TEOREMA DE KENNEDY O TEOREMA DE TRES CENTROS Y LOS MECANISMOS PDF

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SE ABORDA SOBRE LA IMPORTANCIA DE SABER MANEJAR LOS DIVERSOS MECANISMOS QUE HAY, LOS MOVIMIENTOS QUE REALIZAN ES DECIR EL CÁLCULO DE LAS DIFERENTES POSICIONES QUE OCUPAN LOS ESLABONES EN EL ESPACIO, EN FUNCIÓN DEL VALOR DE UNA VARIABLE, ASÍ COMO DESCRIBEN LOS PUNTOS DEL MECANISMO...

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INDICE INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................................................................1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..................................................................................................................2 HIPOTESIS ...................................................................................................................................................................................3 OBJETIVOS............................................................................................................................................................................... 1 4

OBJETIVO GENERAL ........................................................................................... 14 OBJETIVO ESPECIFICO ...................................................................................... 14 CONCEPTOS PREVIOS .................................................................................................................................................. 1 5 MÉTODO DE LOS CENTROS INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN .............................................. 1 5 TEOREMA DE KENNEDY ............................................................................................................................................ 1 6

Números de centros instantáneos y líneas de centros ............................................ 17 Localización de los centros de un mecanismo ........................................................ 18 Para localizar lo C.I.R se debe proceder de la siguiente manera: ........................ 19 Centros instantáneos para el mecanismo de corredera biela y manivela.......................... 22 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................................................2 4

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se aborda sobre la importancia de saber manejar los diversos mecanismos que hay, los movimientos que realizan es decir el cálculo de las diferentes posiciones que ocupan los eslabones en el espacio, en función del valor de una variable, así como describen los puntos del mecanismo o puntos asociados a sus eslabones, por ello es importante saber darles un buen uso a los teoremas según su mecanismo, en este caso el tema que se aborda es sobre

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el “teorema de Kennedy” o también conocido como el teorema de los tres centros, generalmente el centro instantáneo entre dos cuerpos no es un punto estacionario, sino que su ubicación cambia en relación con ambos cuerpos, conforme se desarrolla el movimiento, y describe una trayectoria o lugar geométrico sobre cada uno de ellos, en otras palabras, el Teorema de Kennedy sirve para calcular los CIR (centro instantáneo de rotación) de un mecanismo sin tener que hacer las inversiones de los mecanismos. Los tres CIR relativos de tres eslabones con movimiento plano, deben de estar siempre alineados en una línea recta. Los centros instantáneos son sumamente útiles para encontrar las velocidades de los eslabones en los mecanismos. Su uso algunas veces nos permite sustituir a algún mecanismo por otro que produce el mismo movimiento y mecánicamente es más aprovechable. Los métodos para localizar los centros instantáneos son, por lo tanto, de gran importancia. En este trabajo nos centraremos sobre la forma en que se recorren estas trayectorias en función del tiempo; es decir, se realizará el estudio de una de las características del movimiento de los puntos de los eslabones: en definitiva, se analizarán las velocidades de estos puntos. Para ello, será necesario conocer como varía con el tiempo la variable primaria de mecanismo: se deberá conocer la velocidad de entrada del eslabón motor del mecanismo, además el estudio de los mecanismos es muy interesante, e importante, con los nuevos avances se realizan en el diseño de instrumentos, controles automáticos también en equipo automatizado el estudio de los mecanismos toma un nuevo significado, el cual ha sido relevante para el desarrollo de la industria; busca entender, diseñar y aplicar la relación entre la geometría, la cinemática y la cinética de los elementos que componen un mecanismo.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En la vida diaria, hay diferentes maquinas, ya sea en el campo o en la ciudad, pero si nos enfocamos en la maquinaria que se usa en el campo, precisamente de los tractores, estas suelen presentar problemas o fallas como toda máquina en sus mecanismos, por las mismas labores que estas realizan, donde sus mecanismos se ven afectados, uno de estos es el mecanismo de biela y manivela, puesto que por el mismo trabajo que realiza la máquina, hace que tenga fallas, para ello es necesario saber cuantos centros presenta. 2

¿Qué diferencia hay entre un motor de auto y un motor de una moto podemos, y cuantos centros se presenta en estos tipos de motores, por medio del teorema de Kennedy, y cuál es su funcionamiento específicamente en el mecanismo de biela y manivela?

