los procesos de decisión que estamos estudiando. ¨ Plantear la generalización del problema de decisión en riesgo, mediante la construcción y resolución de Árboles de Decisión. Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 23 -

Todo criterio de decisión tiene dos etapas: 1. Fase de evaluación de cada decisión, llegando a un único resultado. 2. Fase de elección de la decisión óptima, mediante la definición de un principio de óptimo, que dependerá de si son resultados favorables (R.F.) o desfavorables (R.D.) Los procesos de decisión en ambiente de riesgo se caracterizan porque puede asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturaleza, probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del proceso de toma de decisiones. REGLAS DE DECISION Los diferentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. Algunos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo que no están presentes en el proceso de toma de decisiones. Representaremos por R(ai) los resultados asociados a la alternativa ai , y por P(ai) la distribución de probabilidad correspondiente a tales resultados, esto es, el conjunto de valores que representan las probabilidades de ocurrencia de los diferentes R xi1 xi1 … xi1 estados de la naturaleza: P1 P2 … PN P

PLANTEAMIENTO GENERAL DE UN PROBLEMA EN RIESGO Conjuntos que definen un problema básico de decisión: ¨ A ="{a , a ,...,a }"= acciones, alternativas, estrategias o decisiones ¨ = estados de la naturaleza Θ"="{θ ,θ ,...,θ }" 1

¨

P(θj)

2

n

conjunto de resultados A × Θ W"="{rij}"= DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ES CONOCIDA

f

R

f(ai,θj")=rij

Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo son: ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

Criterio del valor esperado Criterio de mínima varianza con media acotada Criterio de la media con varianza acotada Criterio de la dispersión Criterio de la probabilidad máxima

Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 24 -

Todos estos criterios serán aplicados al problema de decisión bajo riesgo cuya tabla de resultados figura a continuación:

q1

q2

a1

71

71

a2

80

60

a’1

75,5

65,5

Probabilidades

0,6

0,4

a1 Þ µ1= 71x0,6 + 71x0,4 = 71 a2 Þ µ2 = 80x0,6 +60x0,4 = 72 a’1 Þ µ’1 = 75,5x0,6 + 65,5x0,4 = 71,5

CRITERIO DE VALOR MEDIO CVM Para la descripción de este criterio abordamos las dos fases: 1º Fase de valoración de cada alternativa:

2º Fase de elección (principio de óptimo)

En conclusión, el criterio de Valor Monetario Esperado, conduce simplemente a calcular la esperanza de resultado para cada alternativa y elegir como óptima aquella que tenga una mejor esperanza, es decir: ¨ Con resultados favorables, el máximo resultado (máximo ingreso, máximo beneficio...) ¨ Con resultados desfavorables, el mínimo resultado (mínimo coste...) El resultado asociado a la decisión óptima se denomina Resultado Esperado en Riesgo, RER en adelante.

Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 25 -

CASO PRACTICO 3.6 a) CVM à Calcular las esperanzas E(a1) = 0,3 (150) + 0,3 (125) + 0,4(100) = 122,5 E(a2) = 133,5 ß Elegimos los mínimos: MIN (122,5;133,5) = 122,5 122,5 sería el resultado optimo, “RER” Resultado esperado en riesgo.

a1

q1 Alta

q2 Media

q3 Baja

150

125

100

175

150

90

0,3

1-0,30,4= 0,3

0,4

Vivero

a2 Tienda Bio

P(qj )

c) Vamos a valorar la información Þ Info perfecta ® SIN (info) Þ RER = 122,5 ® CON Þ REIP = ¿? q1 Alta q2 Media q3 Baja r*j

150

125

90

Delimitación del mejor resultado (r*j) (En resultados desfavorables el “mejor” es el mínimo) [Con resultados FAVORABLES, el mejor es el MAX]

0,3 × (150) + 0,3 × 125 + 0,4 × 90 = 118,5 ® SIN (info) Þ RER = 122,5 ® CON Þ REIP = 118,5 Valor de la información perfecta Þ VEIP Þ½REIP -RER½ =½118,5 – 122,5½= 4 Por lo tanto, pagaríamos como mucho 4€.

Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 26 -

VALORACCIÓN DE LA INFORMACIÓN PERFECTA

El interés del VEIP es saber nuestro TOPE, aquí nuestro tope es 4 400€. Todo lo que este debajo de 4 400€ si que lo pagamos por info, pero si esta por encima no lo pagamos porque no lo vale.

