TEMA 4 Errores en régimen permanente PDF

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4.5. Análisis de errores en régimen permanente Sea el sistema realimentado de la figura 4-21 donde la señal de salida del sistema C(s) debe seguir la señal de entrada o referencia R(s). R(s)

E(s)

Kc

G(s)

C(s)

B(s) H(s) Figura 4-21. Sistema realimentado.

La función de transferencia del sistema de bucle cerrado es: 𝐾𝑐 𝐺(𝑠) 𝐶(𝑠) = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

La señal de error se define como la señal de entrada menos la señal de realimentación de la señal de salida a través de H(s). Es decir:

𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑏 (𝑡)

𝐸(𝑠) = 𝑅 (𝑠) − 𝐵(𝑠) Se define el error del sistema en régimen permanente, o en estado estable, como el límite cuando el tiempo tiende a ∞ de la señal de error, que se puede obtener también aplicando el teorema del valor final a la señal de error. Es decir:

𝑒∞ = lim 𝑒(𝑡) = lim 𝑠 ∙ 𝐸(𝑠) 𝑡→∞

𝑠→0

Desarrollando la expresión de la señal de error en el dominio de la variable compleja s se obtiene:

𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐵(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐻 (𝑠)𝐶 (𝑠)

Se despeja C(s) de la función de transferencia de bucle cerrado y se sustituye en la expresión anterior:

𝐾𝑐 𝐺(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝑅 (𝑠) − 𝐻 (𝑠) 𝑅(𝑠) 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

Operando la expresión final del error queda como: 𝐸(𝑠) =

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1 𝑅(𝑠) 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

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Aplicando el teorema del valor final a la señal de error, es necesario comprobar que el teorema del valor final se puede aplicar, se obtiene: 𝑒∞ = lim 𝑒(𝑡) = lim 𝑠 ∙ 𝐸 (𝑠) = lim 𝑡→∞

𝑠→0

𝑠→0

1 𝑅(𝑠) 𝑠 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

La expresión obtenida depende de la señal de entrada del sistema y del tipo del sistema. El tipo del sistema, que no se debe confundir con el orden del sistema, viene dado por el número de polos en el origen de la función de transferencia de bucle abierto del sistema. Si se factoriza la función de transferencia de bucle abierto del sistema y se normalizan a valor uno todos los términos independientes, esta normalización permite realizar de forma más sencilla el análisis de la expresión del error, se obtiene: 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) 𝑠 𝑁 (𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1)

𝑁 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

El tipo del sistema indica la capacidad del sistema para seguir de forma adecuada cierto tipo de entradas. La ganancia KT es la ganancia total de la función de transferencia de bucle abierto. Ejemplo 4-5 Sea el sistema realimentado de la figura 4E-5: R(s)

+

E(s)

3

B(s)

1 3𝑠 2 + 5𝑠

2(𝑠 + 2) (𝑠 + 1)(𝑠2 + 2𝑠 + 2)

C(s)

Figura 4E-5. Sistema realimentado.

La función de transferencia de bucle abierto es: 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

3 ∗ 2(𝑠 + 2) (𝑠 + 1)(3𝑠2 + 5𝑠)(𝑠 2 + 2𝑠 + 2)

Factorizando y normalizando a 1 los términos independientes, se obtiene:

3 ∗ 2 ∗ 21 6 𝑠 ( 2 𝑠 + 1) ( + 1) 5 ∗ 2 5 2 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = = 2 3 1 3𝑠 𝑠(𝑠 + 1) ( 𝑠 + 1) ( 𝑠 2 + 𝑠 + 1) 𝑠(𝑠 + 1) ( + 1) (𝑠 + 𝑠 + 1) 2 5 2 5

La función de transferencia de bucle abierto tiene una ganancia KT = 6/5. El sistema es de tipo 1, ya que la función de transferencia de bucle abierto tiene un polo en el origen.

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A continuación, se van a estudiar los errores en régimen permanente que cometen los sistemas realimentados ante entradas escalón, rampa y parábola dependiendo del tipo del sistema. Error estacionario escalón El error en régimen permanente para una entrada escalón unitario es: 𝑒∞ = lim 𝑠 𝑠→0

1 𝑅(𝑠) 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑇.𝐿.

