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Curso Introducción a la matemática para ingeniería 100000G03T Modalidad SemipresencialTrabajo Final Dos torres de 150 m de un puente colgante con un cadistancia entre sí de 500 m (a nivel de la carretera). El vértice de la parábola esble parabólico guardan una tangente a la carretera entre las torre...

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Curso Introducción a la matemática para ingeniería 100000G03T Modalidad Semipresencial

Trabajo Final 1. Dos torres de 150 m de un puente colgante con un cable parabólico guardan una distancia entre sí de 500 m (a nivel de la carretera). El vértice de la parábola es tangente a la carretera entre las torres en el punto medio. a. Realiza un bosquejo de la situación problemática (1 punto)

b. Determina la ecuación del lugar geométrico (parábola) que representa el cable (2 puntos) c. Encuentre la altura del cable sobre la carretera, en un punto a 100 m de una de las torres. (2 puntos) Explicación paso a paso: Datos: y = 150m x = 500m El vértice de la parábola es el origen: (0, 0) El vértice de la parábola es tangente a la carretera entre las torres en el punto medio.

Si la separación entre las torres es 500m Punto medio: 500/2= 250 m La ecuación de una parábola; y = ax² Calcular a: a = y/x² a = 150/(250)² a = 0,0024 Sustituimos: y =0,0024x² La altura del cable sobre la carretera, en un punto a 100 m de una de las torres. Para x = 100m y = 0,0024(100)² y = 24 m

2. El coliseo romano es uno de los grandes monumentos arquitectónicos alcanzados por los antiguos romanos. El anfiteatro es una elipse extensa con gradas para sentar a unos 50,000 espectadores alrededor de una arena elíptica central. Sus dimensiones, todavía impresionan hoy en día. Desde una vista superior se observa una elipse extensa, midiendo externamente 188 m el eje mayor, por 156 m el eje menor. a. Determina la ecuación de la elipse (3 puntos) b. Calcula la distancia entre los focos. (3 puntos) La forma canónica de la ecuación de una elipse es: X²/a² + y²/b² = 1 -

a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.

La semi distancia focal es c = √ (a² - b²) a = 188/2 = 94; b = 156/2 = 78 c = √ (94² - 78²) = √14920 ≅ 52 La ecuación es: X²/94² + y²/78² 1 La distancia entre focos es 2. 52 = 104 m

3. Un parque tiene la forma de un círculo que visualizado desde el aire sobre un sistema como Google Maps ubica tres puntos que pertenecen a la circunferencia (borde del círculo). Sean los puntos A (2,2) B(-2,-2) y C(0;2−2√3 ) que forman parte de dicha circunferencia a. Determina la ecuación de la circunferencia (1 punto) b. Calcula el radio y centro de la circunferencia (2 puntos) c. Calcula el área del parque y su perímetro (3 puntos)

La forma general de la ecuación de una circunferencia es:

X² + y² + a x + b y + c = 0 Buscamos las constantes a, b y c, sabiendo que pasa por los puntos dados. (2, 2): 8 + 2 a + 2 b + c = 0 (-2, -2): 8 - 2 a - 2 b + c = 0

(0, 2-2√3): (2-2√3)² + (2-2√3) b + c = 0 Resolviendo el sistema lineal 3 x 3: a = 4, b = - 4, c = - 8 a) La ecuación general es: X² + y² + 4 x - 4 y - 8 = 0 b) Buscamos la forma ordinaria completando cuadrados. X² + 4 x + 4 + y² - 4 y + 4 = 8 + 4 + 4 = 16 (X + 2)² + (y - 2)² = 16 Radio = 4; centro: (- 2, 2) c) A = π. 16 ≅ 50,3 L = 2 π. 4 ≅ 25,1

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