Uebung 02 Loesung - Reihen WS2017/2018 PDF

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Reihen WS2017/2018...

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Mathematik II für Informatik 2. Übungsblatt Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Alexander Dietz, Anton Freund Lucas Schöbel-Kröhn

SoSe 2018 Übung: 19./20. April 2018 Abgabe: 26./27. April 2018

Gruppenübung Aufgabe G1 (Landausymbole) Zeigen Sie: (a) Für an := 2 · n2 + 42 · n hat man an ∈ O(n2 ). p (b) Man hat n ∈ o(n). (c) Aus an ∈ o(bn ) folgt an ∈ O(bn ).

Lösung: (a) Für n > 0 ist

   2 · n2 + 42 · n    = 2 + 42 ≤ 2 + 42 = 44.   n n2

Somit ist die Folge (an /n2 )n∈N>0 beschränkt. (b) Man hat

lim

n→∞ a

(c) Aus an ∈ o(bn ) folgt lim n→∞ b n = 0. Damit ist n Folge. Daraus folgt an ∈ O(bn ).



p

n 1 = lim p = 0. n→∞ n n



an b n n∈N

eine konvergente und somit insbesondere eine beschränkte

Aufgabe G2 (Allgemeines Verständnis von Reihen) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Überlegen Sie sich eine kurze Begründung für Ihre Entscheidungen. P∞ (a) Sei (an )n∈N eine Folge und sei (sn )n∈N die Folge der Partialsummen der Reihe n=0 an .  Wenn (an ) eine Nullfolge ist, so konvergiert (sn ).  Wenn (sn ) konvergiert, so ist (an ) eine Nullfolge.  Wenn P∞Nullfolge. P∞ (an ) eine Nullfolge ist, so ist (sn ) eine a konvergiert genau dann, wenn  n=0 n n= j an für beliebiges j ∈ N konvergiert. (b) Sei (an )n∈N eine Folge P positiver reeller Zahlen. P∞ 2 ∞ an.  Wenn die Reihe n=0 an konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe Pn=0 P∞ ∞ 1  Wenn die Reihe n=0 an konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe n=0 a n . P∞ P∞ 2  Wenn die Reihe n=0 an konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe n=0 an .

(c) Sei (an )n∈N eine Folge. p P∞ an absolut.  Existiert der Grenzwert limn→∞ n · n |an |, so konvergiert die Reihe n=0 p P∞ so konvergiert auch die Reihe an .  Wenn die Folge ( n |an |)n∈N konvergiert,   Pn=0  a n+1  ∞  Gilt für alle n ≥ 1 die Ungleichung  a  < 1, so konvergiert die Reihe n=0 an absolut. n

Lösung:

1

(a) Falsch: Ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe mit an = n1. Richtig: Eine Reihe konvergiert nach Definition 5.5.1, wenn die Folge der Partialsummen sn konvergiert. Für die Konvergenz der Reihe ist nun aber notwendig (Satz 5.5.5), dass an eine Nullfolge ist. Falsch: Ein Gegenbeispiel ist wieder die harmonische Reihe. Ein weiteres Gegenbeispiel ist die geometrische Reihe 1 für |q| < 1, mit an = q n und lim n→∞ sn = 1−q . Richtig: Für N ≥ j definieren wir N X s∗N := ak . k= j

Dann gilt

s∗N =

N X k= j

ak =

N X k=0

ak −

j−1 X k=0

ak = sN −

j−1 X k=0

ak = sN − c.

| {z } c:=

Dabei hängt c nicht von N ab. Wenn nun sN für N → ∞ konvergiert, dann konvergiert auch Ns∗ = sN − c , da c konstant ist und die Summe zweier konvergenter Folgen konvergiert. Andererseits gilt natürlich auch

sN = sN∗ + c, so dass aus der Konvergenz von sN∗ auch die Konvergenz von sN folgt. P∞ (b) Richtig: Da n=0 an konvergiert, ist (an )n∈N eine Nullfolge. Somit gibt es ein N ∈PN mit an < 1 für n ≥ N . Dann ∞ gilt 0 < an2 < an für solche n. Nach dem Majorantenkriterium folgt, dass die Reihe n=0 a2n absolut konvergiert. Falsch: Da (an )n∈N eine Nullfolge ist, geht (1/an )n∈N gegen unendlich. Insbesondere ist es keine Nullfolge und P ∞ 1 divergiert. n=0 a n

Falsch: Ein Gegenbeispiel ist an = n1 (siehe Beispiel 5.5.2(c) und Beispiel 5.5.14(b)). p (c) Richtig: Damit der Grenzwert existiert, muss ( n |an |)n∈N eine Nullfolge sein. Somit konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium absolut. Falsch: Ein Gegenbeispiel ist an = 1 für alle n ∈ N. n Falsch: Ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe mit an = n1. Für n > 0 hat man | aan+1 | = n+1 < 1, aber die n harmonische Reihe divergiert.