Dentro de la estructura de un problema de decisión aparece un nuevo elemento: INFORMACIÓN. Es un conjunto de elementos en relación con los estados de la naturaleza, que dan información sobre la posible ocurrencia de estos y, por tanto, disminuye la aleatoriedad inherente en ellos. Dicha información puede ser: Información perfecta cuando resuelve la incertidumbre, ofreciendo evidencia sobre el estado de la naturaleza que ocurrirá. Por tanto, es una información que aporta seguridad o certeza. Es la que a continuación pasamos a valorar. • Información imperfecta cuando con ella no se logra asegurar el estado de la naturaleza que se materializará, pero sí existe una cierta fiabilidad. Dicha información será estudiada en temas posteriores mediante el análisis bayesiano. La adquisición de información, con el propósito de resolver la aleatoriedad del problema, no es gratuita y por ello es necesario valorarla. El mecanismo de valoración consiste en calcular el beneficio adicional que reporta utilizar la información en el proceso de decisión, esto es, comparar el resultado sin información (RER) con el resultado con información perfecta (REIP). •

CRITERIOS DE RACIONALIDAD Como hemos visto, el Criterio de valor medio es de sencilla aplicación y con estos criterios se busca dotar de racionalidad a su definición, estos estarán basados en el concepto de Dominancia. En definitiva, con estos criterios pretendemos llegar a un conjunto de alternativas admisibles, estas son aquellas susceptibles de ser óptimas, desechando aquellas que racionalmente de manera obvia Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 27 -

nunca podrían ser elegidas por el decisor. Tras ello, se comprobará si el criterio de Valor Medio (CVM) en efecto establece como decisión óptima una de las admisibles. ¨ Una alternativa es admisible si no está dominada por ninguna otra alternativa. ¨ Un criterio será razonable si conduce a una alternativa admisible. Se comprueba que el criterio del valor medio (CVM) verifica estos dos criterios de dominancia, simple y estocástica, es decir, no lleva a una decisión óptima que no sea admisible de modo simple o estocástico. Por tanto, cumple con los requisitos de racionalidad.

LA

SE DEFINE EN FUNCIÓN DE LOS RESULTADOS:

a) Para resultados FAVORABLES se dice que una alternativa a otra alternativa b si para cualquier estado de la naturaleza el resultado obtenido con la alternativa a, f (a, q), es mayor o igual que el obtenido con la alternativa b, f (b, q) f (a, q), ≥ f (b, q) y existe al menos un estado q0 tal que el resultado de a es estrictamente mayor que el resultado de b: f (a, q), > f (b, q) b) Para resultados DESFAVORABLES se dice que una alternativa a, domina a otra alternativa b si para cualquier estado de la naturaleza el resultado obtenido con la alternativa a, f(a, q), es mayor o igual que el obtenido con la alternativa b, f (b, q), f (a, q), =< f (b, q) y existe al menos un estado q o tal que el resultado de a es estrictamente mayor que le resultado de b: f (a, qo), < f (b, qo) LA SE DEFINE, EN CAMBIO, EN FUNCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD a) Para resultados FAVORABLES se dice que una alternativa a domina estocásticamente a otra alternativa b si, y existe al menos un x0 tal que b) Para resultados DESFAVORABLES se dice que una alternativa a domina estocásticamente a otra alternativa b si, y existe al menos un x0 tal que Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 28 -

EJEMPLO UNIDAD DIDACTICA: Estudiar la dominancia estocástica para un resultado de 6, a) Si son resultados favorables, a2 es dominada estocásticamente por a1 pues: P(f(a1,θ)>6)=0.3+0.7=1 P(f(a2,θ)>6)=0.7 Es decir, la probabilidad de obtener resultados (beneficios) superiores a 6 es mayor con la decisión a1, en la cual todos sus resultados son mayores que 6 (10 y 7). Pero ésto no implica que la alternativa a2 sea dominada estocásticamente por a1, y por tanto no adimisible. Para que fuera así sería necesario que fuera dominada de manera estocástica para todos los posible resultados, en toda la recta real, y no sólo para resultado 6. b) Si son resultados desfavorables, en contraposición, es a1 la alternativa dominada estocásticamente por a2 pues, de igual modo: P(f(a1,θ)>6)=0.3+0.7=1 P(f(a2,θ)>6)=0.7 Igualmente para que hubiera dominancia estocástica es necesario que a1 fuera dominada para todo posible resultado.

