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Guía para el cálculo de estructuras...

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Apuntes de Cálculo de Estructuras

Grado en Ingeniería Civil Escuela Politécnica de Mieres

ÍNDICE APUNTES DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS ........................................................................................................... 1 ÍNDICE................................................................................................................................................................. 3 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL ................................................................................ 5 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL....................................................................................................................... 5 EJEMPLOS. DIAGRAMAS DE ESFUERZOS INTERNOS Y GRADO DE HIPERESTATICIDAD................................................................. 19 CAPÍTULO 2. CELOSÍAS ISOSTÁTICAS ................................................................................................................. 39 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS DE NUDOS ARTICULADOS........................................................................................................ 39 EJEMPLOS. ESFUERZOS EN CELOSÍAS ISOSTÁTICAS PLANAS................................................................................................. 53 CAPÍTULO 3. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES (PTV) ............................................................................ 63 APLICACIÓN DEL PTV AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL ............................................................................................................. 63 CAPÍTULO 4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS MEDIANTE PFV .......................... 75 MÉTODO DE LAS FUERZAS........................................................................................................................................... 75 TABLA DE INTEGRALES DE MOHR (PRODUCTO DE DIAGRAMAS) ......................................................................... 96 EJEMPLOS. S ISTEMAS BASE Y APLICACIÓN DELM. DE LAS F UERZAS...................................................................................... 97 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE CÁLCULO MATRICIAL ............................................................................................. 123 GENERALIDADES DEL MÉTODO MATRICIAL.................................................................................................................... 123 TABLAS DE ESFUERZOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO .................................................................................. 149 MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTALES ................................................................................................................ 149 EJEMPLOS. MÉTODO DE CÁLCULO MATRICIAL ............................................................................................................... 151 CAPÍTULO 6. FUNDAMENTOS DEL M.E.F. ........................................................................................................ 183 EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS F INITOS EN BARRAS CON NORMALES ............................................................................... 183 EJEMPLOS. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS............................................................................................................... 193

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Capítulo 1. Fundamentos del Análisis Estructural Introducción al análisis estructural 1.1 Estructura: es un elemento o un conjunto de elementos unidos diseñado para cumplir una función y ser capaz de resistir unas determinadas acciones exteriores.

1.2 El objeto del análisis estructural: es definir el modelo estructural más adecuado y calcular la estructura que cumpla su función de la forma más satisfactoria. Es decir, obteniendo la resistencia adecuada con el menor coste posible.

Las etapas del proyecto estructural: ETAPA Diseño

Cálculo Representación Condiciones constructivas Construcción y montaje

Trabajo del ingeniero Esquemas estructurales previos, selección de material, cargas Obtención de esfuerzos internos, deformaciones… Dibujo Fijar los requisitos específicos de la fase de ejecución Dirección de obra

Documento/s resultante Anteproyecto, memoria

Memoria de cálculo Planos Pliego de Condiciones Presupuesto

y

La asignatura se centra en parte de la etapa de diseño y parte de la de cálculo La etapa de diseño y cálculo estructural:

A la modelización y predimensionado (tomar unas primeras dimensiones de los elementos como punto de partida) sigue un análisis de las cargas y un cálculo de esfuerzos, desplazamientos, tensiones y deformaciones. Con los resultados de esto se comprueba que cumpla con los estados límite: E.L. Último (comprueba la resistencia de los elementos de la estructura) 5

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E.L. de Servicio (comprueba que las deformaciones sean aceptables) En el caso de que no se cumplieran las comprobaciones habría que redefinir la estructura y repetir el cálculo. De cumplirse, se completaría el diseño final de detalles (uniones, etc). Estas comprobaciones no son objeto de la asignatura, sólo la obtención de los esfuerzos y desplazamientos. Las comprobaciones de las secciones se tratan en las asignaturas de Resistencia de Materiales, en Estructuras Metálicas o en Estructuras de Hormigón.

¿Qué debe definirse para realizar el análisis estructural? Los materiales: acero (S275, S355…) hormigón (HA-25, HA-35…) madera (C20, D50…) Tipos estructurales: pórticos planos, estructura espacial, celosía, cubierta autoportante… En la asignatura se analizan estructuras planas.

Tipos de elementos: losas, barras… Tipos de nudos: rígidos, articulados, semirrígidos… En general no se tratará en la asignatura con nudos semirrígidos (excepto apoyos)

Condiciones de apoyo: articulado fijo, articulado móvil, empotramiento, empotramiento móvil, apoyos elásticos… Solicitaciones externas: fuerzas distribuidas, fuerzas puntuales, momentos puntuales, cargas térmicas uniformes, gradientes térmicos. Tipos de cálculo: estático, dinámico (para sismos o maquinaria)… En la asignatura se realiza un cálculo estático de primer orden.

