Tema1 Barcanova PDF

Preview

Summary

Tema 1...

Description

1 Àlgebra de matrius Pàgina 33

1 0 0 6 I3 = f 0 1 0 p 0 0 1

Vols internacionals B1

C2

B1

3

2

B2

1

0

B3

1

0

B4

0

2

Pàgina 40 7

9A = f

1

3 2 7 o; =e 1 5 6

2 4 t B = f 5 1p ; 7 0

7 2 0 6 1 7 4 D t = f 4 1 1 3 p ; E t = f 7 –1 0 p ; 1 0 7 2 4 0 3

f

1 3 Ct = 5 –1

0 2 4 1

f

1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 2 1 0 1 1

0 0 0 0 2 0

p

6 1 ; 0 3

5 4 Ft = 6 1

fp

1 2 –1 2 Per exemple, X = f 2 3 0 p . –1 0 4 3 2 0 0 0 0 0

27 45 – 9 p 18 – 27 0

PROPIETAT

p

3 (A + B) = 3 f 3A + 3B = f

f

30 9 0 10 3 0 p= f p 6 3 8 18 9 24

9 15 – 3 30 9 0 21 – 6 3 p+f p =f p 18 9 24 12 18 24 6 –9 0

4

3(A + B ) = 3A + 3B

15 2 68 19 3 6 12 7 o = f 15 – 5 70 15p 3 –1 14 3 21 0 96 25

11 5 42 –1 4 – 3 26 20 A · B + A · C = f 15 0 45 –10 p+ f 0 – 5 25 25 p= 17 5 60 –5

4 – 5 36 30

15 2 68 19 = f 15 –5 70 15p 21 0 96 25 A · (B + C ) = A · B + A · C (B + C )· D = f

8 –2 4 5 o; 24 – 4 –1 – 10 14 3 5 26

3:

8 A · (B + C ) = A · e

Pàgina 39

7 –3 B·A= –2 –5

4

Pàgina 41

18 – 1 – 18 o 16 – 15 – 23

5 A·C= e

18 30 – 6 27 45 –9 9 15 – 3 p +f p =f p 6 –9 0 12 –18 0 18 –27 0

9A = 3A + 6A

Pàgina 36 4 E=e

2:

3A + 6A = f

Pàgina 35 At

PROPIETAT

p

21 –2 ; 1 13

– 6 –1 2 5 D · C = f 26 5 2 0 p ; 28 38 1 10

A·D= e

7 18 – 4 o 0 30 5

4

3 6 12 7 –24 o p · D =e 3 –1 14 3 – 60

B· D + C · D = e

0 – 24 – 24 o +e o =e o – 48 – 12 – 60

(B + C ) · D = B · D + C · D 22 28 C · B = f 39 3 p –9 – 4

D·D=

f

3 –3 – 4 4 31 4 p 4 4 17

Pàgina 43 9 a) e

1 1 –1 1 – 1 o =e o 0 1 0 1

c) La matriu e

1 2

b) e

1 2 –1 –2 1 o =e o 3 4 3/ 2 – 1/ 2

2 o no té inversa. 4

18 a) La inversa és e

1 2 3 10 a) La matriu f 4 5 6 p no té inversa. 7 8 9

19 a) X = e

Pàgina 45

b) (A + B) · C = f

6 6

A ·C + B ·C = f

3 5 3 5 p =f p 5 0 41 10

–1 5 3 5 4 0 p +f p =f p 41 10 15 7 26 3

0 5

p · C =f

5 5 p 30 6

4 0 1 5 5 5 p+f p=f p 15 7 15 –1 30 6

1 5 1 5 p =f p c) A · (B + C ) = A · f 15 –1 107 3 1 5 –1 5 p· C = f p ( A · B)· C = f 26 3 107 3

4

4

4

–70 –27 o 184 71

–2 –6 –7 c) Z = f 2 –7 –5 p 2 10 6 Pàgina 46 20 •Associativa: (u + v ) + w = u + ( v + w ) ( u + v ) + w = (12, 4, 4) + w = (16, 10, 1) u + (v + w) = u + (9, 6, 3) = (16, 10, 1) • Commutativa: u + v = v + u u + v = (12, 4, 4) = v + u • Vector nul: v + 0 = v v + 0 = (5, 0, 6) + (0, 0, 0) = (5, 0, 6) = v • Vector oposat: v + (–v ) = 0 v + (– v ) = (5, 0, 6) + (–5, 0, – 6) = (0, 0, 0) • Associativa: (a · b) · v = a · (b · v )

a · (b · v ) = 8 · [–5 · (5, 0, 6)] = 8 · (–25, 0, –30) = = (–200, 0, –240) • Distributiva I: (a + b) · v = a · v + b · v (a + b) · v = 3 · (5, 0, 6) = (15, 0, 18)