CASO PRACTICO 3.6 (CONTINUACIÓN) b) Dominada estocástica ® Probabilidad de que una decisión supere un resultado x para 125£ x x)= P( a1 > 110) = 0,3 +0,3 =0,6 P(a2 > x)= P( a2 > 110) = 0,3 +0,3 =0,6

q1 Alta

q2 Media

q3 Baja

a1

150

125

100

a2

175

150

90

P(qj )

0,3

0,3

0,4

Þ Misma probabilidad ® No hay elegida, no hay dominada ® Son indiferentes

Dominancia estocástica -> Para todo valor x calculamos por intervalos

Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 29 -

Los objetivos a alcanzar con este tema (3 y 4: temas riesgo) son los siguientes: ¨ Definir el esqueleto que conforma un problema de decisión en ambiente de riesgo, es decir, sus condiciones y sus elementos. ¨ Describir los criterios de decisión en la búsqueda de la decisión óptima, centrándonos en el denominado Criterio de Valor Medio o de Valor Monetario Esperado (CVM) ¨ Explorar la racionalidad que existe detrás de estos criterios, sustentada en el concepto de Dominancia. ¨ Introducir el concepto de Información, como un nuevo elemento adicional al problema de decisión, y su importancia en la resolución de la incertidumbre presente en los procesos de decisión que estamos estudiando. ¨ Plantear la generalización del problema de decisión en riesgo, mediante la construcción y resolución de Árboles de Decisión. Todo criterio de decisión tiene dos etapas: 1.Fase de evaluación de cada decisión, llegando a un único resultado. 2. Fase de elección de la decisión óptima, mediante la definición de un principio de óptimo, que dependerá de si son resultados favorables (R.F.) o desfavorables (R.D.) (Info perfecta, Criterio valor medio.) Distintos ejemplos de como plantear un árbol, como y porque

RIESGO CON ARBOL No vamos a entrar en dominancia estocástica. Solo como aplicar criterio valor medio, valoración información de tipo perfecta ¿Que hay que saber de los arboles? - Representación aspecto, al final del árbol están incorporados de los resultados (vs matrices donde resultados están en el interior). Resolución criterio valor medio, valorar info (tipo parcial) - Planteamiento matriz (a la derecha) planteamiento árbol (izquierda)

Hasta el momento hemos trabajado con problemas en los cuales la elección de la decisión óptima se realizaba en un momento concreto del tiempo y, además, de forma independiente (no condicionada) a posibles decisiones anteriores. Pero en muchas ocasiones, los problemas no pueden ser represantados como una matriz, ya que aparece la situación de decisión en distintos instantes del tiempo, de modo que unas decisiones condicionan a las futuras. A los problemas de este tipo, se les llama procesos se decisión secuenciales.

Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 30 -

Además, también podemos definir los árboles de decisión como una generalización de la matriz de decisión, que como hemos visto, tiene unas características particulares: Distribución de probabilidad independiente de las alternativas Alternativas representadas como loterías con la misma distribución de probabilidad y con distintos resultados. Para la del problema de decisión tan sólo debemos tener en cuenta la representación de los distintos elementos, esto es: De este modo, el árbol de decisión queda construido del siguiente modo:

La del árbol se realiza por inducción hacia atrás, es decir, desde atrás hacia adelante del siguiente modo: • En los "nodos de incertidumbre" se calculan los valores esperados, según sus probabilidades y sus resultados. • En los "nodos de decisión" se elige la rama (decisión) con el mejor resultado. Y así sucesivamente hasta resolver el último nodo de decisión, que permita establecer la secuencia de decisiones óptimas.

Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 31 -

PRIMERA GENERALIZACION DE LA MATRIZ DE DECISION Cuando la distribución de probabilidad no es la misma para cada alternativa, es imposible representar el problema como una matriz. Planteamos el siguiente caso: Con el árbol podemos incorporar probabilidades distintas asignadas; antes trabajábamos con probabilidades generalizadas. El nivel de aceptación puede ser diferente, gracias al planteamiento a través de arboles podemos representar diferentes probabilidades. En este caso la matriz ya no nos sirve. Al dibujar las ramas podemos ir definiendo las decisiones con sus resultados. Ese paso más (añadir nueva incertidumbre), es lo que invalidad las matrices en este caso. Cuando hay distintitas distribuciones de probabilidad no son útiles las matrices. Cuando queramos valorar información con diferentes incertidumbres hablamos de informaciones parciales. Incertidumbre con información independiente, es información parcial. La información perfecta será llamada información perfecta Parcial. Cuando es un hilo de decisiones donde son dependiente hablamos de información total. La valoración perfecta de la información se hace para atrás. (Fijarse en la captura donde esta evaluación y elección). Calculando medias de atrás a delante El cuadrado es donde tenemos la decisión, (cuadrado 1). Tenemos un RER de 72,2. Esa es la resolución de un árbol. ÁRBOL CON INCERTIDUMBRES DISTINTAS Y SIMULTÁNEAS Ahora pasamos a analizar un caso en el que cada una de las alternativas ya no lleva únicamente a distribuciones de probabilidad distintas, sino también a nodos de incertidumbres distintos, y de modo simultáneo:

-

DIFERENCIAS (entre el 3.8 y 3.12): Son los dos tipos básicos: Simultanea (3.8) incertidumbre independiente (información parcial) Secuencial (.3.12), una detrás de la otra, (información total) una incertidumbre y otra que pueden ser dos parciales, pero están relacionadas, son totales.

Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 32 -

En el caso practico 3.8. INCERTIDUMBRE SIMULTANEA Hay información parcial. Por un lado, el avance tecnológico y por el otro, la moda. Criterio valor medio (CVM) (que es lo mejor que puede hacer Carlos, sin información) Vamos de atrás a delante, por ejemplo, en la parte de cine de autor en Europa: Cogemos 160(“esta a la moda”) y lo multiplicamos por su probabilidad. 160x0,7= 133, marcaremos en la parte de cine de autor de Europa 133, y así, de la misma manera calcularemos los otros resultados en adelante. La elección es 133. RER=133 Y de ahí vamos marcando las decisiones optimas. 133 es la mejor decisión sin información Incorporando información. Valoramos información: Comparando resultado con información y sin información. Y la diferencia es lo que estaría dispuesto a pagar. En la matriz teníamos una sola información con una única incertidumbre. En este caso, tenemos dos distribuciones de probabilidad, con dos incertidumbres distintas con 2 informaciones. Tenemos info. en una parte y otra no. La Incertidumbre es distinta, no tienen influencia la una sobre la otra. De ahí que cuando tenemos información de un lado no la tenemos del otro, son independientes. (En el caso secuencial, si que habrá dos partes relacionadas. En el secuencial todo esta relacionado, de ahí que la info este relacionada y sea total). ¿Que es lo mejor que puedo hacer con la información? Nos preguntan sobre el avance. ¿Cuanto valor tendría esa información? (REIPP) ¿Si hay un avance que es lo mejor? ¿Y si no hay avance que es lo mejor? Avance [probabilidad 0,6] à mejor (160,133;104) (En la parte de cine de autor no tenemos información, nos quedamos en los datos en Europa o Asia.) El mejor es 160. No hay avance [probabilidad 0,4]à mejor (90,133,104) El mejor es 133. Resultado con info. perfecta parcial del avance: REIPP. Hacemos media de 160 y 133, utilizando las probabilidades que dan en el árbol. REIPP= 0,6(160) +0,4(133)=149,2

nos

Valor info: 149,2-133= 16,2 VEIPP= 16 200€ Métodos de Decisión Empresarial - 2020/2021

- 33 -

Pagaría por esa info hasta 16200€, como mucho. Reflexión: VALOR DE INFORMACIÓN PERFECTA PARCIAL Valoramos la Información Perfecta, como hemos visto. Pero advertimos que en este caso hay dos incertidumbres distintas, por tanto se define como Información Perfecta PARCIAL, que irá referida a cada uno de los distintos nodos de incertidumbre. El procedimiento es el mismo que se ha visto anteriormente: Compararemos el REIP (Resultado con Información Perfecta) con RER (Resultado sin información). Entonces, nos preguntamos: ¿Cúanto estar...