Procedimiento de cálculo: Método de las Fuerzas, Método de los Ángulos de Giro, Método Matricial, Cross, Elementos Finitos, Métodos Gráficos… Fuerzas, Ángulos de Giro y Matricial son los de la asignatura.

Estructuras según su función estructural Edificios de viviendas, oficinas y naves industriales: suelen seguir una estructura porticada de vigas y pilares, en algunos casos utilizando celosías. En edificios en España suele tenderse al hormigón y en naves al acero.

Equipos industriales, grúas y depósitos: se usan muchas estructuras en celosía de acero.

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Pasarelas, puentes y losas: son estructuras de acero, hormigón o mixtas. En general la losa es de hormigón.

Tipos de nudos Nudo rígido: conserva el ángulo siempre. El nudo puede girar y las barras deformarse, pero esas barras siempre saldrán formando el mismo ángulo del nudo. Ocurre lo mismo con el empotramiento de las barras.

Son los nudos típicos en los denominados pórticos rígidos de acero y en las estructuras de hormigón armado para edificación. 7

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Nudo articulado: permite el giro como una rótula. Las barras que de él salen pueden cambiar su ángulo después de aplicadas las cargas. No transmiten momentos flectores.

Son los nudos típicos en celosías. A pesar de que no se ejecute una articulación efectiva en la celosía (una rótula, una articulación con un bulón o similar), en la práctica puede considerarse nudo articulado siempre que los ejes de las barras se crucen en un punto (o muy cerca) y además las cargas recaigan principalmente sobre los nudos de la celosía.

Tipos de elementos Elementos unidimensionales: barras. Elementos bidimensionales: membranas, placas, láminas y lajas (se diferencian en los esfuerzos que soportan) Elementos tridimensionales

Esfuerzos en las barras Son las fuerzas internas en una determinada sección de la barra. Esfuerzo normal de tracción o compresión: provocado por las fuerzas externas que siguen la dirección del eje de la barra. Se toman todas esas fuerzas (incluidas las reacciones) a un lado de la sección y ese será el esfuerzo normal. Se toma el signo negativo para compresión. (Fig. a) Momento flector: provocado por los momentos puntuales y las cargas cuya línea de acción está separada una cierta distancia de la sección, pero en el mismo plano que la barra. Se toman todos los momentos puntuales a un lado de la sección (incluidos los momentos en los empotramientos) y se les suman o restan los momentos (fuerza x distancia) causados por el resto de fuerzas (incluidas reacciones) que están a ese mismo lado de la sección. Ese será el momento flector. (Fig. b) Esfuerzo cortante: provocado por las fuerzas externas perpendiculares al eje de la barra. Se toman todas esas fuerzas (incluidas las reacciones) a un lado de la sección y ese será el esfuerzo cortante. (Fig. b) Momento torsor: provocado por los momentos torsores puntuales y las cargas cuya línea de acción está separada una cierta distancia de la sección, pero en el plano perpendicular a la barra. Se toman todos los momentos torsores puntuales a un lado de la sección (incluidos los momentos en los empotramientos) y se les suman o restan los momentos (fuerza x distancia) causados por el resto de fuerzas (incluidas reacciones) que están a ese mismo lado de la sección. Ese será el momento torsor. (Fig. c) En general, al tratar con estructuras planas, no se trabaja con torsores. 8

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En general, las barras de una estructura pueden tener todos esos esfuerzos (normales, flectores, cortantes y torsores). Sin embargo, en el caso de las barras biarticuladas sin cargas que puedan crear momento o cortante en su longitud sólo tendrán la posibilidad de soportar axiles (tracción o compresión).

Los tirantes equivalen a esas barras biarticuladas, pero son incapaces de soportar compresiones. Sólo soportan axiles positivos (de tracción). Estos tirantes pueden ser cables o simplemente barras delgadas y largas (que pandearían con la mínima compresión). En el caso de que en un análisis inicial el tirante resultase comprimido habría que repetirlo eliminando el elemento.

Esfuerzos en las membranas Las membranas soportan tracciones y tensiones tangenciales cuando se les aplican cargas perpendiculares a la superficie (tipo presiones en tolvas o depósitos).

Esfuerzos en las placas Las placas soportan momentos y cortantes cuando se les aplican cargas perpendiculares a la superficie. En este caso un ejemplo claro sería una losa apoyada sobre su contorno.

