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CONSTRUCCIONES AGRARIAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS

TEMA 6

CÁLCULO DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS

1. ESTRUCTURAS ARTICULADAS Las estructuras articuladas son aquellas compuestas de barras rectas unidas entre sí mediante articulaciones sin rozamiento y en las que las fuerzas están aplicadas en los nudos. En la práctica, las uniones de las barras constituyen nudos rígidos. En sistemas de barras que sean esbeltas, los esfuerzos de flexión debido a la rigidez del nudo pueden despreciarse. Cuando los ejes de las barras y las líneas de acción de todas las fuerzas exteriores (fuerzas exteriores y reacciones) son coplanarios con la estructura nos encontramos con el caso de ESTRUCTURA ARTICULADA PLANA O CELOSÍA PLANA. A las barras superiores de las cerchas se les denominan cordones superiores. Las barras de la parte inferior se llaman cordones inferiores. Las barras que unen los cordones superior e inferior forman el alma de la cercha y se conocen con el nombre de montantes y diagonales.

Las fuerzas exteriores al sistema pueden actuar en los nudos o bien sobre las barras. En el primer caso las barras solo soportan esfuerzos axiles. En el segundo caso, la pieza se encuentra además sometida a esfuerzos flectores y cortantes. El cálculo de una celosia con cargas en zonas distintas a los nudos puede realizarse repartiendo la carga en los nudos, que producirá esfuerzos axiles, y realizando un análisis simplificado (por ejemplo como viga biapoyada) de las barras con cargas intermedias, para obtener las leyes de cortantes y momentos flectores.

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1.1 TIPOLOGÍA DE LAS ESTRUCTURAS TRIANGULADAS La triangulación es una disposición especialmente interesante para elementos que han de trabajar a flexión. En una celosía de cordones paralelos, el momento flector es resistido por el par de fuerzas generados por los cordones (uno de tracción y otro de compresión), siendo por lo tanto menor el esfuerzo axil cuanto mayor es el canto de la celosía. El cortante es resistido por los montantes y diagonales. Si la celosía está sometida a cargas verticales simétricas, el axil en los cordones es máximo donde la flexión es máxima (en el centro del vano) y en las diagonales donde el cortante es máximo (en los extremos). En la figura 1 se muestran diferentes tipos de vigas y estructuras trianguladas. Dimensionadas las barras con el área adecuada puede conseguirse un máximo aprovechamiento al trabajar todas las fibras de todas las barras a la misma tensión (al ser ésta uniforme para secciones transversales constantes)

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En estas estructuras el cortante es absorbido por las vigas de la triangulación (montantes y diagonales). Para cargas de gravedad la triangulación tipo Pratt se diferencia de la Howe en que las diagonales en el primer caso están traccionadas y en el segundo caso comprimidas. Como a compresión deben ser estables frente al pandeo, son necesarios perfiles más grandes. En una viga en celosia sometida a cargas verticales y simplemente apoyada el cordón superior se encuentra comprimido y el cordón inferior traccionado. Las diagonales con inclinación hacia los apoyos están comprimidas y el resto están traccionadas. Los primeros intentos y éxitos de triangulaciones se realizaron en madera para cerchas de cubiertas a dos aguas. La forma más simple de salvar o cubrir un tramo es colocar una viga entre dos apoyos. Si la luz es importante la viga debe ser de gran canto aumentando desproporcionadamente sus dimensiones.

Un siguiente paso (figura 2.a) sería colocar una viga acodada. La flexión es menor aunque se encuentran las dos vigas comprimidas y producen empujes horizontales importantes en los elementos que apoyan.

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El empuje puede reducirse (figura 2.b) colocando un "tirante" que una la base de las dos vigas. Al trabajar éste a tracción no es necesaria mucha sección. Si la luz es importante, la flexión será también importante, perdiendo eficacia.

La flexión del tirante (figura 2.c) se evita "sosteniendo" el tirante desde la cumbrera mediante una barra o pendolón. Además la flexión en los pares puede reducirse más si se apoyan éstos en un punto intermedio mediante un par de codos o tornapuntas (que resultan comprimidos) y que se unen en el pendolón y lo traccionan (figura 2.d). El pendolón puede desdoblarse en dos barras que estarán traccionadas, constituyendo por fin una cercha propiamente dicha (Figura 2.e).

