TEMA1 - Apuntes 1 PDF

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Diapositivas de Álgebra lineal Bibliografía - Barbolla, R y Sanz, P. (1998) Álgebra lineal y Teoría de matrices. Prentice-Hall. - Lipschutz, S (1991) Álgebra lineal. SCHAUM. Mc Graw-Hill. - Sanz, P y Vázquez, F. J. (2013). Álgebra lineal: 450 cuesiones y problemas resueltos. Ed. Garceta. Diapositiva...

Description

Diapositivas de Álgebra lineal Bibliografía - Barbolla, R y Sanz, P. (1998) Álgebra lineal y Teoría de matrices. Prentice-Hall. - Lipschutz, S (1991) Álgebra lineal. SCHAUM. Mc Graw-Hill. - Sanz, P y Vázquez, F. J. (2013). Álgebra lineal: 450 cuesiones y problemas resueltos. Ed. Garceta.

Diapositivas del Tema 1: Matrices y determinantes

 

Matrices y operaciones con matrices Operaciones elementales y algoritmo de Gauss.



Determinantes



Rango de una matriz



Tipos de matrices

Matrices y operaciones con matrices

F

De manera informal una matriz como una tabla ordenada de números. Representamos una matriz de dimensión n m; por:

De…niciones:

A

0 B B =B @



a11

a12

a21

a22

 

. . .

. . .

an1

..

con n Filas ( elementos dispuesto en horizotal) y Notaciones:

m

a2m

. . .

.



an2

1 C C C A2

a1m

Mn



m

anm

Columnas (elementos dispuestos en vertical).

La matriz anterior la expresamos de forma resumida como: A

Por

Mn



m

i=1;:::;n = (ai;j ) j =1;:::;m

denotamos el conjunto de matrices con

n

…las y

m

columnas.

Operaciones con matrices. Suma de matrices

Sean

A

y

B

2

Mn



m;

es decir matrices de la misma dimensión. La suma de

elementos que se encuentran en la misma …la y columna de las dos matrices Así, si

A

i=1;:::;n = (ai;j )j =1;:::;m y

B

A

y

i=1;:::;n = (bi;j ) j =1;:::;m

MATRICES DE LA MISMA DIMENSIÓN Entonces A

F Ejemplo: A

=

+ B = (ai;j + bi;j )

1

0

3

5

3

2

 B

=

=1;:::;n =1;:::;m

i

j

4 1

2

3

2  1



B.

A

+

B

se obtiene sumando los

+B

A

= =

 1+4

0+2

 55 +21 6



3+( 6

1



3+3

2)

2+(

1)

1

Producto por escalares.

Si

A

= (ai;j )

=1;:::;n =1;:::;m y

i

j



2R

entonces de…nimos:

A

F

entonces 3A 3A =

 31 

3 5

=

1

0

3

5

3

2

 33

 

 32

3 0



3 3

=

3

0

9

15

9

6



Propiedades.

Sean

2M 

A, B

y

C

1. A

+B =

B

+ A (propiedad conmutativa).

2. A

+ (B + C ) = (A + B ) + C (propiedad asociativa)

3. A

+ 0n  m = 0n  m + A =

4. A

 A = 0n  m

5. (A 6.

=1;:::;n =1;:::;m

i

j

Dada la matriz

Ejemplo:

A

F

= (ai;j )

+ B) =

( +  )A =

7. ( A)

=

n

m

y



A

y



números reales cualesquiera:

(existencia de elemento neutro)

(existencia de opuesto)

A A

+ B ( distributiva para la suma de matrices) +  A (distributiva para la suma de escalares)

 (A)

8.

1(A) =

9.

0(A) = 0nm :

A

Producto de matrices.

Consideremos

A

una matriz

que …las tiene B .

La matriz producto

A

n

 m y B una matriz m  l.

La matriz

 B se de…ne como una matriz que tiene n …las y l columnas cuyos elementos son: (AB)ij =

ai1 b1j

+ ai2 b2j +

es decir, el elemento de la matriz producto que esta en posición la columna

F

j

de

A tiene el mismo número de columnas

 + a

im bmj

i; j

es el resultado de multiplicar la …la

B.

Ejemplo:

Consideremos las matrices

A=

1

 3

0 5 3 2

01 B=@ 2

2 1 1 0

1 A

i

de

A

por

la matriz

A

 B es una matriz 2  2 A

F El F

B =



   5  1 + 3  2 + 2  1 = 13

Observación: producto

A

=

4

3

2

1



F

B

B =

Si tomamos

A= AB =

Tenemos que

8

27

1

4

11

Ejemplo

 6

4

3 2 1

 15

7 3

5



A B=B A Comprobar que en general para

A



B=



y

B

6

5

0

1 5 1





2 1 22 16



matrices cuadradas de orden n: A

2

2 + B + 2AB

A, B

y

A( B

C

matrices para las que el producto esté bien de…nido y

A(BC )

+ AC (distributiva por la izquierda)

3. (B + C )A =

BA

+ C A (distributiva para la derecha)

(AB )

= (A)B =

De…nición.



un número real cualesquiera:

(propiedad asociativa).