– 4 –5 – 3 –5 o, Y = e o 14 X = e 5 16 2 10

a · v + b · v = 8 · (5, 0, 6) – 5 · (5, 0, 6) =

x y m, on x i y són nombres reals qualssevol. 15 X = c 0 x

17 (A – I )2 = e

b) Y = e

= (–200, 0, –240)

0 2 1 0 o, B = e o 1 0 0 0

9 10 o 16 a) e 18 6

2 1 o 0 –1

(a · b) · v = (8 · (–5)) · (5, 0, 6) = – 40 · (5, 0, 6) =

2 10 o 12 X = e 5 –17/3 13 A = e

– 5 –2 o. –8 –3

1 –1 –1 d) La inversa és f 0 –1 2 p . 0 1 –1

1 1 3 –1 0 0 2/ 5 c) f1 2 1 p = f– 1 /5 3 /5 – 1/ 5 p 2 0 0 2/ 5 – 1 /5 –1 /10

A · B + A · C =f

b) La inversa és e

1 0 0 c) La inversa és f 0 1/2 0 p. 0 0 1

0 –2 1 1 2 3 –1 b) f0 1 2 p = f 2 1 – 2 p 0 2 4 –1 0 1

11 a) A ·(B + C )= A ·f

1 –3 o. –2 7

– 10 – 15 o b) e 6 9 0 2 0 2 0 0 o ·e o =e o 0 0 0 0 0 0

23 12 o c) e 9 –9

= (40, 0, 48) – (25, 0, 30) = (15, 0, 18) • Distributiva II: a · ( u + v) = a · u + a · v a · ( u + v ) = 8 · (12, 4, 4) = (96, 32, 32) a · u + a · v = 8 · (7, 4, –2) + 8 · (5, 0, 6) = = (56, 32, –16) + (40, 0, 48) = (96, 32, 32) • Producte per 1: 1 · v = v 1 v

1 (5 0 6)

(5 0 6)

v

Pàgina 48 21 Apliquem la propietat fonamental: x (3, 0, 0, 0) + y (0, 2, 0, 0) + z (0, 0, 1, 0) + t (3, 2, 1, 4) = = (0, 0, 0, 0) Aquesta igualtat dona lloc al sistema d'equacions següent: 3x +

3t =0 2y + 2t = 0 z + 2t = 0 4t = 0

4

6 –4 – 6 0 3 p –2 1 0

f1

Bt · Ct =

11 –5 3 A t · C t + B t · C t = f –3 2 3 p 1 0 3

La igualtat és certa. 2 Fes-ho tu. a=4

les solucions són: x = 0, y = 0, z = 0, t = 0

3 Fes-ho tu. a1 = 2, a2 = 1

Per tant, els vectors són LI, ja que l'única combinació lineal d'aquests que dona lloc al vector zero és la que s'obté amb coeficients tots nuls.

Pàgina 52

3t = 0 2y + 2t = 0 4 les solucions són: x = –λ, y = –λ, z + 2 t = 0 z = λ, t = λ Com que hi ha solucions diferents de la solució trivial, els vectors són LD.

B= e

22 3x +

=0 23 2 x + y z = 04 aquest sistema té com a solució única – 4x + 7 x + 2 y + 2 z = 0 x = 0, y = 0, z = 0. Per tant, els vectors són linealment independents. 24 • Apliquem la propietat fonamental: x (1, 0, 0) + y (1, 1, 0) + z (0, 0, 0) = (0, 0, 0) Si fem x = 0, y = 0, z pot agafar qualsevol valor; per tant, els vectors són linealment dependents. • Si en un conjunt de vectors u 1, u 2, …, u n està el vector zero, podem aconseguir una combinació lineal d'aquests: x1u 1 = x2 u 2 + … + xn – 1u n – 1 + xn 0 = (0, 0, 0, …, 0) en la qual x1 = x2 = … = xn – 1 = 0 i xn ≠ 0. Com que no tots els coeficients són nuls, els vectors són linealment dependents.

