Uebung Mathe 3 02 Divergenz Rotation PDF

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Übung Mathematik 3...

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WS 2016/17

Mathematik 3 für Maschinenbauer

D. Mottaghy

Übung 2 Divergenz und Rotation Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Divergenz der folgenden ebenen Vektorfelder:    −y      3 1 x ~ 1 (x, y) = −y , F~2 (x, y) = x + 1 , F ~3 (x, y) = xe−x , F~4 (x, y) = F 2 x xy ye x2 + y 2 y Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Punkte der x, y-Ebene, in welchen die Divergenz des ebenen Vektorfeldes   xy2 ~ F (x, y) = 2 x y − 4y verschwindet. Aufgabe 3 Bestimmen Sie die Divergenz der folgenden räumlichen Vektorfelder:    3 2 2x z xy − x2 z ~ (x, y, z) = x2 − z 2  , ~v(x, y, z) =  2yz 2  F xyz x2 y + yz Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Divergenz des Gradienten der skalaren Funktion Φ)(x, y, z) = (x − 1)2 + (y − 5)2 + z 2

Aufgabe 5  xy2 Bestimmen Sie die Divergenz des Vektorfeldes ~v(x, y, z) = 2yz 3  in den folgenden Punkten: xyz P1 = (2, 0, 1), P2 = (1, 2, −1) und P3 = (3, 2, 3) 

Aufgabe 6 Berechnen Sie div ∇ |~1r| für ~r ∈ R3 . Aufgabe 7 Im Innern (|~r| ≤ R) einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius R herrscht die elektrische Feldstärke   x Q ~ r) = y  E(~ 3 4πε0 R z Dabei ist Q die Ladung der Kugel und ε0 die elektrische Feldkonstante. Berechnen Sie die Divergenz dieses Feldes. 1/2

Mathematik 3 für Maschinenbauer

WS 2016/17

D. Mottaghy

Aufgabe 8 Bestimmen Sie für das Vektorfeld  xy2 F~ (x, y, z) =  2x2 yz  −3yz 2 

~ (x, y, z). die Rotation rot F Aufgabe 9 Gegeben ist das Vektorfeld  xy2 ~v(x, y, z) = 2yz 3 )  xyz 

a Berechnen Sie die lokale Quell- und Wirbelstärke an der Stelle P (2, 0, 1). b Bestimmen Sie für dieses Feld die Quellstärke eines Würfels V mit Seitenlänge s = 1 im ersten Oktanten. Eine Ecke liege im Ursprung. Aufgabe 10 Für welche Parameter a und b verschwindet überall die Rotation des Vektorfeldes   2xz 2 + y3 z  F~ (x, y, z) =  axy2 z 2x2 z + bxy3 Aufgabe 11 Zwischen den Ufern von g1 : x = −1 und g2 : x = 1 strömt ein Fluss mit dem Geschwindigkeitsfeld   0 ~v(~r) = 1 − x2 Untersuchen Sie die lokalen Wirbel (Drehrichtung, Stärke) an den Stellen P1 (1, 0, 0), P2 (1/2, 0, 0), P3 (−1, 0, 0), P4 (−1/2, 0, 0) Skizzieren Sie die Verhältnisse. Aufgabe 12 In einem Rohr, dessen Achse die y-Achse und dessen Durchmesser 2R ist, strömt eine Flüssigkeit welche sich durch das Vektorfeld   0 ~v(~r) = R2 − x2 − z 2 0

beschreiben lässt. Veranschaulichen Sie die Strömung durch Pfeile und zeigen Sie, dass sie quellenaber nicht wirbelfrei ist. Aufgabe 13 Zeigen Sie, dass die skalare Funktion Φ(r) = im Raum, nicht aber in der Ebene ist.

1 r

(r > 0) eine Lösung der Laplace-Gleichung ∆Φ = 0

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