TEMA 4 integrare complexa partea 1 PDF

Preview

Summary

Download TEMA 4 integrare complexa partea 1 PDF

Description

INTEGRARECOMPLEXĂ(I) 1.Integrațipe  : z  1 (senstrigonometric),explicânddeceesteaplicabilăTIC: z2 a) e 2



1  4z  5

e)

f)

 

1  3z   i

c) tg z 2 

1  3  z  2i 

g)

b)

d) z  tg  z   2

1  z  cos   2 

h)

1  z  1, 2 8



2.Calculați(curbelesuntparcurseînsenstrigonometric):

cos z dz ,pentru   1 : z  1 șiapoipentru    2 : z  3 ; z

a)



b)

 z

c)



3 1 1 dz ,pentru 1 : z  i  1 ,  2 : z  i  1 ,  3 : z  ,  4 : z  i  ; 1 2 2

2

z2  4  dz ,pentru 1 : z i  2 ,  2 : z 1  2 ,  3 : z  3i  2 ,  4 : z  ; 2 z 4 2

d)   th  z  dz ,pentru  : z  

1 1  i  ; 4 2



3. Calculați folosind FIC și apoi Teorema reziduurilor (pentru fiecare exercițiu) – curbele sunt parcurse în senstrigonometric: a) I 



c) I  

z2 dz ,  : z  1  2  z2 sh  z 

dz ,  : z  1 

b) I 

e3 z  3z  i dz ,  : z  1  

d) I 



Ln  z  1 z21

dz ,  : z  2i  2 



z  3z

e) I 



7z  6 dz,  : z 1  2  2 z  2z

f) I 

e2 z  2 z2  4 z dz ,  : z  1 i  2

g) I 



Ln  z  1 dz ,  : z 1 i 1  z2  4

h) I 



i) I 



sin z dz ,  esteformatădin z  3 (senstrig.)și z  1 (sensinverstrig.) z  2i z



2

Ln  z  1 dz ,  : z  4  2  z 5

2



4.Calculați I    f ( z) dz pecurba  : z 1  i  2 (senstrigonometric): 

a) f ( z) 

sh 2 z   4 z

b) f (z ) 

cos  2 z  i  z 4   

3

c) f (z ) 



1 

e 2 z  sin z    z  6 

2



d) f (z ) 

e2 z  4z 4

5.Calculați I    f  z  dz pecurba  : z  2 (senstrigonometric): 

a) f  z  

d) f  z  

ch  3z   z5

b) f  z  

Ln  z 3   cos z

 z  1

2



e) f  z  

sin z 4

 i  z  4  n z n 1

z  a

c) f  z  



f) f  z  



e z  cos z

  z  2  z e

z  a 

n

2





 6.Calculați,folosindmetodapecareoconsiderațioptimă(șidesenațifiecarecurbă): 

a) I 

cos  z 

  z   i

dz ,  =oricecurbăcareinclude z 0  i (senstrigonometric)

2



z 4  3z 2  6

b) I 

  z  i 

c) I 

ez  (z  1)2 (z 2  4) dz ,  : z  2  i  3 (senstrigonometric)

dz ,  =oricecurbăcareinclude z 0  i (senstrigonometric)

1 2z  cos  z  dz ,  : z 1 (senstrigonometric) 2  2z  1 sin  4z  3   dz ,  esteformatădin z  5 (senstrig.)și z  3  (sensinverstrig.) 3 2   z  4

d) I 

e) I

3

f) I 





e2 z dz ,  esteformatădin z  i  3 (senstrig.)și z  1 (sensinverstrig.) 2 z z  2 i

 7.Calculați I    f  z  dz ,folosindTeoremareziduurilor,pecurbeleindicate(senstrigonometric): 

3 9z  i ,  : z   3 2 z  z 3 tg z , : z   d) f  z  2 2 z 1

sin z ,  : z  1  z4 50 z c) f  z   3 ,  : z  2  2  z  2 z2  7 z  4 sin   z  e) f  z   ,  : z  i  2  z4

b) f  z 

g) f  z  tg  z  ,  : z  1 

h) f z   tg  z  ,  : z  2 

a) f  z  

i) f  z  

1

f) f  z   e z ,  : z  1 

1 ,  : z  1  1, 4   z  sh   2

j) f  z   ctg  z  ,  : z  1 

ez ,  : z  4,5  k) f  z   cos z m) f z  

l) f  z  

ch z ,  : z 1  z  3i z

n) f  z 

2

2 

ez ,  : z  i  1,5  cos   z  tg  z  3

z

,  : z 

i  1 2

o) f  z  

1  4z  6z 2 , : z  1  2 1  z  4  2  z   

q)* f  z 

p) f  z 

30 z 2  23z  5 ,  : z  1   2 z  1 2  3z  1



ze  z  z  e z ,  estecurbadeecuație 9 x 2  y 2  9 . 4  z 16

 Indicațiișirăspunsuri: 1.Toateintegralelepecurbadatăauvaloareazero,deoarecesuntfiefuncțiianaliticepe  ,fieaupunctele desingularitate(polii)înafaracurbeideintegrare(argumentațipentrufiecarefuncțieînparte!) 