5 Fes-ho tu. a b o , amb a, b ∈ Á. 0 a

Pàgina 53 6 Fes-ho tu. A 2 – A = I → A (A – I ) = I → A – I és la inversa de A; per tant, A és invertible. 7 Fes-ho tu. X=2e

0 –6 o 2 12

Pàgina 54 9 Fes-ho tu. X= e

1 0 o 1 5

10 Fes-ho tu. X= e

1 1 o –2 2

Pàgina 55 Pàgina 50

11 Fes-ho tu.

25 ran (A ) = 3, ran (B ) = 2, ran (C ) = 2, ran (D ) = 3 Pàgina 51

(A +

B )t

Ct

2 n – 1 2 n –1 p 2n – 1 2n –1

12 Fes-ho tu.

1 Fes-ho tu. 5 1 t (A + B ) = f–2 1 p 0 1

An = f

Si m = –1 → ran (M) = 2. Si m ≠ –1 → ran (M ) = 3. Ct = e

11 –5 3 = f–3 2 3 p 1 0 3

2 –1 0 o 1 0 3 At

·

Ct

5 –1 9 = f– 4 2 0 p 3 –1 3

Pàgina 56 1 a = ±1, b = 0 2 x1 = 2, y1 = 2, z1 = –1; x2 = –2, y2 = 2, z2 = 1 x3 = –2 y3 = –2 z3 = –1; x4 = 2 y4 = –2 z4 = 1

3 X=f

7 a)

4 3 p –3 2

4 Independentment del valor de t, ran (M ) = 2.

9 –8 4 10 –8 4 1 0 0 2A – I = f 4 –2 2 p – f 0 1 0p = f 4 –3 2 p – 8 8 –2 – 8 8 –3 0 0 1

3 1 o 5 X=e 2 1 Pàgina 57

b) A 4

4 –8 4 3 1 A(3 × 2) · B(2 × 4) = f 6 0 – 6 –3 p 3 –4 1 1 B(2 × 4) · D(4 × 1) = e

30 o 6

Per tant: A 10 = –A Pàgina 58

B(2 × 4) · C(2 × 4) → No es poden multiplicar. 25 –15 – 15 9 D(4 × 1) · D t(1 × 4) = 5 –3 10 – 6

5 –3 1 2

f

c) B –1 = e

4 0 o 8 –1

g)

+

3 A+I=

B2

9 ran (A ) = 2; ran (B ) = 2; ran (C ) = 1; ran (D ) = 2; ran (E ) = 3; ran (F ) = 3

p

10 ran (A ) = 3 → 3 columnes LI en A. ran (B ) = 2 → 2 columnes LI en B. ran (C ) = 2 → 2 columnes LI en C.

3 2 o 2 0

d) (A + B )(A – B ) = e

3 6 o e) A 2 – B 2 = e 20 –1 A2

10 –6 2 4

b) B · A = e

1/2 1 /4 o 1 0

ran (D ) = 4 → Les quatre columnes de D són LI. 2 8 o 14 0

18 4 o f ) (A + B )2 = e 14 14

19 2 o + 2AB = e 20 13

4 0 8 0 0 0 2 f 3 0 6 p ; (A + I ) = f 0 0 0 p; A 2 = –2A – I –2 0 – 4 0 0 0

0 0 2 6 a) A 2 = f 0 0 0 p 0 0 0 =

• Si m ≠ 3 i m ≠ –2 → ran (B ) = 3 Si m = 3, m = –2 → ran (B ) = 2 • Si m = 0 o m = –3, ran (C ) = 1 i si m ≠ 0 o m ≠ –3, ran (C ) = 2. • Si m ≠ 1 → ran (E ) = 2. Si m = 1 → ran (E ) = 1 2 2 • Si m = 2 → ran (F ) = 2. Si m = 1 → ran (F ) = 2 Si m = –1 → ran (F ) = 2

1 1 –1 0 –1 –1 0 o B –1 = e o ; C –1 = f0 1 0 p 5 A –1 = e 1 /2 1 /2 1 /2 1 /4 0 –1 1