HIPOTESIS Usar el teorema de Kennedy o de centros instantáneos como posible solución para poder mejorar el funcionamiento de este mecanismo de biela y manivela de un tractor. ¿Qué es la biela-manivela de un motor? Las bielas de motor son una pieza fundamental del principio del funcionamiento de un motor, puesto que el principio de transformación de energía de los motores es de energía térmica a mecánica donde la primera es producida por la gasolina o Diesel que genera la explosión ya sea por encendido de chispa o por alta presión dentro de los cilindros, es aquí donde las bielas del motor entran en contexto de la importancia ya que son estos elementos los permiten que ese movimiento lineal sea transformado en movimiento circular y es ese movimiento el que permite el desplazamiento de la máquina, las bielas de motor son elementos mecánicos que sirven como unión entre dos piezas haciendo posible la transformación de un movimiento línea en uno rotativo o viceversa por lo tanto la función fundamental de la pieza es soportar los esfuerzos de solicitación involucrados en esa transformación de movimiento funcionamiento de una biela del motor.

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Imagen 1.1 Par de un motor Antes de ir al calculo de la potencia de los motores, es indispensable comprender y entender el par motor que se desarrolla en los motores de diferentes maquinas, ya sea un auto, moto o un tractor agrícola, se sabe, que en los cilindros del motor de cualquier tractor tiene lugar la combustión de la mezcla combustible-aire que genera un aumento de la presión y temperatura en el interior de los cilindros del motor.

Imagen 1.2 par motor

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3(3−1) =3 𝑁= 2

Imagen 1.3 centro instantaneo El total de centros es de tres, pero necesitamos saber que funcionamiento tiene dicho motor. Supongamos que el piston tiene una velocidad de 16 m/s a 5000 RPM normalmente suele ser de la velocidad media en su recorrido desde PMS a PMI, Durante todo su recorrido la velocidad es la misma, esto no es así por supuesto, pero para algunos aspectos es más sencillo pensar en la velocidad media que en la real. Como la Velocidad = Distancia / Tiempo, se puede calcular la velocidad a la que se recorre una distancia en un tiempo, como si se hiciera a una velocidad constante, por ejemplo, un motor con una carrera de 86mm funcionando a 6000 RPM, se calcula el tiempo en hacer una carrera. 60 𝑠 ⁄6000 𝑅𝑃𝑀 = 0,01 segundos 10𝑠 ⁄2 = 5𝑚.𝑠 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =

0.086𝑚 0.005𝑠

= 17.2𝑚/𝑠 velocidad media

para calcular la velocidad media del pistón. 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑠𝑡𝑜𝑛 = 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑟𝑎 ∗ 𝑅𝑃𝑀/30 5

Sin embargo la velocidad real del pistón no es constante en su recorrido, se suele creer que el pistón se acelera desde PMS a mitad de carrera y después desacelera de mitad de carrera a PMI, esto es así si solo se tiene en cuenta el movimiento giratorio de la muñequilla, pero esta al girar arrastra con ella la cabeza de la biela y provoca que la biela además de descender también se incline y aumente el ángulo entre su eje y el eje del cilindro, veamos un ejemplo con medidas de un motor real, una carrera de 93 mm y una biela con 144 mm de distancia entre centros.