2.a) z0  0 estepolsimplușiesteîninteriorulcurbelor 1 : z  1 și  2 : z  3 ;Seobține 2 i pentru 1  și 2 i  pentru  2 ; b) z0   i  sunt poli simpli. Pentru  1 : z  i  1  avem i  Int  1  , i  Int  1   și integralaarevaloarea   ;Pentru  2 : z  i  1 avem i  Int  2  , i  Int  2  șiintegralaarevaloarea

 ; Pentru  3 : z  1  avem i  Int 3  , i  Int   3   și conform TIC, integrala are valoarea 0 ; Pentru 2

3 avem i  Int  4  , i  Int  4  șivaloareaintegraleieste  ;c) z0   2i suntpoli 2 simpli. Pentru 1 : z  i  2  avem 2i  Int  1  ,  2i  Int   1   și integrala are valoarea 4  ; Pentru

curba  4 : z  i 

 2 : z  1  2  avem  2i  Int  2  , 2i Int  2   și conform TIC, integrala are valoarea 0 ; Pentru  3 : z  3i  2 avem 2i  Int   3  , 2i  Int  3  șiintegralaarevaloarea 4  ;Pentrucurba  4 : z  avem  2i  Int  4  , 2i  Int  4  șiconformTIC,integralaarevaloarea 0 ;d) th  z   Această funcție are o infinitate de poli simpli, de forma zk   2 k 1 z z e  e   0).Polulpentru k  0 este z0 

 2

 2

sh  z 

ch  z 



 2



e z  e z . z z e  e

, k   (sunt soluțiile ecuației

 Int   iarceilalțipolisuntdinceîncemaiîndepărtațide

curbadată.ConformTIC,integralaarevaloarea 0 . 

i 2 i polsimplu, z0  Int  , I   cos1  i sin1 ; 3 3 c) z0  0 estesingularitateaparentă, z1  3 polsimplu, z1  Int    șiconformTIC I  0 ;d) z0   i sunt 3.a) z0  2 polsimplu, z0  Int    ; I  8 i ;b) z0 



   2k  , k   ; e) z0  0  și 4 

poli simpli, i  Int  , i  Int    , I   Ln i  1    ln 2  i 

 z1  2  sunt poli simpli, z0 , z1  Int   , I  14 i ; f) z0  0  și z1   2  sunt poli simpli, z 0 , z1  Int    ,

I

i

1 e  ; g) z 2 4

0

  2  sunt poli simpli, z 0 , z1  Int     și conform TIC I  0 ; h) z0  5  pol simplu,

z0  Int   ; I  2 i Ln 4  4 i ln 2 ;i) z0  0 singularitateaparentăși z1  2i polsimpludar  esteo coroanăcirculară(NUedomeniusimpluconex);se”taie”îndouădomeniiconexe(astfelîncâtpolul z1  2i  să fie într‐unul dintre domeniile conexe formate (atenție, NU se taie prin pol !). Se obține în final I  sin 2i   i sh2 .   3 

4.a) z0  0 poldeord.3, z0  Int    ; I  ; c) z0 

I

 6

8 i i   ;b) z 0  poldeord.3, z0  Int   ; I  4i  ch   3 4 4  





 pol de ordinul 2, z0  Int   ; I   i  e 3  2  3 ; d) z0  0  pol de ord. 4, z0  Int   ;

2 i . 3



5. a) z0  0  pol de ord. 5, z0  Int   ; I 

27i i ; b) z 0   pol de ord. 4, z0  Int   ; 4 4 

    ch   ; c) z0   pol simplu, z0  Int   ; I  2 i  e 2 ;  d) z0  1  pol de ord. 2, 3 2 2  1  z0  Int   ; I  2 i   sin1 ; e) z 0  a  pol de ord. n+1, z0  Int   dacă a  2  și 2  I 

i

2i, I   0,

 2 i  ea , a 2  ;f) z 0  a poldeord.n, z0  Int   dacă a  2 și I    n  1! a 2  0, 

a2

.

a 2



6. a) I  2  sh ; b)

I

 2

I   18 i ; c) I 

6 i 1 1  e ; d) I   i  cos  sin  ; e) I  0 ; f) 2 2 25 

 i  4 cos 4  i sin 4 .



7.a) I  

i 3

;b) I  0 ;c) I  16 i ;d) I  2 i  tg 1 ;e) I  

 4i 3

;f) I  2 i ;g) I   4i ;h) I  8i

2  1   ;n) I  0 ;o) I   4 i ;  ;l) I  4 i sh   ;m) I   3 2   2

;i) I  4i ;j) I  2 i ;k) I   4 i  sh 

 

2 p) I  5 i ;q)* I  i   

1 . 4 



4 ...