Tổng hợp kiến thức trọng tâm môn Ltxstk PDF

Preview

Summary

Download Tổng hợp kiến thức trọng tâm môn Ltxstk PDF

Description

Onthisinhvien.com

12 ngày chinh phục A+ Xác suất thống kê

Lê Nguyễn Viết Duy

Chương 1: Biến cố và xác suất • Với A và B là 2 biến cố không xung khắc ( độc lập hoặc phụ thuộc): P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) • Với A và B P •Với A và B l ó các công thức đáng nhớ sau:

)

)

1) Công thức Bernoulli:  P(x | n,p)  nCx.px .(1 p)n x 

2) Công thức xác suất đầy đủ:





n





i 1



3) Công thức Bayes:  P(Hi | A)  

P(A | H i ).P(Hi )  P(A) 

Chương 2 BNN rời rạc và QLPP xác suất I. Biến ngẫu nhiên rời rạc 1) Bảng phân phối xác suất(Chỉ BNN rời rạc mới có) •Cho biến NN rời rạc X nhận các giá trị x1,x2,…,xn với xác suất tương ứng p1,p2,…pn. ………. ………. X x1 x2 xk xn ……….. ………… pn P p1 p2 pk

2)Các tham số đặc trưng •Kì vọng(trung bình) Kì vọng kí hiệu là E(X) và tính bằng: E(X) = Đơn vị của kì vọng là đơn vị của X Tính chất: 1. E(C) = C 2. E(C + X) = C + E(X) 3. E(C.X) = C.E(X)

n

C là hằng số

Onthisinhvien.com

12 ngày chinh phục A+ Xác suất thống kê

Lê Nguyễn Viết Duy

) = E(X) ± E(Y) 4 5. E(X,Y) = E(X).E(Y) ( Đây là trường hợp 2 biến X,Y độc lập còn nếu X,Y phụ thuộc ta xem xét ở các bài sau •Phương sa -Công thức: V(X) = E(X ) – [E(X)]

(Trong đó E(X ) =

n

)

-Đơn vị của phương sai là (đơn vị của X) và V(X) ≥0 Tính chất: V(C) = 0 C là hằng số V(X + C) = V(X) V(C.X) = C . V(X) = V(X) + V(Y)(V ới X và Y độc lập, nếu X và Y phụ thuộc ta xét sau) •Độ lệch chuẩn Ϭ = II. Quy luật Phân phối xác suất cho BNN rời rạc Nhị thức Ký hiệu X ~ B(n,p)

Poisson X ~ P(

Công thức

P(X  x)  Cxn .p x .(1  p)1 x

x     P(X  x)  e x! 

Kỳ vọng Phương sai

E(X) = np V(X) = np(1-p)

E(X) = V(X) =

Mốt(Mode) Dấu hiệu

np + p -1 ≤ m0 ≤ np + Đọc đầu bài thấy giống Bernoulli

  ≤ m0 ≤

1) Điều kiện xấp xỉ phân phối Nhị thức sang Poisson:

Khi đầu bài cho lượng trung bình mà không cho biết p hay n thì ta dùng phân phối Poisso n quá lớn np ≈ np(1-p)

12 ngày chinh phục A+ Xác suất thống kê

Onthisinhvien.com

Lê Nguyễn Viết Duy

2) Phân phối Nhị thức tỉ lệ Cho X - B(n,p). Đặt = Khi đó có phân phối Nhị thức tỉ lệ: • Ki vọng E( ) = p



• Phương sai V( )

Chương 3: BNN liên

QLPP xác suất

Biến ngẫu nhiên liên t 1) Hàm phân phối xác suất -Hàm phân phối xác suất :



 



-Tính chất: 



2) Hàm mật độ xác suất - Ký hiệu: 3) Tính chất hàm mật độ: •f(x) ≥ 0 •F(x0) =

x0

 f (x)dx





•  f (x)dx = 1 

b

• P(a ≤ X ≤ b) =  f (x)dx a

II. Quy luật phân phối xác suất(BNN liên tục) 1. Quy luật phân phối xác suất Chuẩn Phân phối Chuẩn Ký hiệu X ~ N(, 2 ) Kỳ vọng Phương sai Công thức

E(X) = 

(đọc là muy) 2

V(X) =  





a

 X 

• P X  b

  • P 

(đọc là sigma bình) 

 ( b   )  

 a   ) 1 (  

Onthisinhvien.com

12 ngày chinh phục A+ Xác suất thống kê





• P a  X  b  • (x) 



 (

Lê Nguyễn Viết Duy

b  a  ) – ( )   