AB

A(B )

Dada una matriz

A

0 B B =B @

a11

a12

a21

a22

. . .

. . .

llamamos matriz transpuesta

A

Es decir,

t 2 mn de M

A

0 B t=B B @

A,

a

. . .

.

nm

a12

a22

m

1 C C C A 2 n m M

a

a la matriz cuya …la a21

a1

..

m 2m

a1

a

a11

. . .

 

n2   

n1

a

F

0





BA =

+ C) =

F

3

Propiedades.

1. (AB)C =

4.

2

 B )(A + B ) 6= A2  B 2

(A

Sean

2.

1

1

2 (A + B ) =

F

1



 A no se puede calcular puesto que el número de columnas de B no coincide con el de …las de A.

Ejemplo:

Entonces

F



=

B

Entonces tenemos que A

1 2+0 (

A  B 6= B  A

de matrices no es conmutativo:

Ejemplo:

Sin embargo

  1) + 3  0 = 2 5  2 + 3  (1) + 2  0 = 7

1 1+0 2+3 1=4

. . .

a2

  ..

.

m 

n1 n2

a a

. . .

nm

i

es igual a la columna

1 C C C A 2 mn M

a

Propiedades:

Sean

A, B

matrices

n

 m, C

una matriz

m

 p y  2 R; entonces se veri…ca:

i

de

A

para todo i.

t

1.

(A + B ) =

2.

(A) =

3.

( At ) =

4.

F

t

t

A

A

t

+ Bt

t

A

t

t t C A

(AC ) =

De…nición:

Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de …las y de columnas.

F

Por Mn

n

denotamos al conjunto de las matrices cuadradas de dimensión n:

De…nición:

Se denomina diagonal de A a los elementos de la forma aii de una matriz cuadrada.

F

0 B B B @

De…nición . La matriz cuadrada

n) :::

1 0

0 1

. . .n)

. . .

.

0

0

:::

0 0

::: .

. . .

.

1 C C C A

1

se llama matriz identidad de tamaño n y se denota por In

F

De…nición . Dada una matriz cuadrada,

A

0 B B =B @

 

a11

a12

a21

a22

. . .

. . .

an1

an2

.

.

a1n a2n . . .

.



1 C C C A2

Mn

n

ann

se de…ne la traza de A como la suma de los elementos de su diagonal

tr (A)

F

Proposición:

Sean A, B matrices cuadradas de orden n

  

F

tr

(A + B ) =

tr

(A) =

tr

( At ) =



tr

tr

=

+ a22 +

   + ann

 n, y sea  2 R, entonces:

(A) + tr (B )

 tr (A) ( A)

Proposición:

Sean A, B matrices de órdenes m

 n y n  m respectivamente, entonces tr

F

a11

(AB) =

tr

(BA)

Observación: En General

tr

6

(AB) =

tr

(A) tr (B )

Operaciones elementales

Matrices equivalentes.

F

De…nición.

Dada una matriz

A

cualquiera decimos que

B

es

equivalente

a

A

si podemos transformar

mediante una combinación de las siguientes operaciones elementales:



Multiplicar una …la de

A

por un número real cualquiera diferente de cero,



Intercambiar dos …las,

fi

$



Sumar a una …la de

un múltiplo de otra,

A

kfi

!

fi

con

k

A

en

B

6

= 0.

fj .

fi

+ kfj

!

fi .

Estas tres operaciones elementales se pueden describir mediante el producto de matrices donde se realiza una transformación de la matriz identidad.

F

De…nición.

De…nimos la matriz elemental asociada a una operación elemental

al aplicar la operación elemental

F

E jemplo.

La operación elemental

de la matriz identidad es decir, la …la

i

In

e

a la matriz identidad :

!

E

e

como aquella que se obtiene

= e(I ):

6

kfi fi con k = 0 es equivalente a multiplicar a la izquierda por una transformación (que llamaremos matriz elemental Ei ) en la que hemos realizado esa operación elemental,

la hemos multiplicado por una

Por ejemplo si tomamos la matriz

0 1 @ 1 2

es equivalente

02 @0

0

0

0

1

k.

3 2 0

1 0 2 A 2f !f @ 1 1

1

1 0 1 0 A  @ 1

3

0

2

1

2 0

2

1 A

6 2 0

1 0 2 A = @ 1 2

1 2 A 6 0

esto es igual e(I )A

= e ( A) :

es decir que la matriz que se obtiene al realizar una operación elemental sobre elemental sobre la matriz

F

A

se obtiene realizando la operación

I:

E jemplo.

