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Reihen Kriterium Zusammenfassung...

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H¨ohere Mathematik I WS 2018/19 Aachen, den 03.12.2018

Prof. Dr. Stanislaus Maier-Paape

Teil A ¨ Ubersicht u ur Reihen ¨ber Konvergenzkriterien f¨ X • Trivialkriterium: ak divergiert, falls ak keine Nullfolge ist. Immer zuerst u ¨ berpr¨ufen! Nur geeignet zum Zeigen von Divergenz! • Vergleichskriterium: X X ur gen¨ugend große k ∈ N – Majorantenkriterium: |ak | konvergiert, falls bk konvergiert und f¨ immer bk ≥ |ak | gilt. X X – Minorantenkriterium: |ak | divergiert, falls bk divergiert und f¨ur hinreichend große k ∈ N immer 0 ≤ bk ≤ |ak | gilt. X p(k) X 1 – Reihen der Form onnen verglichen werden mit Reihen wie , p, q Polynome, k¨ . q(k) kα Hier ist bekannt: α > 1 ⇒ Konvergenz, α ≤ 1 ⇒ Divergenz. X 1 – Auch geeignet als Vergleichsreihen: geometrische Reihen der From , q ∈ R \ {0}. qk Hier hat man Konvergenz f¨ ur |q| > 1, sonst Divergenz. • Quotienten- und Wurzelkriterium: Geeignet, falls bei den Folgegliedern, ¨uber die summiert wird, der Summationsindex (irgendwo) im Exponenten steht.   X   kleiner bzw. gr¨oßer als Eins ist.  – Quotientenkriterium: ak konv./div., falls lim  aak+1 k k→∞ Quotientenkriterium atzlich gut geeignet, falls Fakult¨ aten auftauchen. X ist zus¨ p k – Wurzelkriterium: ak konv./div., falls lim |ak | kleiner bzw. gr¨oßer als Eins ist. k→∞ – Beide Kriterien: Jeweiliger Grenzwert GLEICH 1: Keine Aussage m¨oglich (mit dem jeweiligen Kriterium!). Anderes Kriterium probieren, nicht aufgeben!!! X ur Reihen der Form (−1)k ak . • Leibniz-Kriterium (nicht: Leibnitz-Kriterium!): Geeignet f¨ Wenn {ak } eine monoton fallende Nullfolge mit positiven Gliedern ist, konvergiert die Reihe. ?

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Also u¨berpr¨ufen: lim ak = 0, ak > 0 und ak+1 < ak f¨ur k ∈ N hinreichend groß. k→∞

Nur geeignet zum Zeigen von Konvergenz. • Cauchy Verdichtungssatz: Geeignet, falls bei Folgegliedern, u¨ber die summiert wird, log(·) vorkommt. Voraussetzung: {ak } monoton fallende X XNullfolge mit positiven Gliedern, vgl. Leibniz. Dann: ak konv./div. genau dann, wenn 2k a2k konv./div. Geeignet zum Zeigen von Konvergenz und Divergenz. Achtung: Die neue“ Reihe muss mit einem weiteren Kriterium untersucht werden! ”...