Imagen 1.4 conjunto de cigüeñal, biela y pistón En la imagen 1.13se puede ver un conjunto de cigüeñal, biela y pistón en PMS y en PMI, en estos puntos los ejes de la muñequilla del cigüeñal y de la biela son coincidentes con el eje del cilindro, pero al empezar a girar el cigüeñal hace que los ejes de la muñequilla y la biela se inclinen y al proyectar sus ejes sobre el eje del cilindro sus medidas cambian, la distancia que recorre el pistón es igual a las variaciones de las proyecciones de los ejes de la muñequilla y biela sobre el eje del cilindro en cada ángulo de giro del cigüeñal. En la cual se hace un recorrido desde PMS a PMI, la muñequilla del cigüeñal hace descender todo el recorrido a la biela y el pistón y los efectos que se ven en el eje de la biela son iguales a los que se producen en el eje de la muñequilla, si nos centramos solo en el eje de la biela.

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No obstante la distancia que disminuye la proyección de la biela no es la misma en todos los grados, por ejemplo, a 40º de giro del cigüeñal si la disminución de la proyección fuera proporcional debería medir 2,52 mm y en realidad mide 3,14 mm, a medida que aumenta el ángulo entre el eje de la biela y el eje del cilindro, la proyección tiene más variación y suma más al recorrido del pistón, igual que sucede con la muñequilla, por lo tanto desde PMS a 90º la distancia que suma la biela por su inclinación va aumentando cada grado de giro, veamos que sucede a 90º

Imagen 1.5 eje de la biela En la siguiente imagen 1.14 se ve cómo se reduce la proyección del eje de la biela al ser arrastrada por la muñequilla, además de descender este se ha inclinado y al proyectar el eje de la biela sobre el eje del cilindro su proyección se ha hecho más pequeña, a 30º de giro del cigüeñal el eje de la biela se ha inclinado 9,3º respecto al eje del cilindro y su proyección ha disminuido 1,89 mm, esta distancia se suma a la que ha recorrido el pistón por el giro de la muñequilla, o explicado de otra forma, de los 8,14 mm que ha descendido el pistón 1,89 mm son debidos a la inclinación de la biela.

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sin embargo la distancia que disminuye la proyección de la biela no es la misma en todos los grados, supongamos, que a 40º de giro del cigüeñal si la disminución de la proyección fuera proporcional debería medir 2,52 mm, pero no es así, en realidad mide 3,14 mm, a medida que aumenta el ángulo entre el eje de la biela y el eje del cilindro, la proyección tiene más variación y suma más al recorrido del pistón, igual que sucede con la muñequilla, por lo tanto desde PMS a 90º la distancia que suma la biela por su inclinación va aumentando cada grado de giro, veamos que sucede a 90º.

Imagen 1.6 conjuntos de cigüeñal, En la imagen 1.15 se muestra dos conjuntos de cigüeñal, biela, pistón a 90º de giro del cigüeñal, a la izquierda está el conjunto del motor de ejemplo y se ha comparado con otro imaginario de la misma carrera, pero con una biela de 100 mm, un montaje real con una biela de 100 mm es imposible, ya que se golpearían el pistón y el cigüeñal, pero si ayudara a entender mejor el ejemplo.

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La distancia que ha recorrido el pistón por el giro de la muñequilla es igual a la semicarrera, pero como vemos en la imagen la distancia del pistón a PMS es mayor, en la biela larga que es de 54,21 mm y en la biela corta es de 57,96 mm, el efecto que produce la longitud de la biela queda claro con el siguiente ejemplo, la biela larga a 90º tiene un ángulo de 18,84º y la corta de 27,71º, la proyección de la biela corta se reduce mucho más debido a su mayor inclinación y hace que el pistón recorra más distancia que la larga, pero lo real importante no es la longitud de la biela, es la relación entre la biela y la carrera, una carrera mayor con la biela larga también hace que esta se incline más. Veamos que sucede de 90º a PMI.

