Reihen - Zusammenfassung PDF

Preview

Summary

Reihen - Zusammenfassung...

Description

Konvergenzkriterien - Konvergenzradius - Konvergenzintervall • Satz 2.18 :

∞ X

1 : α n=1 n

  

Konvergiert, wenn α > 1 Divergiert, wenn α 6 1

• Ist ( an )n∈N keine Nullfolge ⇒ divergiert die Reihe • Geometrische Reihe : ∞ P

qn :

  

n=0

Konvergiert, wenn |q| < 1 Divergiert, wenn |q| ≥ 1

• Majorantenkriterium : |an | ≤ bn dann konvergiert die Reihe konvergiert. • Minorantenkriterium : |an | ≥ bn dann divergiert die Reihe divergiert.

,

∞ P

an . (:)

∞ P

qn =

n=0

n=0

1 1−q

∞ P

an wenn die Reihe

∞ P

an wenn die Reihe

∞ P

bn

∞ P

bn

n=0

n=0

n=0

n=0

• Leibniz-Kriterium : Ist ( an )n∈N eine monoton fallende Folge und ∞ P (−1)n an . Nullfolge ⇒ konvergiert die alternierende Reihe n=0

• Wurzelkriterium : ∞ X n=0

an :

          

q

Konvergiert, wenn n→∞ lim n |an | < 1 q n |a | > 1 Divergiert, wenn lim n→∞ q n n Keine Aussage, wenn n→∞ lim |an | = 1

• Konvergiert die Reihe giert.

∞ P

an absolut, wenn die Reihe

∞ P

n=0

n=0

|an | konver-

• Mathe 1 : n→∞ lim (1 + nx )n = ex Jameel Komaira 1

• Quotientenkriterium ( auch absolut konvergenz ): ∞ X

an :

n=0

              

   an+1   Konvergiert, wenn n→∞ lim  an  < 1   an+1   > 1  Divergiert, wenn lim n→∞  an      =1 Keine Aussage, wenn n→∞ lim  aan+1  n

• Satz 2.16 : lim sup(an )n∈N 6 1, dann ist keine Wenn n→∞ lim sup(an )n∈N ≥ 1 und n→∞ Aussage bezüglich Konvergenz der Reihe möglich. • Potenzreihe : ∞ X n=0

an (x − x0 )

n

:

  

Konvergiert, wenn Divergiert, wenn

|x − x0 | < 1 |x − x0 | > 1

• Konvergenzradius : Berechnung von ρ : 1. ρ = 2. ρ =

1 √ lim sup n |an | n→∞    a   n  lim n→∞  an+1 

• Konvergenzintervall : Jede Potenzreihe hat einen Konvergenzradius ρ (ρ ≥ 0 oder ρ = ∞) a) ρ = 0 : Die Reihe konvergiert nur für x = x0 b) ρ = ∞ :Die Reihe konvergiert absolut für alle x ∈ R

c) 0 < ρ < ∞ : Reihe konvergiert absolut für alle x aus dem Konvergenzintervall |x − x0 | < ρ, divergiert für |x − x0 | > ρ, die Randpunkte |x − x0 | = ρ sind getrennt zu untersuchen.

Jameel Komaira

2...