Tema 7- identidad de Roy y lema de Shepard PDF

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TEMA 7 IDENTIDAD DE ROY Y LEMA DE SHEPARD 7.1. PLANTEAMIENTO DE LA IDENTIDAD DE ROY La identidad de Roy muestra que se pueden deducir las funciones de demanda ordinaria a partir de la función de demandad indirecta. Primero se obtiene esta función de utilidad indirecta que se define como una función que depende de los precios normalizados, v1, v2. Por precio normalizado se entiende el cociente entre cada precio y la renta Ap. 1

En el proceso de obtención de la identidad de Roy se emplean primero dos bienes y luego se generalizan los resultados para n bienes. El tema contiene tres partes: 1. Se obtiene la función de utilidad indirecta. 2. Se alcanza la identidad de Roy. 3. Se establece el teorema de dualidad en el consumo. 7.2 OBTENCIÓN DE LA UTILIDAD INDIRECTA. Se aplica el siguiente procedimiento: 1. Se redefine la restricción presupuestaria por medio d ellos precios normalizados, v1 y v2. 2. Se maximiza la utilidad directa sujeto a restricción presupuestaria sujeto a precios normalizados. 3. En el sistema de ecuaciones obtenido se obtienen las funciones de demanda. 4. Se define la función de utilidad indirecta. 1. Redefinición de la restricción presupuestaria. Ap. 2

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2. Ap. 3

3. Se resuelve el sistema anterior que está formado por las condiciones de primer orden de maximización de la utilidad y se obtiene las funciones de demanda ordinaria que relacionan la cantidad del bien con los precios normalizados. Ap. 4

4. Se define finalmente la función de utilidad indirecta por medio de las funciones de demanda obtenidas en el apartado anterior. Ap. 5

7.3 OBTENCIÓN DE LA IDENTIDAD DE ROY Los pasos que hay que dar para obtener la identidad de Roy son los siguientes: 1. En la restricción presupuestaria se deriva respecto de v1. 2. En la función de utilidad indirecta se obtiene la utilidad marginal indirecta. 3. Los pasos anteriores, 1 y 2, permiten formular la identidad de Roy.

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4. Se dispone d e forma más operativa la identidad de Roy. 1. Ap.6

2. Ap.7

3. Se unen los dos pasos anteriores para formular la identidad de Roy. La identidad de Roy indica que las demandas optimas de los bienes qj se obtiene a partir de la utilidad marginal indirecta gj dividiéndola por landa que es multiplicador de Lagrange o utilidad marginal de la renta.

Ap.8

4. Se dispone de forma más operativa la identidad de Roy. Para evitar la utilización de landa se multiplica la expresión de la identidad de Roy, para ello se utiliza la restricción presupuestaria con precios normalizados y donde aparece las cantidades de bienes se incluyen los resultados de la propia identidad de Roy, se despeja landa y se introduce en la identidad de Roy. 3

Ap.9

Dada la función de utilidad indirecta ap.10 hallar la función de demanda ordinaria para q1, por identidad de Roy. Ap. 11

7.4 FORMULACIÓN DEL TEOREMA DE DUALIDAD EN EL CONSUMO Se trata ahora de tomar como punto de partida la utilidad indirecta para obtener la utilidad directa, esto complementa al procedimiento anterior que permitía obtener la utilidad indirecta a partir de la directa y con todo ello se formula el teorema de dualidad en el consumo. El procedimiento para aplicar es el siguiente: 1. Mediante Lagrange se maximiza la utilidad indirecta sujeta a restricción presupuestaria. 2. Se obtienen las funciones inversas de demanda, con precios normalizados en función de cantidades. 3. Se aplican estas funciones a la utilidad indirecta para obtener la utilidad directa.

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Ap.12

Este resultado garantiza que los análisis teóricos se puedan llevar a cabo en términos de utilidad directa o de utilidad indirecta.

7.5 FUNCIÓN DE GASTO MÍNIMO Hay que determinar cual es el gasto mínimo necesario para obtener un nivel dado de utilidad, para ello hay que basarse en la función de demanda compensada que precisamente se obtenía mediante minimización de gasto en relación con una utilidad dada, entonces aplicamos el procedimiento siguiente: 1. Se utilizan las condiciones de primer orden de minimización condicionada del gasto. 2. Como solución del sistema de ecuaciones anterior se obtienen las funciones de demanda compensada. 3. Se obtiene la función de gasto mínimo. Ap.13

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7.6 LA RELACIÓN ENTRE LOS CAMBIOS EN EL GASTO Y LOS CAMBIOS EN EL PRECIO En la expresión anterior de gasto, lo que hay que hacer es hallar la derivada en relación con el precio. Ap.14

7.7 LEMA DE SHEPARD En la expresión anterior que el último sumando se hace 0 porque suponemos que es pequeña la variación en las cantidades de todos los bienes provocada por un solo precio y esto conduce directamente a la formulación del lema de Shepard cuya expresión es la siguiente: Ap.15

Donde se dice que la j-ésima demanda compensadas se obtiene de la variación del gasto mínimo necesario para obtener una utilidad dada respecto de la variación del jésimo precio. -fin de tema-----------------

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EJERCICIOS. Relaciones entre conceptos en teoría del consumidor Ap.16

1. Dadas las siguientes funciones de demanda ordinaria, hallar la función de utilidad indirecta. Ap.17

2. A partir de la demanda compensada hallar la función de gasto mínimo. Ap.18

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3. A partir de la función de utilidad indirecta se obtiene la función de demanda ordinaria, se aplica la identidad de Roy. Ap.19

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