𝑟(𝑡) = 1 ⇒

1 𝑅(𝑠) = 𝑠

}

𝑒∞ = lim 𝑠 𝑠→0

1 1 1 = 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑠 1 + 𝐾𝑐 𝐺(0)𝐻(0)

Definiendo la constante de error escalón o de posición Kp como:

𝐾𝑝 = lim 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 𝐾𝑐 𝐺(0)𝐻(0) 𝑠→0

Por tanto, el error en régimen permanente ante entrada escalón unitario en función de Kp es: 𝑒∞ =

1 1 + 𝐾𝑝

El valor de la constante de error escalón Kp y, por tanto, del error en régimen permanente para entrada escalón unitario dependen del tipo del sistema. Para sistemas de tipo 0 el valor de Kp y del error en régimen permanente son: 𝐾𝑝 = lim 𝑠→0

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) = 𝐾𝑇 (𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1) 𝑒∞ =

1 1 + 𝐾𝑇

Para sistemas de tipo 1 o superior el valor de Kp y del error en régimen permanente son: 𝐾𝑝 = lim 𝑠→0

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) 𝑠 𝑁 (𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1) 𝑒∞ =

=∞

1 =0 1+∞

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 ≥ 1

Se observa, por tanto, que la respuesta de un sistema realimentado ante una entrada escalón unitario comete un error en estado estable si no existe ningún polo en el origen en la función de transferencia del sistema de bucle abierto (tipo 0). Para que el error sea nulo es necesario que el sistema sea de tipo 1 o superior.

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Error estacionario rampa El error en régimen permanente para una entrada rampa unitaria es: 1 𝑅(𝑠) 𝑠 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑠→0

𝑒∞ = lim

𝑇.𝐿.

= lim 𝑠→0

𝑟(𝑡) = 𝑡 ⇒

1 𝑅(𝑠) = 2 𝑠

}

𝑒∞ = lim 𝑠 𝑠→0

1 1 = 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)𝑠 2

1 1 1 = = 𝑠 + 𝑠 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) lim 𝑠 + lim 𝑠 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) lim 𝑠 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑠→0

𝑠→0

𝑠→0

Definiendo la constante de error rampa o de velocidad Kv como: 𝐾𝑣 = lim 𝑠 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑠→0

Por tanto, el error en régimen permanente ante entrada rampa unitaria en función de Kv es: 𝑒∞ =

1 𝐾𝑣

El valor de la constante de error rampa Kv y, por tanto, del error en régimen permanente para entrada rampa unitaria dependen del tipo del sistema. Para sistemas de tipo 0 el valor de Kv y del error en régimen permanente son: 𝐾𝑣 = lim 𝑠 𝑠→0

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) =0 (𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1) 𝑒∞ =

1 =∞ 0

Para sistemas de tipo 1 el valor de Kv y del error en régimen permanente son: 𝐾𝑣 = lim 𝑠 𝑠→0

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) = 𝐾𝑇 𝑠(𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1) 𝑒∞ =

1 𝐾𝑇

Para sistemas de tipo 2 o superior el valor de Kv y del error en régimen permanente son: 𝐾𝑣 = lim 𝑠 𝑠→0

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) =∞ 𝑠 𝑁 (𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1) 𝑒∞ =

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1 =0 ∞

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 ≥ 2

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Se observa, por tanto, que un sistema de tipo 0 es incapaz de seguir una entrada rampa unitaria, el error es infinito. Para sistemas de tipo 1 se sigue la entrada rampa unitaria, pero se comete un error finito. Finalmente, para sistemas de tipo 2 o superiores el error en estado estable para una entrada rampa unitaria es cero. Error estacionario parábola El error en régimen permanente para una entrada parábola unitaria es: 𝑒∞ = lim 𝑠 𝑠→0

= lim 𝑠→0

1 𝑅(𝑠) 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

𝑡2 𝑟(𝑡) = 2

𝑠2

+

1

𝑇.𝐿.

