Potência Complexa - Fator de Potência PDF

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1 POTÊNCIA COMPLEXA 𝑺 = 𝑽𝒓𝒎𝒔 𝑰∗𝒓𝒎𝒔 𝑺 = 𝑉𝑟𝑚𝑠 ∠𝜃𝑣 𝐼𝑟𝑚𝑠 ∠𝜃𝑖 Na forma polar:

𝑺 = 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝐼𝑟𝑚𝑠 ∠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 )

Na forma retangular:

𝑺 = 𝑃 + 𝑗𝑄 𝑃 = 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝐼𝑟𝑚𝑠 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) 𝑄 = 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝐼𝑟𝑚𝑠 sin(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 )

𝑺 → potência aparente [VA] 𝑃 → potência ativa [W] 𝑄 → potência reativa [var] tan(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) = Resistor 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = 0° 𝑃>0W 𝑄 = 0 var consome P

𝑄 𝑃

Indutor 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = 90° 𝑃=0W 𝑄 > 0 var consome Q

Exemplo: Uma carga opera a 20 kW com fator de potência 0,8 atrasado. A tensão na carga é 220∠0° V (rms) a uma frequência de 60 Hz. A impedância da linha de transmissão é 0,09 + 𝑗0,03 Ω. Deseja-se conhecer a tensão e o fator de potência no gerador. Potência aparente e corrente na carga: 𝑆𝑍 = cos−1 0,8 = 36,87°

𝑃 𝑃 20000 = 25 kVA = = cos 𝜃 𝑓𝑝 0,8

𝑺𝒁 = 25000∠𝜃 = 25∠36,87° kVA

Capacitor 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = −90° 𝑃=0W 𝑄 < 0 var fornece Q

2 𝑺𝒁 = 𝑽𝒁 𝑰∗𝒁 𝑰𝒛∗ =

25000∠36,87° 220∠0°

𝑰𝒁 = 113,64∠ − 36,87° A (rms) Perdas na linha: 𝑺𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 = 𝐼𝑍2 𝒁𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 = (113,64)2 (0,09 + 𝑗0,3) = 1162,26 + 𝑗3874,21 VA Potência aparente no gerador:

𝑺𝒔 = 𝑺𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 + 𝑺𝒁

𝑺𝒔 = (1162,26 + 𝑗3874,21) + (25000∠36,87°) 𝑺𝒔 = (1162,26 + 𝑗3874,21) + (20000 + 𝑗15000) 𝑺𝒔 = 21162,26 + 𝑗18874,21 𝑺𝒔 = 28356,25∠41,73° VA Tensão no gerador: 𝑽𝑺 =

𝑺𝒔 28356,26∠41,73° = 249,53∠4,86° V (rms) = 113,64∠36,87° 𝑰∗𝒁

O gerador, a linha e a carga estão em série, então: 𝑰𝑺 = 𝑰𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 = 𝑰𝒁 Fator de potência no gerador: fp = cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) = cos(4,86° − (−36,87°)) = cos(41,73°) = 0,75 (atrasado) Note também que fp = cos(𝜃𝑆 ) = cos(41,73°) = 0,75 (atrasado)

CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA a) b) c) d)

Encontrar 𝑄1 a partir de 𝑃𝑍 , 𝜃1 e fp1 Encontrar 𝜃2 a partir do fp2 desejado Determinar 𝑄2 = 𝑃𝑍 tan 𝜃2 2 𝑄2 − 𝑄1 = 𝑄𝑐𝑎𝑝 = −𝜔𝐶𝑉𝑟𝑚𝑠

𝑆2 = 𝑆1 + 𝑆𝑐𝑎𝑝 𝑆𝑐𝑎𝑝 = 𝑗𝑄𝑐𝑎𝑝 2 𝑆𝑐𝑎𝑝 = −𝑗𝜔𝐶𝑉𝑟𝑚𝑠

➢ Note que a potência ativa na carga se mantém a mesma (𝑃𝑍 = 𝑃 1 = 𝑃2 ) ➢ Não esqueça do sinal de 𝜃1 e 𝜃2 na hora de aplicar funções trigonométricas!

3 Exemplo: Encontre o valor da capacitância a ser conectada em paralelo à carga para que o fator de potência do gerador seja 0,95 adiantado (𝑓 = 60 Hz). cos−1(0,82) = 34,92° 𝑄1 = 𝑃 tan(34,92°) = 50000 tan(34,92°) 𝑄1 = 34906,44 var (indutivo) cos−1(0,95) = −18,19° 𝑄2 = 50000 tan(−18,19°) = −16429,5 var (capacitivo) 𝑄𝑐𝑎𝑝 = 𝑄2 − 𝑄1 = −16429,5 − 34906,44 = −51335,93 var 𝐶=

51335,93 −𝑄𝑐𝑎𝑝 = = 591 μF 2 2𝜋𝑓𝑉𝑟𝑚𝑠 2𝜋60 ∙ 4802

Perceba também que: 𝑆1 =

50000 𝑃 = = 60975,61 VA fp1 0,82 cos−1(0,82) = 34,92°

𝑄1 = 𝑆1 sin 𝜃1 = 60975,61 sin 34,92° 𝑄1 = 34904,45 var 𝑆2 =

50000 𝑃 = = 52631,58 VA fp2 0,95 cos−1(0,95) = −18,19°

𝑄2 = 𝑆2 sin 𝜃2 = 52631,58 sin(−18,19°) 𝑄2 = −16430 var

Atenção! Caso o novo fp desejado fosse 0,95 atrasado: cos−1(0,82) = 34,92° 𝑄1 = 34906,44 var (indutivo) cos−1(0,95) = 18,19° 𝑄2 = 50000 tan(18,19°) = 16429,5 var (indutivo) 𝑄𝑐𝑎𝑝 = 𝑄2 − 𝑄1 = 16429,5 − 34906,44 = −18476,94 var 𝐶=

18476,94 −𝑄𝑐𝑎𝑝 = = 213 μF 2 2𝜋𝑓𝑉𝑟𝑚𝑠 2𝜋60 ∙ 4802...