Trabalho - Prof João Alves Bento - Radiciação e Logaritmo PDF

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Atividade de Fundamentos da Matemática sobre radiciação e logaritmo e os principais pensadores atras dessa tematica...

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Atividade Online – AO 04 Curso: Programa de Ensino e Aprendizagem em Rede – PEAR Professor: João Alves Bento Nome da disciplina: Fundamentos da Matemática Discente:

Pesquisa: Envio de tarefa Radiciação: a operação inversa da potenciação A raiz é o famoso termo conhecido como radiciação. A radiciação é a operação inversa da potenciação - interpretada como consequência de uma potenciação em que não conhecemos o valor da base ou seja x = ³√125, no qual x é nossa potenciação. Para melhor compreensão se lê: qual o número que, elevado a três, é igual a 125? A álgebra transforma essa pergunta em uma equação, utilizando a estratégia de representatividade, por meio de letras, as quantidades ou as medidas desconhecidas. Resolver uma equação é calcular o valor da incógnita proposta pelo problema. Para isso são aplicados artifícios e manobras do pensamento matemático que, no nosso caso, terão de envolver as propriedades da potenciação. Uma dessas manobras é a da potência elevada a uma outra potência. Em vez de aplicarmos duas vezes o conceito de potenciação (exemplo a), simplificamos o caminho multiplicando diretamente os expoentes (exemplo b): (12²)³ = (12.12)³ = (12.12)(12.12)(12.12) = 126 (12²)³ = 122.3 = 126 Com essa propriedade, podemos construir um caminho para resolver a nossa equação do x elevado a seis que é igual a 2.985.984, ou seja: x = 6√2.985.984 = 12 Observando o expoente 6, somos instigados, pela propriedade já mostrada, a multiplicar o expoente seis pelo seu inverso, a fim de obter resultado igual a 1. Para que isso ocorra, temos de elevar a potência do primeiro membro, x elevado a três, a um terço. Essa iniciativa constrói um caminho confortável para acharmos o valor de x. O desafio passa a ser o de eliminar o expoente do primeiro membro sem causar a desigualdade na equação. Com essa preocupação, tudo o que for feito no primeiro membro terá que ser feito no segundo membro, e vice-versa. É um dos princípios que mantém a igualdade de uma equação e que organiza caminhos para a sua resolução. Dessa forma, elevamos os dois membros da nossa equação a um terço. Feito isso, fazemos a fatoração de 125. Já que estamos trabalhando com as propriedades da potenciação, tudo que for escrito com expoente servirá de suporte nas aplicações dessas propriedades. O resultado da fatoração de 125 é cinco elevado a três. Assim, aplicamos novamente a propriedade da potenciação de multiplicar os expoentes, com as respectivas simplificações, obtendo o valor simplificado de x. De forma resumida ao que foi dito: (125)⅓ = (5³)⅓ = 5³.⅓ = 5¹ = 5 Pode aparecer resultados que mantém o expoente fracionário, na condição deste não poder mais ser simplificado. Esse expoente fracionário conduz a uma importante informação, que auxilia na interpretação da radiciação. O expoente fracionário pode ser representado de uma outra forma. A matemática possui esses detalhes em sua linguagem. O denominador do expoente fica na

forquilha do radical (símbolo da operação) e será chamado de índice. Já o numerador fica como sendo o expoente do número que está dentro da raiz, que é conhecido por radicando. Carinhosamente apresentado nas escolas como “o que está na sombra vai pro sol, e o que está no sol vai para sombra”, e modo a facilitar a memorização dos alunos. x = 2⅔ = ³√2² = ³√4 Então, no exemplo acima, o 4 é o radicando, o 3 é o índice e o resultado da operação, representado por x, é a raiz. A operação não sendo exata, como neste exemplo, significará que não foi possível transformar, por simplificações, o expoente fracionário em um número inteiro. Dessa forma, ele se manterá fracionário e poderemos deixá-lo indicado no radical, como acabamos de descrever. A raiz quadrada de 2 ou a raiz cúbica de 5 são alguns dos infinitos exemplos desses casos. Eles irão gerar um novo tipo de número, que será classificado como irracional. Um tema para ser aprofundado em uma outra ocasião.

Diferenças entre os Logaritmos: decimal (Briggs) e natural (Napier) e suas aplicações 1) Decimal (Briggs) O sistema de logaritmos decimais foi proposto por Henry Briggs com o propósito de adequar os logaritmos ao sistema de numeração decimal. No caso do sistema decimal, somente as potências de 10 com expoentes inteiros possuem logaritmos inteiros. Exemplos: log 1 = 0 log 10 = 1 log 100 = 2 log 1 000 = 3 log 10 000 = 4 log 100 000 = 5 log 1 000 000 = 6 Dessa maneira, a posição dos logaritmos de números pode ser descoberta da seguinte forma: Os logaritmos dos números compreendidos entre 1 e 10 possuem resultados entre 0 e 1, os compreendidos entre 10 e 100 estão entre 1 e 2, os compreendidos entre 100 e 1000 estão entre 2 e 3 e assim por diante. Exemplos Verificar entre quais números inteiros estão: a) log 120 100 < 120 < 1000 → 10² < 120 < 10³ → log 10² < log 120 < log 10³ → 2 < log 120 < 3 O logaritmo de 120 está entre 2 e 3 Usando a calculadora científica, temos log 120 = 2,079181246047624827722505692704 b) log 1 342 1000 < 1342 < 10000 → 10³ < 1342 < 104 → log 10³ < log 1342 < log 104 → 3 < log 1342 < 4 O logaritmo de 1342 está entre 3 e 4 log 1342 = 3,1277525158329732698496873797248

c) log 21 10 < 21 < 100 → 10 < 21 < 10² → log 10 < log 21 < log 10² → 1 < log 21 < 2 O logaritmo de 21 está entre 1 e 2 log 21 = 1,3222192947339192680072441618478 d) log 12 326 10 000 < 12 326 < 100 000 → 104 < 12 326 < 105 → log 104 < log 12 326 < log 105 4 < log 12 326 < 5 log 12 326 = 4,090822163394656573599272585104 2) Natural (Napier) Há muita confusão em torno do nome do logaritmo de base e, onde e é um número irracional de valor aproximado 2,71. Muitos o têm chamado de logaritmo neperiano, outros, de logaritmo natural. Há que se deixar claro que um é diferente do outro. O logaritmo natural é o logaritmo de base e, que é escrito como ln. Já o logaritmo neperiano, que pode ser atribuído a John Neper, é o logaritmo cuja base é o número a. O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usamos a definição: ln(u)=área(1,u) Se u>1, a região possui uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduz a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomamos ln(1)=área(1,1). Assim: ln(1)=0 Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0. O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real. Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, podemos demonstrar várias propriedades dos logaritmos naturais (que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas: Propriedades básicas dos logaritmos naturais: ln(1)=0 ln(x.y)=ln(x)+ln(y) ln(xk)=kln(x) ln(x/y)=ln(x)−ln(y)...