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Esfuerzos en las láminas Las láminas son elementos bidimensionales que soportan a la vez los mismos esfuerzos mencionados para las membranas y las placas: tracciones, tensiones tangenciales, cortantes y momentos. En la imagen se presentan zonas locales en en tolvas o depósitos que no tienen cargas perpendiculares a la superficie. Esas zonas trabajan en régimen de lámina.

Esfuerzos en las lajas Las lajas soportan cargas de tracción o compresión aplicadas en el espesor de las mismas. Es decir, la carga está en el plano de la laja.

Esfuerzos en elementos tridimensionales Este tipo de elementos pueden soportar todo tipo de esfuerzos en cualquier dirección del espacio, sin embargo en algunos casos pueden simplificarse para hacer un estudio plano. Un ejemplo típico es el de elementos con una dimensión predominante y cargas perpendiculares a su sección transversal (muros de presas).

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Cargas externas: acciones Cargas de superficie y de volumen: de superficie será la sobrecarga de uso, el viento, la nieve, etc., mientras que de volumen, en general es el peso propio. Sin embargo, al trabajar con barras, estas cargas hay que convertirlas en cargas lineales o puntuales. Cargas permanentes y variables: las cargas permanentes son las correspondientes al peso propio de la estructura y todos los pesos que soporta siempre (solado, alicatado). Las cargas variables se corresponden con la sobrecarga debida al uso que se de a la estructura, el viento y la nieve… Obsérvese en la figura que el peso propio y la nieve son verticales y hacia abajo (gravitatorias), mientras que el viento es perpendicular a la superficie sobre la que actúa. En general se hace esta diferenciación de cargas permanentes y variables para aplicarles unos coeficientes de mayoración diferentes a unas y a otras en las combinaciones de cargas que pueda haber.

Cargas estáticas y dinámicas: en general, sólo se suelen considerar como cargas dinámicas en una estructura típica las correspondientes a un posible terremoto o las propias de la maquinaria si estamos hablando de una estructura que soporte grandes elementos móviles. En la asignatura sólo se tratará el cálculo estático.

Cargas puntuales y cargas distribuidas: Las puntuales son fuerzas (N, kN…) mientras que las distribuidas en vigas pueden son fuerzas repartidas por cada unidad de longitud del elemento (N/m, 2 2 kN/m…). En elementos bidimensionales sería por unidad de superficie (N/m , kN/m ). En general las cargas puntuales se expresan con letra mayúsculas (F, P…) y las distribuidas con minúsculas (q, w…) 11

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Cargas térmicas: pueden ser un incremento o descenso de temperatura uniforme en todo el elemento o gradientes (diferente temperatura en las diferentes caras del elemento). Sólo tienen efecto en sistemas hiperestáticos (ver apartado 1.17). Se tratarán más en profundidad en el capítulo 4 de la asignatura. Desplazamientos impuestos: sólo tienen efecto en sistemas hiperestáticos (ver apartado 1.17). En estructuras reales se corresponden normalmente con los típicos asientos (o asentamientos) o hundimientos del terreno. Se tratarán más en profundidad en el capítulo 4 de la asignatura. Defectos de montaje: sólo tienen efecto en sistemas hiperestáticos (ver apartado 1.17). Se producen cuando las dimensiones de un elemento no encajan en la estructura, cuando es demasiado largo o demasiado corto. Se tratarán más en profundidad en el capítulo 4 de la asignatura. En un sistema estático, a todas las acciones exteriores deben oponersele unas reacciones en los apoyos de la estructura, de modo que las acciones y reacciones estén en equilibrio.

Clasificación de apoyos Apoyos en 3D: al trabajar habitualmente con estructuras planas para hacer más sencillo su estudio, normalmente no se utilizarán en la asignatura. Una sección en tres dimensiones presenta 6 grados de libertad (g.d.l.) que son 6 posibilidades de movimiento. 3 traslaciones: u, v y w según los ejes x, y, z respectivamente. 3 rotaciones: x, y, z, alrededor de los ejes x, y, z respectivamente. Los apoyos lo que hacen es restringir grados de libertad, es decir, eliminan posibilidades de movimiento en la sección (nudo o punto de la barra) en la que se aplican. Por cada restricción en un grado de libertad aparece una reacción que puede ser en forma de fuerza (R x, Ry, R z) si lo que se restringe es una traslación o de momento (M x, My , Mz), si lo que se restringe es una rotación. Un empotramiento en 3D: restringe los 6 grados de libertad, por tanto tendremos 6 reacciones (3 fuerzas y 3 momentos Rx , Ry, R z, Mx , My, Mz ) en el caso general. Una articulación en 3D: restringe sólo las 3 traslaciones, por tanto sólo habrá 3 reacciones (3 fuerzas R x, Ry, Rz )

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En el esquema aparecen representados los momentos por el vector que los representa según la regla de la mano derecha. En estructuras planas en 2D, que son las que se tratarán en la asignatura,no será necesaria esta representación ya que normalmente se dibujan como flechas curvas en el sentido del momento.