2. CALCULO DE ESFUERZOS Se pretende determinar los esfuerzos en las barras, suponiendo conocidas todas las fuerzas en los nudos, incluyendo las reacciones en los apoyos. En sistemas isostáticos, el cálculo de las reacciones, se realiza analíticamente (aplicando los principios de la estática) o gráficamente (polígono funicular) 2.1 MÉTODO DE LOS NUDOS Consiste en realizar el equilibrio de fuerzas en cada nudo proyectando los esfuerzos axiles y fuerzas sobre unos ejes globales. Así, en la figura 3 se han representado las acciones que sobre la barra i-j actúan y son transmitidas a través de las articulaciones extremas. El esfuerzo es un axil Nij y las cargas que actúan en los nudos Q. La barra queda determinada por las coordenadas de sus nudos extremos referidos a unos ejes globales, así como los ángulos respecto a esos ejes.

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Estableciendo el equilibrio de los nudos en la geometría de la estructura no deformada se obtienen las siguientes ecuaciones:

Lo cual equivale a un sistema de 2n ecuaciones, siendo n el número de nudos de la estructura. El número de ecuaciones independientes son 2n-3 si se conocen de antemano las reacciones.

2.2 MÉTODO GRÁFICO DE CREMONA Es la representación gráfica del método de los nudos. Para ello, conocidas las reacciones, se pueden calcular los esfuerzos a partir de un nudo en el que confluyan únicamente dos barras, de forma que solo existen dos esfuerzos desconocidos. Estos pueden obtenerse por simple descomposición, según sus direcciones, de la resultante de las fuerzas que actúan sobre el nudo. Para una aplicación ordenada del método, una vez numerados los nudos, se busca uno en el que solo concurran dos barras. Dibujadas todas las fuerzas según el polígono de fuerzas ordenadamente (según el sentido de encuentro) quedan dos direcciones cuyo punto de corte definirá la magnitud y el sentido de los axiles desconocidos. Se repite el proceso para los demás nudos sobre el mismo dibujo, debiéndose cerrar en el último polígono cuyos esfuerzos ya son todos conocidos. En cada equilibrio, los esfuerzos que tenían un sentido en un nudo, tienen sentido contrario en el otro (por acción-reacción). Las barras comprimidas son aquellas cuyo sentido se dirige al nudo, y conviene representarlas con otro trazo, respecto a las traccionadas cuyo sentido es hacia afuera.

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2.3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 

Determinar analítica y gráficamente los esfuerzos de la estructura articulada de la figura.

1) Cálculo de las reacciones en los apoyos Para que la estructura esté en equilibrio estático se debe cumplir que la resultante de todas las fuerzas sea nula, y que la resultante del momento de todas las fuerzas respecto de un punto de la estructura sea nulo. Como las únicas acciones existentes son fuerzas verticales debe cumplirse que:

Fy = 1 + 3 + 4 + 8 = RA + RB Calculando momentos respecto a A:

MA = 0; (4 x 4) + (8 x 4) = RB x 12 de donde:

RA = RB = 4Tm 2) Cálculo de los esfuerzos en las barras El equilibrio en los nudos se verifica si:

FX = 0

Fy = 0

El cálculo se realiza de forma secuencial, nudo a nudo, empezando por un nudo donde el número máximo de incógnitas sea 2. Es conveniente comenzar por los nudos extremos. El ángulo que forma el cordón superior con el inferior es: a = arctg 3/4 = 36.87°

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Indicaremos con una T mayúscula los esfuerzos de tracción y con una C los de compresión.

Nudo 1:

Nudo 3:

Nudo 2:

Nudo 5: Nudo 6:

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Numeración barras 1-2 1-3 2-3 2-4 2-5 3-5 4-5 5-6 4-6

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ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS Cuadro resumen de esfuerzos Magnitud (Tm) 6.67 5.33 3 5.33 0 5.33 4 5.33 6.67

Sentido (T/C) C T T C T T T C

Calcular gráficamente mediante en método de cremona los esfuerzos resultantes de la estructura de la figura sometida a las cargas verticales en los nudos que se indican:

Como la estructura está cargada y geométricamente es simétrica las reacciones en los apoyos serán iguales.

RA = RB = 4 Tm. Partiendo del extremo A se ha dibujado el correspondiente diagrama de Cremona. Para la determinación de esfuerzos hay que tener en cuenta que las diagonales forman un ángulo con el cordón inferior y los tirantes de 45°. Una vez dibujado el diagrama (conviene hacerlo en papel milimetrado) se determinan las magnitudes de los esfuerzos en cada barra con la ayuda de una regla o escalimetro graduado. Numeración barras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Cuadro resumen de esfuerzos Magnitud (Tm) 5.66 4 5.66 8 1.41 9 1.41 10 1.41 9 1.41 8 5.66 4 5+66

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Sentido (T/C) C T T C C T T C T T C C T T C

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Dimensionar la estructura triangulada de la figura, sabiendo que los perfiles son de sección cuadrada o rectangular (Tabla C-13) de madera. La flecha máxima en las piezas sometidas a flexión debe ser inferior a L/300.