⇒

1 𝑅(𝑠) = 3 𝑠

𝑠2 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

=

lim 𝑠 2 𝑠→0

}

𝑒∞ = lim 𝑠 𝑠→0

1 1 = 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)𝑠 3

1 1 = 2 2 + lim 𝑠 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) lim 𝑠 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑠→0

𝑠→0

Definiendo la constante de error parábola o de aceleración Ka como: 𝐾𝑎 = lim 𝑠 2 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑠→0

Por tanto, el error en régimen permanente ante entrada parábola unitaria en función de Ka es: 𝑒∞ =

1 𝐾𝑎

El valor de la constante de error parábola Ka y, por tanto, del error en régimen permanente para entrada parábola unitaria dependen del tipo del sistema. Para sistemas de tipo 0 el valor de Ka y del error en régimen permanente son: 𝐾𝑎 = lim 𝑠2 𝑠→0

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) =0 (𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1) 𝑒∞ =

1 =∞ 0

Para sistemas de tipo 1 el valor de Ka y del error en régimen permanente son: 𝐾𝑎 = lim 𝑠2 𝑠→0

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) =0 𝑠(𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1) 𝑒∞ =

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1 =∞ 0

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Para sistemas de tipo 2 el valor de Ka y del error en régimen permanente son: 𝐾𝑎 = lim 𝑠→0

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) = 𝐾𝑇 𝑠 2 𝑠 2 (𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1) 𝑒∞ =

1 𝐾𝑇

Para sistemas de tipo 3 o superior el valor de Ka y del error en régimen permanente son: 𝐾𝑎 = lim 𝑠 2 𝑠→0

𝐾𝑇 (𝜏1𝑐 𝑠 + 1) … (𝜏𝑚𝑐 𝑠 + 1) =∞ 𝑠 𝑁 (𝜏1𝑝 𝑠 + 1) … (𝜏𝑛𝑝 𝑠 + 1) 𝑒∞ =

1 =0 ∞

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 ≥ 3

Se observa, por tanto, que los sistemas de tipo 0 y 1 son incapaces de seguir una entrada parábola unitaria, el error es infinito. Para sistemas de tipo 2 se sigue la entrada parábola unitaria, pero se comete un error finito. Finalmente, para sistemas de tipo 3 o superiores el error en estado estable para una entrada parábola unitaria es cero. Para finalizar, se muestra una tabla resumen de los errores en régimen permanente en función de la señal de entrada y del tipo de sistema:

Error en régimen permanente

Entrada escalón

Entrada rampa

Entrada parábola

Sistema tipo 0

1 1 + 𝐾𝑝





Sistema tipo 1

0

1 𝐾𝑣



Sistema tipo 2

0

0

1 𝐾𝑎

Tabla 4-1. Valor de los errores en función del tipo de sistema y de la señal de entrada.

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Ejemplo 4-6 Se ha estudiado en los primeros apartados del tema como al aplicar entradas escalón unitario a las funciones de transferencia normalizadas de los sistemas de primer y segundo orden, con valor de K igual a 1, las salidas en régimen permanente alcanzan el valor de la entrada, es decir, el error en régimen permanente de las funciones de transferencia normalizadas de los sistemas de primer y segundo orden ante entrada escalón unitario es 0. Por tanto, es necesario que las funciones de transferencia normalizadas de los sistemas de primer y segundo orden sean de tipo 1 (error ante entrada escalón unitario igual a 0). Se va a comprobar que es así mostrando los diagramas de bloques realimentado de las funciones de transferencia normalizadas de los sistemas de primer y segundo orden: R(s)

+

E(s)

-

1 𝑇𝑠

C(s) R(s)

1 𝑇𝑠 + 1

C(s)

Figura 4E-6. Diagrama de bloques realimentado y función de transferencia de bucle cerrado de sistema de primer orden normalizado con K = 1.

R(s)

+

E(s)

-

𝜔2𝑛 𝑠(𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛 )

C(s) R(s)

𝜔𝑛2 𝑠 2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2

C(s)

Figura 4E-7. Diagrama de bloques realimentado y función de transferencia de bucle cerrado de sistema de segundo orden normalizado con K = 1.

