Teorema de la máxima capacidad de Shannon mod PDF

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Teorema de la máxima capacidad de Shannon En 1928 Harry Nyquist, un investigador en el área de telegrafía, publicó una ecuación llamada la Razón Nyquist que media la razón de transmisión de la señal en bauds. La razón de Nyquist es igual a 2B símbolos (o señales) por segundo, donde B es el ancho de banda del canal de transmisión. Así, usando esta ecuación, el ancho de banda de un canal telefónico de 3,000 Hz puede transmitido hasta 2x3.000, o 6,000 bauds o Hz. Claude Shannon después de la investigación de Nyquist estudio el como el ruido afecta a la transmisión de datos. Shannon tomo en cuenta la razón señal-a-ruido del canal de transmisión (medido en decibeles o dB) y derivo el teorema de Capacidad de Shannon. C = B log2 (1+S/N) bps

Un típico canal telefónico de voz tiene una razón de señal a ruido de 30 dB (10^(30/10)= 1000) y un ancho de banda de 3,000 Hz. Si sustituimos esos valores en el teorema de Shannon: C = 3,000 log2 (1+1000) = 30,000 bps

Debido a que log2 (1001) es igual al logaritmo natural de ln(1001)/ln(2) y es igual a 9.97, el teorema nos demuestra que la capacidad máxima* de un canal telefónico es aproximadamente a 30,000 bps. Debido a que los canales de comunicación no son perfectos, ya que están delimitados por el ruido y el ancho de banda. El teorema de Shannon-Hartley nos dice que es posible transmitir información libre de ruido siempre y cuando la tasa de información no exceda la Capacidad del Canal. Así, si el nivel de S/N es menor, o sea la calidad de la señal es más cercana al ruido, la capacidad de canal disminuirá. Esta capacidad máxima es inalcanzable, ya que la fórmula de Shannon supone unas condiciones que en la práctica no se dan. No tiene en cuenta el ruido impulsivo, ni la atenuación ni la distorsión. Representa el límite teórico máximo alcanzable. ¿Cuánto nivel de S/N requeriríamos para transmitir sobre la capacidad del canal telefónico, digamos a 56,000 bps?

De la fórmula de Shannon; C = B log2(S/N + 1) = bps bps = B log2(10^(dB/10) + 1) despejando los dB bps/B = log2(10^(dB/10) + 1) 2^(bps/B) = 10^(dB/10) + 1 10^(dB/10) = 2^(bps/B) - 1 dB/10 = 1og10 (2^(bps/B) - 1)

dB = 10*1og10 (2^(bps/B) - 1)

sustituyendo B= 3,000 y bps = 56,000 dB = 10*1og10 (2^(56,000/3,000) - 1) dB = S/N= 56.2 dB Lo que significa que si queremos rebasar el límite de Shannon debemos de aumentar el nivel de S/N. Ejercicio N° 2

Ejemplo: Supóngase que el espectro de un canal está situado entre 3Mhz y 4 MHz y que la SNR es de 24 dB. B=4Mhz- 3Mhz=1Mhz SNR=24 dB =10 log (SNR)=251 Usando la fórmula de Shannon se tiene que:

C= 10 log (1+251)= 8 Mbps Este es un límite teórico difícil de alcanzar. Según Nyquist para alcanzar este límite ¿Cuántos niveles serán requeridos? C= 2 B log M=8x10 = 2x10 x log M 4= log M entonces M=16 niveles

REDES Y TELECOMUNICACIONES Actividad 1: Introducción a las Redes y Telecomunicaciones Realizado por: Adriana Jiménez Revisado por: Docente Ricardo Vergara Olguín Ejercicio 1: Si la señal transmitida tiene una potencia de 400 mW, frente a un ruido de 20 mW. Evalúe cuánto sería la degradación sufrida por la señal en un esquema analógico de 6 secciones, y compárela con un caso de transmisión digital. Saque sus propias conclusiones. Datos: Señal: 400mW Ruido: 20mW, Secciones: 6 Formula relación señal/ ruido: [S/R] = 10 * log (400mW/20Mw) [S/R] = 10 * log (20) [Señal/ruido] = 13.01 dBm