Apoyos en 2D: serán los que se utilizarán normalmente en la asignatura. Una sección en dos dimensiones presenta 3 grados de libertad (g.d.l.) que son 3 posibilidades de movimiento. 2 traslaciones: u, v según los ejes x, y respectivamente 1 rotación: z alrededor del eje z. Por cada restricción en un grado de libertad aparece una reacción que puede ser en forma de fuerza (Rx , Ry ) si lo que se restringe es una traslación o de momento (M z), si lo que se restringe es una rotación. Este momento suele llamarse momento de empotramiento. Un apoyo articulado fijo: restringe las traslaciones, por tanto tendremos 2 reacciones (Rx, Ry). Un apoyo articulado móvil: restringe sólo una traslación, por tanto tendremos 1 reacción (Rx o Ry, la que tenga restringido el movimiento). Un empotramiento: restringe los 3 grados de libertad, por tanto tendremos 3 reacciones (2 fuerzas y 1 momentos Rx, Ry , Mz). Un empotramiento móvil: restringe 1 grado de libertad de traslación y el de rotación, por tanto tendremos 2 reacciones (1 fuerza Rx o Ry y 1 momento Mz).

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Apoyo articulado fijo

Apoyo articulado móvil

Empotramiento

CASOS REALES DE APOYOS EN ESTRUCTURAS DE ACERO

Apoyo articulado fijo

Apoyo articulado móvil

Empotramiento

CASOS REALES DE APOYOS EN ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN

Apoyos elásticos: se representan como muelles lineales (con rigidez respecto a desplazamientos lineales, ) y muelles torsionales (con rigidez respecto a giros, θ). Las reacciones, R para los lineales y M para los torsionales, son proporcionales a estos desplazamientos y giros en función de su rigidez (constante elástica, k = Sm ).

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Los apoyos elásticos pueden añadirse a cualquier posibilidad de movimiento libre de un apoyo del apartado anterior (excepto a los empotramientos fijos, que no tienen) y, simplemente, significarían una reacción en el grado de libertad al que se añade. Este tipo de apoyos puede representar en la realidad empotramientos semirrígidos o apoyos en cimentaciones elásticas.

Grado de hiperestaticidad El grado de hiperestaticidad de una estructura relaciona el número de ecuaciones de la estática de que disponemos con el número de incógnitas del sistema. Si se tienen demasiadas incógnitas como para obtener las reacciones y los esfuerzos (Axiles, Momentos y Cortantes) mediante un equilibrio estático simple, entonces estaremos hablando de una estructura hiperestática. Tipos: Hiperestaticidad externa: exceso de restricciones en apoyos. Las ecuaciones de equilibrio estático no son suficientes para obtener las reacciones en los apoyos.

Hiperestaticidad interna: exceso de barras. Se puede dar incluso cuando se pueden obtener las reacciones las reacciones cuando no podemos calcular directamente los esfuerzos en las barras.

Grado de hiperestaticidad en estructuras planas de nudos rígidos Grado de hiperestaticidad exterior: compara el número de reacciones en los apoyos con las ecuaciones de la estática de que se dispone para obtenerlas (equilibrio de fuerzas según x, equilibrio de fuerzas según y, equilibrio de momentos respecto a un punto) Por tanto: GHext=nº de Reacciones -3=R-3 Grado de hiperestaticidad interior: los contornos cerrados aumentan el grado de hiperestaticidad interior en 3 cada uno, al incluir 3 incógnitas para la barra que cierra el contorno (momento M, cortante V y axil N). Sin embargo, las rótulas se usan para reducir la hiperestaticidad interior, ya que cada articulación añadida reduce la hiperestaticidad en un valor igual al número de barras que llegan a 15

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la articulación menos uno. Esto es porque las rótulas sirven para añadir ecuaciones a las del equilibrio estático, dado que el momento flector en una rótula tiene que ser cero (Mrot=0). Por tanto: GHint =3·nº de Contornos Cerrados- (Barras que llegan a la Articulación-1)= =3CC- (B...