Si se obtiene la función de transferencia de bucle abierto de cada sistema, se observa que ambas funciones tienen un polo en el origen y, por tanto, ambos sistemas son de tipo 1. Para el sistema de primer orden se tiene: 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

1 𝑇𝑠

Para el sistema de segundo orden se tiene: 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

𝜔2𝑛

𝑠(𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛 )

Al ser sistemas de tipo 1, el error en régimen permanente es 0 y, por ser sistemas realimentados con realimentación unitaria, el valor de la salida en régimen permanente coincide con el valor de la entrada escalón unitario.

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Que el error sea nulo no siempre implica que la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida también sea nula. Se debe recordar que el error es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida realimentada a través de la función de transferencia de la realimentación. Se va a ilustrar con un ejemplo. Ejemplo 4-7 Sea el sistema realimentado de la figura 4E-8: R(s)

E(s)

1 𝑠(𝑠 + 1)

2

C(s)

3 Figura 4E-8. Sistema realimentado.

Se quiere estudiar tanto el error del sistema en régimen permanente como la diferencia, en régimen permanente, entre la entrada y la salida del sistema cuando la entrada aplicada al sistema es una entrada escalón unitario. Para el cálculo del error del sistema en régimen permanente ante entrada escalón unitario, se obtiene la función de transferencia de bucle abierto del sistema y, en ella, se analiza el tipo del sistema comprobando que, efectivamente, se puede aplicar el teorema del valor final. 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 2 ∗

1 6 ∗3 = 𝑠(𝑠 + 1) 𝑠(𝑠 + 1)

Como la función de trasferencia de bucle abierto tiene un polo en el origen, el sistema es de tipo 1 y, por tanto, el error del sistema en régimen permanente ante entrada escalón unitario es cero. Para el cálculo de la diferencia, en régimen permanente, entre la entrada y la salida del sistema cuando se aplica una entrada escalón unitario al sistema, primero se obtiene la función de transferencia de bucle cerrado del sistema.

𝐾𝑐 𝐺(𝑠) 2 𝐶(𝑠) = = 2 𝑅(𝑠) 1 + 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑠 + 𝑠 + 6

Los polos de la función de transferencia obtenida son polos complejos con parte real negativa (0 < ζ < 1), por lo tanto, el sistema es estable y se puede aplicar el teorema del valor final a la expresión obtenida. A continuación, se obtiene la expresión de la diferencia entre la entrada y la salida del sistema. 𝑑(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑐(𝑡)

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Por último, se aplica el teorema del valor final a la expresión de la diferencia para obtener el valor de la diferencia en régimen permanente.

𝑑∞ = lim 𝑑(𝑡) = lim 𝑠 ∙ 𝐷(𝑠) = lim 𝑠 ∙ (𝑅 (𝑠) − 𝐶 (𝑠)) = 𝑡→∞

= lim𝑠 ∙ (𝑅(𝑠) − 𝑠→0

𝑠→0

𝑠→0

𝐶(𝑠) 1 2 1 𝑅(𝑠)) = lim 𝑠 ∙ ( − 2 )= 𝑠→0 𝑅(𝑠) 𝑠 𝑠 +𝑠+6𝑠

= lim(1 − 𝑠→0

𝑠2

2 1 2 ) = 1 − = = 𝑑∞ +𝑠+6 3 3

El valor de la salida también se puede obtener aplicando el teorema del valor final, aunque el valor que se obtiene ya se ha utilizado en el cálculo de la diferencia en régimen permanente. 𝑐∞ = lim 𝑐(𝑡) = lim 𝑠 ∙ 𝐶 (𝑠) = lim 𝑠 ∙ 𝑡→∞

= lim 𝑠 ∙ 𝑠→0

𝑠→0

𝑠2

𝑠→0

𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑅(𝑠)

2 2 1 1 = lim 2 = = 𝑐∞ + 𝑠 + 6 𝑠 𝑠→0 𝑠 + 𝑠 + 6 3

Una medida a aplicar para obtener una señal de salida en régimen permanente igual a la señal de entrada, aunque se tenga realimentación con ganancia no unitaria, es añadir un bloque funcional delante del punto suma con ganancia equivalente a la ganancia de la función de transferencia del bloque funcional de la realimentación. R(s)