  0 (x)  0,5

•Phân phối Nhị thức xấp xỉ phân phối Chuẩn Cho X~B(n,p). Khi n ≥ 100 thì X~N(μ, 2 ) (Với μ = np; 2 = np(1-p)) •Phân phối Poisson xấp xỉ phân phối Chuẩn Cho X~P(  ). Khi n ≥ 20 thì X~N(μ, 2 ) (Với μ = ; 2 = ) •“Sai lệch so với ….trung bình không quá ɛ” ta áp dụng công thức: ɛ P(|X – μ| < ɛ) = 2 Φ(𝜎) -1

Chương 4: Tương quan BNN 2 chiều Hiệp phương sai Cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)

Hệ số tương quan

Ý nghĩa

Thể hiện tương quan tuyến tính giữa X và Y

Đo mức độ chặt chẽ của tương quan tuyến tính giữa X và Y

Cụ thể

Ρx,y= 0 => X và Y không tương quan Ρx,y = ±1 => X và Y tương quan hàm số tuyến tính 𝜌x,y → 0 => mức độ tương quan là thấp 𝜌x,y → ±1 => mức độ tương quan là cao 2 2 V(aX+bY) = a .V(X) + b .V(Y) + 2abCov(X,Y) E(XY) = p11.x1. y1 + p12 .x2.y1 + ... + p21.x1 .y2 + ... + pmn.xn.ym

Kí hiệu

Chú ý

Ρx,y=

Cov(X,Y) x .y

Cov(X,Y) = 0 => X và Y không tương quan Cov(X,Y) > 0 => X và Y tương quan dương Cov(X,Y) < 0 => X và Y tương quan âm

Chương 5: Tổng thể - Mẫu 1. Mẫu và tổng thể -Dấu hiệu: Cân nặng của sinh viên trường N -Tổng thể: Toàn bộ sinh viên trường N(xấp xỉ 22K người) -Mẫu: Lấy ngẫu nhiên 100 sinh viên trường N(bất kể nam,nữ). 2. Các tham số

Onthisinhvien.com

Tham số Kích thước Trung bình Trung vị Mốt Phương sai Độ lệch chuẩn Hệ số biến thiên Hệ số bất đối xứng Hệ số nhọn Tỉ lệ

12 ngày chinh phục A+ Xác suất thống kê

Tổng thể N m, μ (phân phối chuẩn) Md m0 σ2 Σ

Lê Nguyễn Viết Duy

Mẫu n X

, x

xd x0 S 2 , s2 S, s

CV 100 m 



cv s 100  x

α3

a3

α4 P= M/N

a4 p = m/n

x= xd => a3 = 0 => đối xứng x> xd => a3 > 0 => lệch phải (đồ thị kéo dài về phía +∞) x< xd => a3 < 0 => lệch trái (đồ thị kéo dài về phía -∞) 3. Mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể - Mẫu ngẫu nhiên: x1, x2, x3, ..., xn hay w = {xi, i=1,2,3,...n} Ví dụ: Điều tra ngẫu nhiên cân nặng của 7 nữ sinh trường N,ta được mẫu liệt kê sau: 45,47,50,47,47,51,50. - Mẫu cụ thể: x1 x2 xk X ... Ni n1 n2 nk ... Ví dụ: Điều tra ngẫu nhiên cân nặng của 7 nữ sinh trường N ta thấy có 1 sv nặng 45, 3 sv nặng 47, 2 sv nặng 50 và 1 sv nặng 51.Có bảng: 45 47 51 Cân nặng 50 Tần số

1

3

2

1

4. Tính toán các tham số 1 n ni xi n  i 1 i 1 45  47  50  47  47 51 50. =48,143 Ví dụ: Trung bình mẫu cân nặng: x = 7 xn  xn 1 2 x d = x n 1 (n lẻ) xd = 2 (n chẵn) -Trung vị mẫu: 2 2

-Trung bình mẫu:

x =

1 n

n

x i

hoặc x =

Onthisinhvien.com

12 ngày chinh phục A+ Xác suất thống kê

Lê Nguyễn Viết Duy

Ví dụ:Trung vị mẫu cân nặng: 45,47,50,47,47,51,50 Vì n=7 lẻ.Ta sắp xếp lại theo thứ tự từ lớn tới bé: 45,47,47,47,50,50,51 và ta lấy số ở giữa là 47 => md = 47 - Mốt mẫu: x0 có số lần xuất hiện nhiều nhất Ví dụ: Mốt mẫu trên là 47 1 n [x2  (x)2 ] (Với x 2 = n 1 n m - Tần suất mẫu: p = n

- Phương sai mẫu: s2 

n

x 2i hoặc x 2 = i 1

1 n

n

n x i

2 i

i 1

6 Ví dụ: Tìm tần suất các sv có cân nặng ≤ 50 => p = 7

- Tứ phân vị: Chia tập dữ liệu ra thành 4 phần bằng nhau( sắp xếp từ nhỏ đến lớn) n (xy  x.y) n 1 cov(X,Y) - Hệ số tương quan mẫu: rx,y = s x .s y