A2

11 • Si m ≠ –1 → ran (A) = 3. Si m = –1 → ran (A) = 2

• Si m ≠ 0 → ran (D ) = 3. Si m = 0 → ran (D ) = 2

4 N és la inversa de A.

A3

17 – 16 8 = f 8 –7 4 p –16 16 –7

Si m ≠ 2, m ≠ 1 i m ≠ –1 → ran (F ) = 3 2 0 –2 12 X = f 4 2 1 p 0 0 3 13 x = –5 ; y = –7 4 4

0 0 0 · A = f0 0 0p 0 0 0

1 2 –1 2 0 3 14 A = f 3 4 0 p , B = f 4 1 – 2p 1 0 2 2 1 3

b) (I + A + A 2) (I – A ) = I – A + A – A 2 + A 2 – A 3 = I

4

–1 0 1 –1 0 0 0 0 0 8 A 2 = f 1 4 4 p ; A 3 = f 0 –1 0 p ; A 3 + I = f0 0 0 p –1 –3 –3 0 0 –1 0 0 0

9 – 10 1 –1 o 3B – 2C = e 0 –2 –2 –3

2 a) A · B = e

9 –8 4 A2 = A · A = f 4 – 3 2 p –8 8 –3

A3

I 0

I

15 X = c

5 10 1 5 m; Y= c m 7 6 2 2

16 X = c

a b m 0 a

1 –1 /2 4 –3 –3 /2 m o 17 a) B –1 = e b) X = c –1 1 –5 5 1 c) M ha de tenir dimensió 3 × 3.

27

d) N ha de tenir dimensió 3 × 2. 18 a) A –1 = e

0 –1 o 1 4

b) X = c

1 –1 0 19 a) A –1 = f 0 1 0 p –2 2 1

b) X =

20 a) X = B (A – C )–1

b) X = e

3 1 –4 0 m –11 –1 14 – 2 – 1 –1 0

f 0 –1 0 p –2 2 –1 0 –1 o 3 /2 1

21 a) Y = c

0 1 1 –1 m; X= c m 3 –1 0 2 0 –1 m b) Z = c 34 21

22 a)

A2

x2 – 1 –x – y p =f x + y y 2–1

4 4 1 4 4 1 3 128 = f – 3 – 3 –1 p ; A = I; A = f –3 –3 –1 p 0 1 –1 0 1 –1

28 k = 1 29 ran (M ) = 3 per a qualsevol valor de k • Si k = – 1 → ran (N ) = 2 2 1 • Si k ≠ – → ran (N ) = 3 2 • Si k = –2 → ran (P ) = 1

• Si k ≠ 2 → ran (Q ) = 3 b) y = 0, x = 2

b) A – I = A (A – I ) → A – I = A 2 – A → –A 2 + 2A = = I → A (–A + 2I ) = I c) Anomenem B = A – I. B 2 = 0 Si B fos invertible, B 2 · B –1 = 0 · B –1 = 0 A més, qualsevol matriu compleix que: B 2 · B –1 = B · B · B –1 = B · I = B Tindríem llavors que: B 2 · B –1 = 0 4 → B = 0, cosa que és falsa. B 2 · B – 1 =B Per tant, B = A – I no és invertible. 2 1 o 1 1

1 0 o 0 3n

• Si k = 2 → ran (Q ) = 2

1 1 1 A (A – I ) = f 2 2 2 p –3 – 3 –3

25 X = e

A2

Bn = e

• Si k ≠ –2 → ran (P ) = 2

1 0 0 23 a) Existeix B –1 si m ≠ 0. B –1 =f 0 1 0p 0 1 1 0 3 –2 o b) X = e 2 3 6 0 0 0 2 24 a) (A – I ) = f 0 0 0 p 0 0 0