3

E(s)

1 𝑠(𝑠 + 1)

2

C(s)

3 Figura 4E-9. Sistema realimentado con bloque funcional adicional para obtener diferencia nula.

Se debe comprobar la obtención del efecto deseado en cada caso. Con el análisis realizado sobre la relación entre el error en régimen permanente y el tipo del sistema puede parecer que aumentar el tipo del sistema es la solución perfecta para poder seguir entradas más complejas, pero hay que tener en cuenta que el aumento del tipo del sistema afecta también a la inestabilidad relativa, e incluso absoluta, del sistema. Se va a ilustrar con un ejemplo.

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Ejemplo 4-8 Sea el sistema realimentado de la figura 4E-10: R(s)

E(s)

1 𝑠 2 + 0.5𝑠 + 1

C(s)

Figura 4E-10. Sistema realimentado.

Se quiere estudiar el efecto que tiene el aumento del tipo del sistema sobre el comportamiento del sistema. La función de transferencia de bucle cerrado del sistema es: 1 𝐶(𝑠) = 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 0.5𝑠 + 2

Los polos de la función de transferencia de bucle cerrado son complejos con parte real negativa. Inicialmente, se va a calcular el error del sistema en régimen permanente ante entrada escalón unitario partiendo de la función de transferencia de bucle abierto del sistema. 𝐾𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

𝑠2

1 + 0.5𝑠 + 1

Como la función de trasferencia de bucle abierto no tiene ningún polo en el origen, el sistema es de tipo 0 y, por tanto, al tener también polos complejos con parte real negativa, el error del sistema en régimen permanente ante entrada escalón unitario es finito y distinto de cero. 𝑒∞ =

1 1 + 𝐾𝑝

𝐾𝑝 = 𝐾𝑐 𝐺(0)𝐻(0) = 1}

𝑒∞ =

1 1 = = 0.5 1+1 2

Los errores del sistema ante entradas rampa y parábola unitaria, mirando la tabla 4-1, son infinitos. Si se quiere eliminar el error del sistema en régimen permanente ante entrada escalón unitario, se puede pensar en aumentar el tipo del sistema, es decir, se puede introducir un controlador que se corresponda con un polo en el origen (integrador). El diagrama de bloques del sistema realimentado obtenido al introducir el integrador es: R(s)

E(s)

1 𝑠

1 𝑠 2 + 0.5𝑠 + 1

C(s)

Figura 4E-11. Sistema realimentado con controlador integral.

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La función de transferencia de bucle cerrado del sistema modificado es: 𝐶(𝑠)

12 3 = 𝑠 + 0.5𝑠 + 𝑠 + 1

𝑅(𝑠) El sistema obtenido es de tercer orden y antes de calcular el error del sistema en régimen permanente se tiene que comprobar que es un sistema estable. Para comprobar la estabilidad del sistema se aplica el criterio de Routh a la ecuación característica del sistema. 𝑠 3 + 0.5𝑠2 + 𝑠 + 1 = 0 𝑠3 𝑠2 𝑠1 𝑠0

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

1 1 0.5 1 −1 1

El sistema obtenido es inestable y, por tanto, el error del sistema en régimen permanente ante cualquier entrada es infinito. A veces, es posible que al introducir una ganancia (controlador proporcional) adicional al controlador integral se logre hacer estable al sistema. El diagrama de bloques del sistema realimentado obtenido al introducir una ganancia adicional junto al integrador es: R(s)

E(s)

0.4 𝑠

1 𝑠 2 + 0.5𝑠 + 1

C(s)

Figura 4E-12. Sistema realimentado con controlador integral y proporcional.

La función de transferencia de bucle cerrado del sistema modificado es: 0.4 𝐶(𝑠) = 3 𝑅(𝑠) 𝑠 + 0.5𝑠2 + 𝑠 + 0.4

Al igual que en el caso anterior, el sistema obtenido es de tercer orden y se tiene que comprobar que es un sistema estable antes de calcular el error del sistema en régimen permanente. Se aplica, nuevamente, el criterio de Routh a la ecuación caracterí...