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1) Cálculo de las reacciones en los apoyos Como todas las cargas son verticales y simétricas las reacciones en los apoyos son:

El ángulo que forma la barra 1-2 y 2-4 con la horizontal es:

2) Cálculo de los esfuerzos en las barras La carga concentrada de proyección vertical se reparte de la siguiente manera en los nudos:

El cálculo de los esfuerzos se efectúa por el método de los nudos. Como la estructura está cargada simétricamente, solo será necesario determinar los esfuerzos en las barras 1-2, 2-3, 2-4 y 3-4. Los esfuerzos en las barras 3-5, 4-6 y 4-5 se obtienen por simetría.

Nudo 1:

Nudo 2:

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Sumando las dos ecuaciones anteriores y despejando:

Nudo 3: Como la estructura es simétrica se debe cumplir que N35 = N23

Para el resto de las barras se debe cumplir la condición de simetría:

3) Dimensionado de

las barras

 Barras 1-4 y 4-6 Como estas barras están sometidas únicamente a esfuerzos de tracción, la mínima dimensión de la barra será:

De la tabla C-13 adoptamos una viga de 7.5 x 17.5cm que tiene una sección transversal S = 131.2 cm2, superior a la mínima admisible.  Barra 3-4 De igual forma y en función del esfuerzo de tracción en la barra y la tensión admisible del material:

De la tabla C-13 adoptamos un perfil de 5 x 12.5cm (S = 62.5cm2)

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 Barras 2-4 y 4-5 Ambas están sometidas a esfuerzos de compresión. No se efectúa la comprobación a pandeo, por simplificación de cálculos. Mayoraremos la sección mínima de forma que la pieza no sea muy esbelta.

De la tabla C-13 adoptamos un perfil de 5 x 10 (S = 50 cm2)  Barras 1-2 y 5-6 En este caso las barras están solicitadas a flexión compuesta (esfuerzo axil + flexión simple). Para el cálculo de los esfuerzos en las barras se concentraron las fuerzas exteriores en los nudos. Ahora es necesario analizar los esfuerzos máximos en la pieza sometida a compresión y a flexión. En realidad sería necesario analizar la viga formada por las barras 2-3 y 1-2 apoyada en los extremos (nudos 1 y 3) y con un apoyo en el punto medio (nudo 2). Esta viga es hiperestática, es decir, el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones, no pudiéndose resolverse mediante las ecuaciones de la estática.

Simplificando y estando del lado de la seguridad, aceptamos que la barra 2-3 (figura 9) es una viga simple apoyada en los extremos y con carga uniformemente repartida.

La longitud del cordón superior entre los nudos 1 y 2 es:

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El momento, máximo (tabla C-12) es:

La comprobación de piezas de sección rectangular sometidas a flexión compuesta se verifica mediante la ecuación:

En donde las incógnitas son dos: la anchura a y el canto b de la viga. En una primera aproximación calcularemos el momento resistente mínimo si la pieza estuviera sometida a flexión simple. El momento resistente mínimo será:

De la tabla C-13 elegimos aquel que tiene un momento resistente W mayor y comprobamos a flexión compuesta:

Luego el perfil adoptado es admisible. Ahora es necesario comprobar que la deformación es compatible con el uso de la estructura: 

Flecha admisible:



Flecha máxima (tabla C-12): Para el perfil 15 x 30 (I = 35000 cm4)



Barras 1-2 y 5-6

Como la solicitación a flexión en los tramos 2-3 y 3-5 es igual a la del tramo 1-2, por condiciones constructivas y por restricción de flecha máxima, se adopta para estas barras la misma sección que para las barra 1-2.

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

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Dimensionado de la barra 1-2-3 como viga continua:

Del prontuario de ENSIDESA se obtiene el momento flector máximo para una viga con carga uniformemente repartida y con dos vanos iguales, se produce en el apoyo intermedio y su magnitud es:

Nmax = - 0.125 P · L que es la misma pero de signo contrario que para el caso de suponer la viga biapoyada, luego aceptamos como definitivas las dimensiones anteriores, esto es (15 x 30), ya que se ha supuesto igual resistencia a tracción que a compresión.

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