- Hiệp phương sai mẫu: cov(X,Y)=

5. Suy diễn thống kê mẫu •Suy đoán cho trung bình mẫu

Giả thuyết

Suy đoán cho trung bình mẫu •Giả thiết có tổng thể X ~ N(μ;σ 2 ) xác định (đã biết μ và σ)

Suy đoán cho tần suất(tỷ lệ) mẫu • Giả thiết có tổng thể phân phối A(p) xác định (đã biết p)

•Trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n lúc

•Với mẫu lớn (n ≥ 100), ta có tần suất mẫu p ~ N(p;

này: X ~ N ( ;

2 ) n

p(1  p) ) n

•Chuẩn hóa bằng cách 𝑋−𝜇

đặt: Z = 𝜎/ Khoảng 2 phía

μ-

𝜎 √𝑛

√𝑛

~ N(0,1) 𝜎

zα/2 < X < μ + 𝑛zα/2 √

p-

√𝑝(1−𝑝)

√𝑛 √𝑝(1−𝑝) √𝑛

zα/2

zα/2 < p < p +

)

12 ngày chinh phục A+ Xác suất thống kê

Onthisinhvien.com

Tối đa

Xμ-

𝜎 √𝑛 𝜎 √𝑛

Lê Nguyễn Viết Duy

zα

p < p +

zα

p > p -

√𝑝(1−𝑝) √𝑛

zα

√𝑝(1−𝑝) √𝑛

zα

Chương 7: Ước lượng 1) Ước lượng điểm - Không chệch: E(G1) = E(X) = m - Hiệu quả: V nào mà nhỏ nhất trong số các V thì ước lượng đấy là hiệu quả 2. Ước lượng khoảng Trung bình tổng thể S (n 1) S (n 1) •Khoảng 2 phía X t /2 <  Kết luận: Thuộc miền bác bỏ => Bác bỏ H0, Chấp nhận H1 Không thuộc miền bác bỏ => Chưa đủ cơ sở bác bỏ H0 Cách làm 2: - Bước 1: Viết cặp giả thuyết - Bước 2: Sử dụng P-Value +) P-Value < α => Bác bỏ H0, chấp nhận H1 +) P-Value > α => Chưa đủ cơ sở bác bỏ H0 I) Kiểm định 1 tham số - Trung bình (, =) - Phương sai (, =) -Tỷ lệ (, =) II) Kiểm định 2 tham số - Trung bình (, =) - Phương sai (, =) (df ,df 2 )

***Lưu ý: f11



1 f(df2 ,df1 )

Onthisinhvien.com

12 ngày chinh phục A+ Xác suất thống kê

Lê Nguyễn Viết Duy

-Tỷ lệ (, =) ***Lưu ý: p 

n 1.p 1  n 2.p 2 n1  n2

III) Kiểm định phi tham số 1) Kiểm định phân phối chuẩn(JB) - B1: Cặp giả thuyết: H0: Biến X phân phối chuẩn H1: Biến X Không phân phói chuẩn (Slide trang 250) - B2: JBqs = Tra bảng

 (Xi  X)3 / n Trong đó: a3 = S3  (Xi  X)4 / n a4 = S4 - B3: Miền bác bỏ(Tra bảng) - B4: Kết luận 2) Kiểm định tính độc lập - B1: Cặp giả thuyết: H0: A và B độc lập H1: A và B không độc lập (Slide trang 253) - B2: Giá trị quan sát: Tra bảng - B3: Miền bác bỏ(Tra bảng) - B4: Kết luận ***Nếu có thời gian thì đọc thêm Slide trang số:221, 214, 207, 199, 195, 179

Giả thuyết H1 ≠ >

Kiểm định T(1,2 trung bình) n < 31: P-Value = 2P(T(n-1) > |Tqs|) n > 31: P-Value = 2P( Z > |Tqs|) n < 31: P-Value = P(T(n-1) > Tqs) n > 31: P-Value = P( Z > Tqs)

Kiểm định Z(1,2 tỷ lệ) P-Value = 2P(Z > |Zqs|) P-Value = P(Z > Zqs)

Onthisinhvien.com

12 ngày chinh phục A+ Xác suất thống kê

<

n < 31: P-Value = P(T(n-1) < Tqs) n > 31: P-Value = P( Z < Tqs)

Giả thuyết H1

Kiểm định

≠

P-Value = 2P(

>

P-Value = P(

)

<

P-Value = P(

)

2

)

Lê Nguyễn Viết Duy

P-Value = P(Z < Zqs)...