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Solucionario: Bondad de ajuste El número de accidentes automovilísticos en Lima sigue una distribución Poisson. En el siguiente cuadro se presenta una muestra de 80 días en el año 2018. Se puede afirmar que el número de accidentes por día sigue una distribución Poisson. Use nivel de significación de...

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Servicio de tutorías - Ciencias

Solucionario: Bondad de ajuste 1) El número de accidentes automovilísticos en Lima sigue una distribución Poisson. En el siguiente cuadro se presenta una muestra de 80 días en el año 2018. Se puede afirmar que el número de accidentes por día sigue una distribución Poisson. Use nivel de significación de 5% Número de accidentes(X) 0 1 2 3 4

Número de días(fo) 34 25 11 7 3

Solución: N = 80 𝜆=

∑ 𝑋𝑓𝑜 (0)(34) + (1)(25) + (2)(11) + (3)(7) =1 = 80 𝑛

Paso1: plantear hipótesis: 𝐻𝑜: 𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 . 𝐻1: 𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 . Paso2: Encontrar las Frecuencias Esperadas, primero calculemos las probabilidades.

Estadística Inferencial

𝑷(𝑿 = 𝟎) =

𝒆−𝟏 (𝟏)𝟎 = 𝟎. 𝟑𝟔𝟕𝟗 𝟎!

𝑷(𝑿 = 𝟏) =

𝒆−𝟏 (𝟏)𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟔𝟕𝟗 𝟏!

𝑷(𝑿 = 𝟐) =

𝒆−𝟏 (𝟏)𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟑𝟗 𝟐!

𝑷(𝑿 = 𝟑) =

𝒆−𝟏 (𝟏)𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟑 𝟑!

𝑷(𝑿 = 𝟒) =

𝒆−𝟏 (𝟏)𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟎 𝟒!

Servicio de tutorías - Ciencias n

f. Obs (Oi)

Probabilidades

Frec. Esperada (Ei)

0

34

𝟎. 𝟑𝟔𝟕𝟗

𝟎. 𝟑𝟔𝟕𝟗 *80=29.43

1

25

𝟎. 𝟑𝟔𝟕𝟗

𝟎. 𝟑𝟔𝟕𝟗 *80=29.43

2

11

𝟎. 𝟏𝟖𝟑𝟗

𝟎. 𝟏𝟖𝟑𝟗 *80=14.71

3

7

𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟑

𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟑 ∗ 𝟖𝟎 =4.905

4

3

𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟑

𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟑 ∗ 𝟖𝟎 =1.519

6.424

Esperado < 5, por lo tanto se suman estas Ei

XC

2



(Oi  E i )2 (34  29.43) 2 (25  29.43) 2 (11 14.71)2 (10  6.424)2     .  4.304 Ei 29.43 29.43 14.71 6.424

Paso4: Región Crítica (Zona de Aceptación o rechazo) Dato:   0,1 Como el estadístico de Prueba 17.26 cae en la Región de rechazo.

𝑋 2 (1−𝛼,𝐾−𝑚−1) = 𝑋 2 (0.95,4−1−1) = 5.991

Paso5: Conclusión Por lo tanto a un nivel de significación del 10% existe evidencia estadística para No rechazar hipótesis nula, por lo tanto el número de defectos sigue una distribución Binomial.

Estadística Inferencial

Servicio de tutorías - Ciencias 2) Cierta máquina de última tecnología de la empresa embotelladora produce muchos artículos, se ha contabilizado la cantidad de artículos en función a los defectos producidos como se puede ver en el siguiente cuadro. Un ingeniero industrial sospecha que los defectos producidos por la máquina se ajustan a una distribución binomial con parámetro 0.8. Para verificar ello se muestrea a 2 artículos. Número de Marca Frecuencia Observada 0 5 1

82

2 Total

251 338

Probar la sospecha del ingeniero industrial. Use un nivel de significación del 10%