Imagen 1.7 La biela aumenta su ángulo De PMS a PMI la biela aumenta su ángulo con el eje del cilindro y disminuye su proyección, esto hace descender el pistón una distancia extra que se suma a la que hace la muñequilla, pero de 90º a PMI aunque la muñequilla sigue haciendo descender el conjunto, el eje de la biela está disminuyendo su ángulo con el eje del cilindro y la proyección de la biela está aumentando, en la imagen 4, a 120º de giro del cigüeñal la proyección del eje de la biela mide 138,26 mm y a 130 grados de giro del cigüeñal mide 139,52 mm, 138,26 mm – 139,52 = -1,26 mm, la distancia es negativa por que la biela al aumentar su proyección hace que el pistón suba en vez de bajar y se resta al recorrido que hace el pistón por el giro de la muñequilla. Lo que sucede es que el recorrido que ha hecho el pistón en esos 10º por el giro de la muñequilla es de 6,64 mm y al restarle los 1,26 el resultado es que el pistón sigue descendiendo, pero 5,38 mm en vez de 6,64 mm.

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Por este motivo el pistón recorrerá los 38,79 mm que le faltan hasta PMI, ya que desde PMS a 90º había recorrido 54,21 mm, pero como sucedía en los primeros 90º grados, la distancia que va restando no es la misma en todos los grados de giro, por ejemplo, si fuera proporcional el aumento de la proyección de un grado a otro, a 130º debería haber aumentado 2,62 mm y en realidad a aumentado 3,23 mm, a medida que disminuya el ángulo del eje de la biela la distancia que se resta es cada vez mayor.

Grafica 1 Recorrido del pistón En la gráfica 1 se pueden ver el recorrido real del pistón en la línea azul, que es el resultado de la suma del recorrido que hace el pistón por el efecto de la muñequilla, línea rosa y el recorrido que efectúa el pistón por el efecto de la biela, línea amarilla.

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Grafica 2 Aceleración del pistón En la gráfica 2 para calcular las velocidades se ha simulado que el cigüeñal gira a 7000 RPM, la velocidad real en azul, es la consecuencia de la suma de la velocidad aplicada por los efectos de la muñequilla, línea rosa, y de la biela, línea amarilla, hay algunos aspectos que pueden costar de entender en esta gráfica, veámoslos por partes.

Grafica 3 Velocidad del pistón Como en todas las gráficas cuando los efectos de la muñequilla y la biela actúan en el mismo sentido se suman los efectos y cuando actúan en sentidos contrarios se restan los efectos, esta no es una excepción y el resultado es que la máxima aceleración en PMS es casi el doble que en PMI y que la aceleración 0, se da en el mismo punto que se daba la máxima velocidad, a 73º antes y después de PMS, pero además en PMI no se da la máxima aceleración negativa, se da unos 41º antes y después de PMI como se puede ver en la gráfica

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Grafica 4 Velocidad del pistón La máxima velocidad para el motor del Williams es de 40,95 m/s y se da a 73º antes y después de PMS, para la R6 la máxima velocidad es de 19,78 m/s y se da a 77º antes y después de PMS. Además de la gran diferencia en las velocidades máximas, de las que es responsable la gran diferencia en las carreras, se puede ver que cuando la relación de biela-carrera es mayor, la máxima velocidad se da más cerca de 90º, todo esto tiene mucha influencia en la curva de aceleración, como se ve en la gráfica 5.

Grafica 5 Aceleración del pistón Por último, se puede ver como la aceleración en PMS es mucho mayor que en PMI para los dos motores, es debido al efecto de la biela y es significativo ya que la fuerza que se generará hacia arriba es superior a la ejercida hacia abajo, pero también se ve como las diferencias de las aceleraciones entre PMS y PMI de los dos motores no son iguales, las aceleraciones para cada motor son:

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Motor de Williams Motor R6

A máx. PMS 43.16𝑚 ⁄𝑠2

% 100%

A min. PMI −22.09𝑚⁄𝑠 2

% 51%

19.38 𝑚⁄ 𝑠 2

100%

−11.83𝑚⁄𝑠 2

61%

Finalmente, la relación de biela-carrera es mayor, la aceleración 0, que es la máxima velocidad del pistón, se acerca más a 90º, o mitad de carrera del pistón, en el motor de moto está a 77º antes y después de PMS, mientras que en el motor de coche está a 73º antes y después de PMS, por último, hay que fijarse que en el motor de coche la máxima aceleración no se da en PMI, se da 41º antes y después y es de 22,84 m/s2, se nota en la forma rara que hace la curva por debajo del eje. Todo esto tiene mucha importancia en el equilibrado del motor y en otros aspectos. También se puede rescatar que el motor R6 tiene una aceleración en PMI de un 61 % de la que tiene en PMS, mientras que el motor del Williams tiene una aceleración en PMI de un 51 % de la que tiene en PMS, las diferencias en las fuerzas generadas hacia arriba y abajo por el pistón serán menores en los motores con una relación de biela-carrera mayor.

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OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL El objetivo de este trabajo es informar y saber como utilizar el teorema de Kennedy, y lo importante que es, al momento de encontrar o localizar los centros instantáneos de un mecanismo.

OBJETIVO ESPECIFICO Tener una capacidad de analizar la cinemática de un mecanismo, y poder encontrar o localizar los centros instantáneos de un mecanismo, para así poder determinar su velocidad mediante el método de centros instantáneos por el teorema de Kennedy.

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CONCEPTOS PREVIOS MÉTODO DE LOS CENTROS INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN Se define centro instantáneo de rotación (o de velocidades) de una pareja de eslabones como la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes, cada uno perteneciente a uno de los dos eslabones, para los que las velocidades absolutas son iguales. O de otra forma: para los que la velocidad aparente de uno de los puntos es cero, tal y como la percibe un observador situado en el otro eslabón. De forma más gráfica se podría decir que es el punto alrededor del cual puede considerarse que uno de los eslabones gira con respecto del otro en un movimiento dado (con independencia de si el otro eslabón permanece fijo o no), además un mecanismo tendrá tantos centros instantáneos de rotación como formas diferentes existan de parear los números de los eslabones, así para un mecanismo de n eslabones existen:

𝑵=

𝒏∗(𝒏−𝟏) 𝟐

centros instantáneos de rotación.

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TEOREMA DE KENNEDY El teorema de Kennedy también se le conoce como el teorema de los tres centros, mediante este teorema se pueden localizar los centros instantáneos de un mecanismo, en la cual se dice que, si tres cuerpos se encuentran en movimiento relativo, poseen en conjunto tres centros de rotación y los mismos se encuentran alineados; es decir tres cuerpos con movimientos coplanarios coincidan a lo largo de una misma línea recta.

Imagen 1.8 Teorema de Kennedy-Centros instantáneos En la imagen se puede observar como en el centro instantáneo, entre los cuerpos 1 y 2 es el punto fijo C12, se encuentra unido por acoplamiento rotoidal, mientras que entre los cuerpos 1 y 3 es el punto fijo C13. El contacto P entre los cuerpos 2 y 3 es variable y no es el centro de rotación entre 2 y 3, en caso de que sea así, la velocidad del punto P como perteneciente a 3, al que llamaremos V p3 sería la misma que la velocidad de P como perteneciente a 2, la cual llamaremos V P2, sim embargo eso no es verdad. Para que la velocidad de dos puntos en contacto y pertenecientes a los cuerpos 2 y 3, sea la misma, existe una condición necesaria, es que P este en la recta que contiene a C12 C13 llamada la línea de

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los centros. El teorema de Kennedy es muy útil de localizar centros instantáneos en los mecanismos, en los casos en que dos centros instantáneos de tres eslabones son conocidos y el tercero tiene que buscarse.

Números de centros instantáneos y líneas de centros El numero de centros que posee un mecanismo depende exclusivamente del numero de eslab...