d) λ = –1

Pàgina 59 1 n/7 n/7 26 A n = f 0 1 0 p 0 0 1

30 X = e

a b o 0 a

0 –6 o 31 X = e – 2 –12 2 9 29 0 b) B 10 = f 2 9 29 0p 0 0 1

32 a) a = b = c

33 Hi ha dues solucions: x1 = 4 , y1 = 4 ; x2 = – 4 , y2 = – 4 5 5 5 5 34 X = e

0 0 2 0 0 0 2 0 o; X = e o; X = e o; X = e o b 2 b 0 0 0 0 2

1 0 0 35 X = f 0 1 0 p 0 0 1 36 X = e

0 1/ 5 o 1 7/ 5

37 a) X = A –1 · 2B = 2A –1B

f

Llau. 0, 01 C ranc 0 , 05 38 a) C = 0 , 04 Oli Sal 0 , 001 b) AB = e

b) X = e

0 2 o –2 –2

p

44 750 19 000 34 250 5 500 o 46 300 20 100 36 000 5 950

La matriu que hem obtingut, AB, expressa, per files, la quantitat, en grams, de cada un dels materials necessaris per fabricar totes les llaunes que demanen els magatzems. 4, 41 BC = f 7, 115 p 6, 06 La matriu BC representa el cost dels materials fets servir en una unitat de cada tipus de llauna L1, L2, L3. 2 773 o ABC = e 2 913, 95 Aquest últim producte de matrius, ABC, ens indica el cost, en materials de fabricació, de totes les llaunes que demana cada un dels dos magatzems. 39 a)

b)

F 4 o 6

PG V H3 4 3 P 2 H 4 f 5 4p · e G 4 H5 6 5

V F F H3 20 34 4 o = H4 f 26 44p 6 H5 32 54

Pàgina 60 40 a) És un sistema compatible indefinit; per tant, sí és possible fer-ho i hi ha infinites maneres d'aconseguir-ho. b) Si fem y = λ, obtenim: x = λ, y = λ, z = 3, t = 6 – 2λ Com que les quantitats no poden ser negatives, ha de ser 0 ≤ λ ≤ 3.

0 0 0 42 X = f 1 4 3p –3 3 1

–3 4 –2 b) A –1 = f –2 3 –1 p 4 –4 3

43 (A + B ) · (A – B ) = A 2 – AB + BA – B 2 Per a que la igualtat fos certa, hauria de ser AB = BA; i, en general, no és cert per a dues matrius qualssevol. 44 a) No. A = e

1 1 0 0 1 o; B = f2 p → A · B = e o 2 1 0 4 0

b) Sí, si A = e

1 2 0 –1 3 1 Si A = f2 1 1 p i B = f 3 – 1 0 p , llavors: 0 1 1 1 0 –1 5 1 1 A · B = f2 5 1 p no és simètrica. 4 – 1 –1 46 Sí, per exemple: A = e

1 0 0 o i B = (1 2) → B · A = (5 2 0) 2 1 0

0 1 0 1 2 0 0 o; A2 = e o =e o 0 0 0 0 0 0

–1 0 0 0 0 0 47 A3 = f 0 –1 0 p 8 A3 + I =f 0 0 0 p 0 0 –1 0 0 0 A 10

PG V H3 4 3 P 2 e H4 f5 4 p ; G 4 H5 6 5

41 a) A –1 = –A + 2I

45 No cal que sigui una matriu simètrica. Per exemple:

0 –3 – 4 = f –1 4 5 p 1 –3 – 4

a11 0 0 b11 0 0 48 Si A = f 0 a22 0 p i B = f 0 b22 0 p, llavors: 0 0 a 33 0 0 b33 0 0 a 11 b 11 a 22b 22 A·B= f 0 0 p a 33 b 33 0 0 b b a a 49 Si A = e 11 12 o i B = f 11 12 p llavors: b21 b 22 a 21 a 22 a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12b 22 A · B = fa b +a b a b + a b p → 21 11 22 21 21 12 22 22 → tr (A · B ) = a11b11 + a12b21 + a21b12 + a22b22 B·A= f

b 11 a 11 + b 12 a 21 b 11a 12 +b 12a 22 p → b21 a11 + b22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22

→ tr (B · A ) = a11b11 + a21b12 + a12b21 + a22b22 50 a) Cert. No varia, ja que la matriu que obtenim té, com a màxim, dues files o dues columnes; per tant, el seu rang no pot ser més gran de dos. Per altra banda, com que la nova matriu conté A, el rang ha de ser ≥ 2; és a dir, el rang de la nova matriu és 2. b) Cert. X – AX = B → (I – A )X = B. Multiplicant per (I – A )–1 a l'esquerra, tenim l'expressió final per calcular X. 2

–1 2 1 0 o+ e oH = c) Cert. (A + I )2 = > e 3 –1 0 1 =e

0 2 0 2 6 0 1 0 o ·e o= e o = 6e o = 6I 3 0 3 0 0 6 0 1

d) Cert. AB = BA. Com que les dues matrius, AB i BA, ón l m t i l tr n p d t mbé rà i l

1 0 0 e) Fals. Per exemple, A = f 1 0 1 p té rang 3. 0 1 1 Si traiem l'última fila i l'última columna, obtenim 1 0 e o , que té rang 1. 1 0

55 A = e

0 –1 0 1 o , At = e o –1 0 1 0

56 A = e

0 b o –b 0

57 Si la matriu és antisimètrica, k = 0.

f ) Cert, perquè aii = –aii → 2aii = 0 → aii = 0.