Solución: Datos: n=2, P=0.8

n P( X  x)    p X q n x x 

x  0,1, 2,3,.., n

Paso1: Plantear la Hipótesis 𝐻𝑜: 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 . 𝐻1: 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙. Paso2: Encontrar las Frecuencias Esperadas, primero calculemos las probabilidades. 𝟐 𝑷(𝑿 = 𝟎) = ( ) (𝟎. 𝟖)𝟎(𝟎. 𝟐)𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟒 𝟎

𝟐 𝑷(𝑿 = 𝟏) = ( ) (𝟎. 𝟖)𝟏(𝟎. 𝟐)𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟐 𝟏

𝟐 𝑷(𝑿 = 𝟐) = ( ) (𝟎. 𝟖)𝟐(𝟎. 𝟐)𝟎 = 𝟎. 𝟔𝟒 𝟐

Armando el cuadro n f. Obs (Oi) Probabilidades Frec. Esperada (Ei) 0

28

0.04

0.04*338=13.52

1

62

0.32

0.32*338=108.16

2

46

0.64

0.64*338=216.32

Total

 2 XC 

Estadística Inferencial

(Oi  Ei )2 Ei

338 

(28 13.52)2 (62  108.16) 2 (46  216.32)2    17.26 13.52 108.16 216.32

Servicio de tutorías - Ciencias

Paso4: Región Crítica (Zona de Aceptación o rechazo) Dato:   0,1 Como el estadístico de Prueba 17.26 cae en la Región de rechazo.

𝑋 2 (1−𝛼,𝐾−𝑚−1) = 𝑋 2 (0.9,3−0−1) = 4.605

Paso5: Conclusión Por lo tanto, a un nivel de significación del 10%, existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, es así que el número de defectos no sigue una distribución Binomial. 3) Si un ingeniero de control de calidad toma una muestra de 4 neumáticos que salen de una línea de ensamblaje y él desea verificar sobre la base de los datos que estos siguen una distribución binomial, los números de llantas con defectos observadas en 150 días: Número Defectos Frecuencia Observada 0 28 1 62 2 46 3 10 4 4 Total 150

Ayude a verificar al ingeniero usando nivel de significación del 10%, asuma p = 1/3 (neumáticos con defecto):

Solución: Datos: n=4, P=1/3

Estadística Inferencial

n P( X  x)    PX (1 P)n x x 

x  0,1, 2,3,.., n

Servicio de tutorías - Ciencias Paso1: Plantear la Hipótesis 𝐻𝑜: 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝐻1: 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 Paso2: Encontrar las Frecuencias Esperadas  4 1 1 P( X  0)    (1  )4 0 3  0 3 1 4  1 1 P( X  1)    (1  )4 1 3 1  3 2  4 1 1 P( X  2)    (1 )4 2 3  2 3 3  4 1 1 P( X  3)    (1 ) 4 3 3 3 3 0

, X  0,1975 , X  0,3950 , X  0, 2963

n

f. Obs (Oi) Probabilidades Frec. Esperada (Ei)

0

28

0,1975

0,1975*150=29,625

1

62

0,3950

0,3950*150=59,25

2

46

0,2963

44,445

3

10

0,0988

14,82

4

4

0,0123

1,845

Total

150

16,665

, X  0,0988

 4 1 1 P( X  4)    (1 )4 4 , X  0, 0123 3  4 3 4

Esperado < 5, por lo tanto se suman estas Ei

Paso3: Calculo del Estadístico de Prueba Del cuadro: XC

2

(O 

i

 E i )2

Ei



(28  29,625)2 (14  16, 665)2  ..   0, 6973 29, 625 16, 665

Paso4: Región Crítica (Zona de Aceptación o rechazo) Dato:   0,1 Como el estadístico de Prueba 0.69 cae en la Región de No rechazo

Estadística Inferencial

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Donde: K: # categorías m: es la cantidad de Parámetros a estimar Paso5: Conclusión Por lo tanto, a un nivel de significación del 10% existe evidencia estadística para NO RHO, el número de defectos sigue una distribución Binomial

Estadística Inferencial...