Señal analógica: 10.84 dBm [S/R]: [S/R] / L [S/R]: 13.01 dBm / 6 [S/R]: 2.168 dBm Degradación: 13.01 dBm – 2.168 dBm Señal digital: 1.79 dBm. [S/R]: [S/R] –Ln (L) [S/R]: 13.01 – Ln (6) [S/R]: 13.01 – 1.79 [S/R]: 11.22 dBm Degradation: 13.01 dBm – 11.22 dBm

Como se puede observar en el resultado del cálculo de la degradación del ruido en la relación señal/ ruido, la señal transmitida con una potencia de 400 mW, frente a un ruido de 20 mW. En un esquema analógico de 6 secciones la señal analógica es más sensible al ruido que la señal digital. Ya que al transmitir señales analógicas y a medida que van pasando por los distintos nodos de amplificación se regenera el ruido en cambio al transmitir señales digitales estas no permiten que los ruidos se regeneren a lo lardo de su transmisión y llega sin presentar tanta perdida.

Ejercicio 2: ¿Qué sucedería si se intenta transmitir una señal analógica en un sistema digital? Si se intenta transmitir una señal analógica en un sistema digital no se obtiene ninguna transmisión, primero se debe utilizar un convertidor analógico-digital para convertir la señal analógica a un formato digital o lo que es lo mismo a código binario (0 y 1), para llevar una señal analógica a binaria o a sistema digital ésta debe pasar por un proceso de cuantificación que es donde se toman ciertas muestras de la señal analógica y los valores de dichas señales se aproximan al valor más cercano del conjunto finito definido por los valores binarios.

Ejercicio 3: A partir del teorema de Nyquist, y conociendo que la señal voz en un canal telefónico contiene frecuencias máximas del orden de los 4 KHz (4000Hz), indique la velocidad mínima para transmitir la señal por un canal de voz digital (explique). Además, si esas muestras se cuantifican en 128 niveles, qué velocidad de flujo de datos se requiere en el canal para poder transmitir las muestras. . El teorema de Nyquist, nos indica que una señal f (t) mostrada a intervalos periódicos, necesita una señal del doble de la frecuencia máxima para poder ser muestreada. F max: 4000 Hz. F muestreo: 4000 Hz * 2: 8000Hz: 8Khz 128 Niveles en digital:(1111111) o 7 bits. Velocidad de flujo de datos: 7 bits * 8000 Hz: 56.000Hz Velocidad Mínima: 2 * N° de Bit de Codificación * Ancho de Banda = 2 * 8 bit * 4000 Hz = 64.000 bit/seg. A partir del teorema de Nyquist una señal de voz en un canal telefónico con frecuencias máximas de 4000 Hz tiene 64.000 bit/seg. Como velocidad mínima para transmitir la señal por un canal de voz digital. Si esas muestras se cuantifican en 128 niveles la velocidad de flujo de datos que requiere el canal para transmitir las muestras es de 56.000 Hz.

Ejercicio 4: ¿Cuál es la función de un MODEM, qué limita que se incremente la velocidad de transmisión en los mismos, y cómo se explica que puedan tenerse velocidades del orden de los 33Kbps? La función del modem es conectar al ordenador con otros ordenadores y permitir adaptar los datos digitales de forma tal que estos puedan transmitirse a través de un canal analógico (red telefónica). Principalmente lo que puede limitar que se incremente la velocidad de transmisión en un MODEM es el medio de comunicación, los niveles de ruido, la saturación de los abonados de las líneas telefónicas, la calidad del tipo de MODEM, el tipo de conexión a Internet Se puede tener velocidades del orden de los 33 Kbps o superiores, debido a los diferentes estándares de modulación, compresión de datos y corrección de errores...