Aufgabe G3 (Konvergenz von Reihen — Teil 1) Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren, absolut konvergieren oder divergieren. Begründen Sie Ihre Entscheidung. (a)

∞ X 2n 1 + 2n n=0

(b)

∞ X n=0

i n (mit i 2 = −1)

(c)

∞ X n=1

(−1)n 4n + (−1)n

(d)

∞ X

1 ( 3n )! n=0

Lösung: 2n 1+2 n

P∞ n ≥ 2n 2+2n = 12 und n=0 12 divergiert. (b) Wegen i 4n = ( i 2 )2n = (−1)2n = 1n = 1 bilden die Summanden keine Nullfolge. Also divergiert die Reihe.

(a) Die Reihe divergiert nach dem Minorantenkriterium, da

1 (c) Um das Leibniz-Kriterium anzuwenden zeigen wir, dass an = 4n+(−1) n eine monoton fallende Nullfolge ist:

(4n + 1) − (4n + 3) 1 1 1 1 = − ≤ − (4n + 3)(4n + 1) 4(n + 1) + (−1)n+1 4n + (−1)n 4(n + 1) − 1 4n + 1 2 ≤ 0. =− (4n + 3)(4n + 1)

an+1 − an =

Somit konvergiert die Reihe. Sie konvergiert jedoch nicht absolut, da z.B. 5n1 eine divergente Minorante für |an | ist (vgl. harmonische Reihe):     1 1 1 1 1 1 = |an | =  ≥ = ≥ = . 4n + (−1)n  |4n + (−1)n | 5n |4n| + |(−1)n | 4n + 1 4n + n

(d) Die absolute Konvergenz lässt sich mit dem Quotientenkriterium zeigen:

lim

n→∞

|an+1 | (3n)! (3n)! (3n)! = lim = lim = lim = n→∞ (3(n + 1))! n→∞ (3n + 3)! n→∞ (3n)!(3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) |an | 1 = 0 < 1. = lim n→∞ (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)

2

Hausübung Aufgabe H1 (Konvergenz von Reihen — Teil 2) (12 Punkte) Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren, absolut konvergieren oder divergieren. Beweisen Sie Ihre Entscheidung. (a)

∞ X 1 p n n=1

(b)

∞ X 2n − 1 p n 2 n=0

(c)

∞ X n2 + 7 5n2 + 1

(d)

n=0

∞ X 2n + 1 (−1)n n(n + 1) n=1

Lösung: (a) Die Reihe divergiert mit der harmonischen Reihe als Minorante: Für alle n ≥ 1 gilt

p

n ≤ n und daher pn1 ≥

1 n

> 0.

(b) Die Reihe konvergiert absolut nach dem Quotientenkriterium: Mit Satz 5.3.7 hat man      p n    an+1   2n + 1  2 + n1 2+0 1  (2(n + 1) − 1) 2      p = p   lim  = lim = lim = lim p = p < 1. p p n+1    n→∞ 2 n→∞ n→∞ n→∞   (2n − 1) 2 an (2n − 1) 2 2 2 2−0 2 2− n 2

n +7 (c) Die Reihe divergiert, da die Folgenglieder an = 5n 2 +1 keine Nullfolge bilden:

1+ n2 + 7 = lim n→∞ 5n2 + 1 n→∞ 5 +

lim an = lim

n→∞

7 n2 1 n2

=

1 1+0 = 6= 0. 5+0 5

(d) Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium: Zunächst ist an =n(n2n+1 +1) eine Nullfolge, nämlich 2

lim an = lim

n→∞

n→∞

1

0 2n + 1 n + n2 = = 0. = lim 1 n(n + 1) n→∞ 1 + n1

Außerdem ist (an ) monoton fallend, wegen

1 2n + 3 2n + 1 = − n + 1 (n + 1)(n + 2) n(n + 1) 2n + 2 =− < 0. n(n + 1)(n + 2)

an+1 − an =



   2n + 3 2n + 1 (2n + 3)n − (2n + 1)(n + 2) 1 = − n n(n + 2) n+1 n+2

Die Reihe konvergiert nicht absolut, da die harmonische Reihe eine divergente Minorante ist:

|an | =

2n 1 2n + 1 2n + 1 ≥ 2 = > 0. = n + n2 n n(n + 1) n2 + n

Aufgabe H2 (Konvergenz von Reihen — Teil 3) (12 Punkte) Bestimmen Sie, für welche x ∈ R die folgenden Reihen konvergieren, absolut konvergieren oder divergieren. (a)

∞ X n=2

1 

x−

(b)

 1 n

∞ X n=1

n

p

xn n+ x

(c)

∞ X n=1

xn p p 3 n3 n+1

Um Null als Nenner zu vermeiden kann man in (a) und (b) jeweils x ∈ / (0,21) bzw. x ≥ 0 annehmen. Lösung:

(a) Für x = 0 hat man

1 

x − n1

n =

1 (−1)n ·

 1 n = (−1)n · nn . n

Somit bilden die Summanden keine Nullfolge und die Reihe divergiert. Für x 6= 0 verwenden wir das Wurzelkriterium: Wegen v  u  u 1 1 1   n =   = lim  lim t  n→∞  x − 1 n  n→∞  x − 1 |x| n n

3

ist die Reihe absolut konvergent für  |x| > n 1 und divergent für |x| < 1. Wir müssen noch die Fälle x = 1 und x = −1 betrachten: Für x = 1 ist an = 1/ x − n1 keine Nullfolge und somit divergiert die Reihe:

n    1 1 n 1 ≥ lim 1 + 1 + = lim lim an = lim  = e > 0.  n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 1 − 1 n n−1 n n

Auch für x = −1 ist an keine Nullfolge und die Reihe divergiert. Dazu zeigt man, dass |an | keine Nullfolge ist:     1 1 1 1   lim |an | = lim   lim     = lim  n  = n→∞  = 6= 0. (−1)n 1 + 1 n  n→∞ 1 + 1 n n→∞ n→∞ −1 − 1  e n

n

(b) Die Reihe divergiert für alle x > 0, da in diesen Fällen

lim an = lim p

n→∞

n→∞

xn an = pn+x

n

keine Nullfolge ist:

p x n xn = lim x = ∞. n + x n→∞ 1 + pn

Für x = 0 konvergiert die Reihe absolut (alle Summanden sind Null). (c) Für x = 0 sind alle Summanden Null und die Reihe konvergiert absolut. Für x 6= 0 verwenden wir das Quotientenkriterium:     s  an+1   n   = lim  x · 3 = |x|. lim  n→∞ a  n→∞  n+2 n

Die Reihe ist also absolut konvergent für |x| < 1 und divergent für |x| > 1. Wir müssen noch die Fälle x = 1 und x = −1 betrachten: Für x = 1 hat man

an = p 3 Die Reihe ist also divergent mit dem Leibniz-Kriterium, da bn =

1 n2

+n

≥p 3

1 n2

+

n2

≥ p 3

1

=

8n3

1 . 2n

1 P∞

1 n=1 n als Minorante. Für x = −1 konvergiert die 1 eine monoton fallende Nullfolge ist (Nenner p 3p 3 n n+1

2

Reihe

(−1)n p 3 n 3 n+1 n=1 p

P∞

nach

wächst mit n). Die Reihe

konvergiert aber nicht absolut, wie im Fall x = 1 gesehen.

Aufgabe H3 (Exponentialfunktion und Werte von Reihen) 1 (a) Zeigen Sie e x ≤ 1−x für alle x ∈ [0, 1). (Tipp: Verwenden Sie die geometrische Reihe.)

(12 Punkte)

(b) Zeigen Sie 1 + x ≤ e x für alle x ≥ 0.

(c) Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihen. i.

∞ X 5 · 3n n=0

ii.

4n+2

∞ X k=2

(Tipp zu ii: Finden Sie eine Folge (ak ) mit ak−1 − ak+1 =

2 k2 − 1

2 .) k 2 −1

Lösung: (a) Sei 0 ≤ x < 1. Dann gilt 0 ≤

xn n! ≤

x n für alle n ∈ N und ex =

P∞

n=0

xn =

1 1−x

(geometrische Reihe). Deshalb gilt

∞ ∞ X 1 xn X n ≤ x = . n! 1 − x n=0 n=0

(b) Wegen x ≥ 0 gilt x n ≥ 0 für alle n ∈ N. Dann hat man

ex = (c)

∞ ∞ X X xn xn ≥ 1 + x. = 1+ x + n! n! n=2 n=0

i. Mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe erhalten wir ∞ X 5 · 3n n=0

4n+2

=

∞   5 5 5 X 3 n 1 = 2· = . 42 n=0 4 4 4 1 − 43

4

ii. Für ak = k1 hat man

2 1 1 (k + 1) − (k − 1) = − = = ak−1 − ak+1 . (k − 1)(k + 1) k−1 k+1 k2 − 1 Mit einer Indexverschiebung haben wir also n X

2 2−1 k k=2

n X

n−2 n n X X X 1 1 1 1 − − = k − 1 k=2 k + 1 k=0 k + 1 k=2 k + 1

=

1+

X 1 1 X 1 1 1 − − − + 2 k=2 k + 1 k=2 k + 1 n n + 1

=

3 1 1 . − − 2 n n+1

=

k=2

n−2

n−2

Damit ist ∞ X

  n X 3 3 1 2 2 1 = . − − = lim = lim 2−1 2−1 n→∞ 2 n→∞ n+1 2 n k k k=2 k=2

5...