La operación elemental identidad

In

$

fi fj es equivalente a multiplicar a la izquierda por una transformación de la matriz (que llamaremos matriz elemental Ei ) en la que hemos realizado esa operación elemental, es decir,

cambiar la …la

i

por la …la

j.

Por ejemplo si tomamos la matriz

0 1 @ 1 2

es equivalente

00 @1

1

0

0

0

3 2 0

0 1 1 A  @ 1 f $f 1

1 0 1 0 A  @ 1 0 1

2

2

3 2 0

2

2 3 0

1 A

1 0 1 A=@ 1 2

1 3 A

2

0

FEjemplo

.

La operación elemental

f 3  2f 1 ! f 3 :

0 1 @ 1

1 0 1 3 1 A 2 ! @ 1 2 A 0 6

3 2 0

2

f3

f1

f3

es equivalente en términos de matrices elementales

0 @

F

De…nición.

1 0 2

0 0 1 0 0 1



Diremos que una matriz

1 0 1 A  @ 1 2

3 2 0

1 0 1 A = @ 1 0

3 2 6



1 A

A esta escalonada por …las si se cumple lo siguiente:

Dada una …la cualquiera si el primer elemento diferente de cero de ella es el j. k;l = 0 si k > i y l



j) entonces se cumple que a

a

i;j

(es decir está en la …la i columna

"Es decir, cada …la tiene su primer elemento no nulo a la derecha del primer elemento no nulo de la …la anterior"

08 B0 A=B @0

4 2 0 0

0

1 4 1 3 3 4 0 8

1 1 7 1



son matrices escalonadas. La matriz:

02 4 B 0 2 B @0 0

1 C C A B=

01 B 0 B @0

1 0 0 0

0

1 0 3 0

1 0 2 7

0

1 C  CA

3 9 3 0

0

1 9 2 0

1 C C A

no está escalonada.

FEjemplo

.

Vamos a reducir la siguiente matriz en una matriz escalonada:

0 BB BB BB @

0 0 1 0 0 0

1 0 2 0 0 0

3 0 3 1 2 0

4 0 4 2 3 0

5 0 5 3 4 2

1 C C C C C C A

Nuestro objetivo es ordenar las …las de manera que la siguiente tenga algún cero más que la …la anterior:

0 B B B B B B @

0 0 1 0 0 0

1 0 2 0 0 0

3 0 3 1 2 0

4 0 4 2 3 0

5 0 5 3 4 2

1 01 C B 0 C B C B 0 C B  C B 0 C A B @0 0

2 1 0 0 0 0

3 3 1 2 0 0

4 4 2 3 0 0

5 5 3 4 2 0

1 C C C C C C A

En esta primera ordenación la matriz que hemos obtenido no está escalonada, pues la …la 3 y 4 tienen dos ceros ambas. Por lo tanto debemos conseguir algún cero más en la …la 4. Para ello utilizaremos el 1 (como elemento pivote) de la …la 3 haciendo la siguiente operación elemental:

0 B B B B B B @

1

2

3

4

0

1

3

4

0

0

1

2

0

0

2

3

0

0

0

0

1 5 C C 3 C C f 2f !f 4 C C 2 A

0

0

0

0

0

5

4

3

4

0 B B B B B B @

1

2

3

0

1

3

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 4 5 C C 2 3 C 1 2 CCCA 0 2 4

5

0

0

La matriz ya está escalonada. Matriz Inversa

F

De…nición :

Dada una matriz cuadrada

tal que

F F 1. 2. 3. 4. 5.



n, A ,

se dice que tiene A



A

inversa

1 = 1  A

A

Proposición :

Dada una matriz cuadrada

Proposición :

Sean A y B matrices cuadradas de tamaño

  (  ) 1 = 1  1 1 = ( 1 ) t ( t) Si  1 = n entonces 1  1 ( ) 1 =  1 (A 1 ) 1 = A

A;

si existe una matriz

n



n

que se denotará por

A

1

= In :

si existe inversa, esta es única.

n

que tienen inversa y sea



2R

entonces se veri…ca:

A

B

B

A

A

:

A

A

A

I

A

F

In ;

n

Teorema:

A

A

:

Sea

A

= In y respectivamente.

A

una matriz cuadrada de orden

A

es inversible, si sólo si

Si

A

A



n:

In .

es inversible entonces podemos transformar mediante las operaciones elementales la matriz

y por lo tanto si llamamos

Ei

a la matriz elemental asociada a la operación elemental, tenemos

1

Ep Ep

y

: : : E1 A

=

1

Ep Ep

o...