Les matrius màgiques antisimètriques d'ordre 3 són de la forma:

1 2 3 4 g) M = f 4 3 2 1 p 5 5 5 k2 – 1

0 b –b A = f –b 0 b p , amb b ∈ Á. b –b 0

1 2 3 4 f4 3 2 1 p 5 5 5 k2 –1

58 Una matriu màgica simètrica d'ordre 3 amb k = 0 és de la forma:

(1a) (2a) – 4 · (1a) (3a) – 5 · (1a)

4 1 2 3 f 0 – 5 – 10 – 15 p 0 – 5 – 10 k 2 – 21

A=

(1a) (2a)

59 A = f

(3a) – (2a)

1 2 3 4 – 5 –10 – 15 p 0 0 0 k2 – 6

f0

L'afirmació és falsa: perquè sigui ran (M ) = 3, ha de ser k ≠ ± 6. h) Cert. Com que A és regular, podem multiplicar per A –1 a la dreta: (B – C )AA –1 = 0A –1 → B – C = 0 → B = C 51 a) Per exemple, si B = e

1 –1 3 1 o i C= e o , llavors 2 3 0 1

3 2 o = A · C, però B ≠ C. 3 2 b) Ha d'existir A –1. AB + BA = 0 → A –1AB + A –1BA = 0 → B + A –1BA = 0 Ara multipliquem la igualtat obtinguda per dreta: b) B = e

+

=0 →

BA –1

+

A –1B

1 1 o –1 –1

c) A = f

–(c + 1)(c – 3) p c

2 –c – (c +1)( c – 3)

2 –c – –( c + 1)( c – 3) p A= f – – ( c + 1)( c – 3) c

A –1

=0

per la

f

10 – x2 0

0 10 – x

p=e 2

1 0 10 – x2 = 1 o → 0 1 x =± 3

Autoavaluació 1 Si a = 3 → ran (A ) = 2. Si a ≠ 3 → ran (A ) = 3 2 B ha de ser una matriu de dimensió 3 × 2. 3 At = c

Pàgina 61 53 X = A –1(I – A 2)

f 2– f 1 1 2 – f p , amb f ∈ Á. f f 1 2– f

61 Si –A = A –1 → A (–A ) = I

52 a) Multipliquem per A –1 per l'esquerra en la igualtat:

A –1BAA –1

–f f 0 f 0 – f p , amb f ∈ Á. 0 –f f

60 a) A 2 – 2A = 3I → A (A – 2I ) = 3I → A · 1 (A – 2I ) = I 3 Per tant, A és invertible i la seva inversa és: A –1 = 1 (A – 2I ) 3 b) A 3 = 7A + 6I

A·B=e

BA –1

f

X =e

–1 –3 o 3/ 2 1/ 2

54 XA 2 + BA = A 2 → (X – I )A 2 = –BA X – I = –BA –1 → X = I – BA –1

a2 + bc b( a + d ) a c m; A 2 = f p b d c (a + d ) d 2 +bc

(A 2)t = f (A t)2 = f

a 2 + bc c( a + d ) b ( a + d ) d 2 +bc a 2 + bc c( a + d ) b ( a + d ) d 2 +bc

p p

4 An = e 5 A=e

1 0 o 5n 1

–1 1 1 7 a) A –1 = f 2 –2 –1 p –2 3 1

a b o b a

6 Les matrius buscades són X = e

1 3 /2 0 2 o, Y = e o. 3/ 2 1 –2 0

b) X =

–2 5 /2 3/ 2 f 0 –1 1/ 2 p 1/ 2 – 1/ 2 1/ 2

8 Si s'afegeix una fila, pot tenir, com a màxim, rang 3; per tant, no és possible que la nova matriu tingui rang 4. 9

T O D 96 61 e o B 1 354 869...