Uebung 05 nur Aufgaben - Mathe 3 für EtIt Übungen, 2021/2020, Differentialrechnung PDF

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Mathe 3 für EtIt Übungen, 2021/2020, Differentialrechnung...

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Mathematik III für ET 5. Übungsblatt Fachbereich Mathematik PD Dr. Kersten Schmidt Oliver Habrich

WiSe 2021/22 17.– 19.11.2021

Gruppenübung

Aufgabe G14 (Klassifizierung von Differentialgleichungen) Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an und bestimmen Sie jeweils die Ordnung. Die folgenden Differentialgleichungen sind:

i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix.

y ′ (t) = 1 + x + y (t) y ′ (t) = y 2 (x) y ′′ (x) = ( y ′ (t))2 + y(t) sin(x y ′ (t)) = 0 ( y(t) y (5) (x))2 + x y ′′ (x) + ln( y(t)) = 0 sin(x) y ′′ (x) − x y ′ (t) = x 3 y ′ (t) = x y(t)2 y ′ (t) = 2x y(t) x 2 y ′′′ (x) + x y ′ (t) + 5 y (t) = 2 sin(x)

x. xi.

y ′′ (x) = − −5 y (t) y ′ (t) = sin( y (t))

linear

nicht linear

implizit

explizit

homogen

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( y ′ (t))2

Ordnung [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

Aufgabe G15 (Trennung der Variablen) Bestimmen Sie jeweils eine Lösung der Anfangswertprobleme (i) y ′ (t ) = y( t )3 , y(0) = 1, (ii) y ′ (t) = y (t)3 , y(0) = −1, (iii) y ′ (t) = y (t)3 , y(0) = 0, (iv) y ′ (t ) = 2t y( t )2 , y(0) = 1, (v) y ′ (t ) = 2t y( t )2 , y(0) = −1. (vi) y ′ (t) =

2t y (t)

für t > 0 und lim t→0+ y(t) = 0.

Geben Sie jeweils das größte Intervall an, auf dem die Funktion Lösung ist. Ist die jeweilige Lösung jeweils eindeutig? Aufgabe G16 (Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung) (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung yh (t) der Differentialgleichung

y ′ (t) =

1 y(t), t

t > 0.

(b) Bestimmen Sie eine Lösung y p (t) der Differentialgleichung

y ′ (t) =

1 y(t) + 1, t

t > 0. 1

(c) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

 

1 y(t) + 1, t  y(1) = 1. y ′ (t) =

t > 0,

(d) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

 

1 y(t) + t, t  lim y(t) = 0. y ′ (t) =

t > 0,

t→0+

(e) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

  y ′ (t) = 1 − t y(t) + 1, t  y(1) = 0 .

t > 0,

Aufgabe G17 (Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten) (a) Bestimmen Sie jeweils eine Lösung der Differentialgleichungen i. iv.

y ′ (t) = y (t) + 1,

ii.

y ′ (t) = y (t) + t,

y ′ (t) = y (t ) + cos t ,

v.

y ′ (t) = y (t) + t cos t ,

′

−t

vi.

y (t) = y (t) + e ,

viii.

y ′ (t) = y (t) + et ,

x.

′

−t

y (t) = y (t) + 1 + cos t + e

t

+e ,

vii.

y ′ (t) = y (t) + t e−t ,

ix.

y ′ (t) = y (t) + t et ,

xi.

y ′ (t) = y(t) − t + 2t cos t − 3t e−t + 4t et .

iii.

y ′ (t ) = y( t ) + t 2 ,

Hinweis: Verwenden Sie den Ansatz der rechten Seite, wie in der Vorlesung vom 15. November eingeführt. (b) Bestimmen Sie die jeweilige Lösung mit der Anfangsbedingung

y(0) = 0.

2

Hausübung

(Abgabe bis 26. November 2021, 16.00 Uhr auf Moodle oder in Präsenzübung)

Bitte den Lösungsweg durch Text und/oder klare Darstellung verständlich machen! Aufgabe H11 (Trennung der Variablen) Bestimmen Sie eine Lösung des Anfangswertproblems



(3t + 1) y ′ (t) = y(t)2/3 ,

(4 Punkte)

t > 0,

y(0) = 1.

Geben Sie das größtmögliche Intervall, auf dem die Funktion y(t) Lösung ist. Begründen Sie. Hinweis: Die Funktion x 7→ x 2/3 (d.h. exp(32 ln(x)) für x > 0) ist nur auf dem Intervall [0, ∞) definiert. Aufgabe H12 (Anfangswertproblem) (a) Lösen Sie das Anfangswertproblem

(4+4 Punkte)



y ′ (t ) = −2 y(t) + t 2 − 2e−2t , y(0) = 0.

(b) Lösen Sie das Anfangswertproblem



y ′ ( t) = −2t y ( t) + t, y(0) = −1.

3...