Un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo de primer orden es una expresión del tipo PDF

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Un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo de primer orden es una expresión del tipo:

Y´ =f ( Y ) Donde f : R → R n es continuamente diferenciable. La función f es conocido como campó vectorial alternativamente podemos escribir la anterior expresión como:

()(

y1 f 1 ( y1 , … , yn ) f ⋮ = ⋮ yn f n ( y 1 , … , y n) A

f1,…,fn

)

se las llama funciones coordenadas de f

El sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden puede expresarse como:

y´1=f 1 ( y 1 ,… , y n ) ⋮ Si las f i (i=1, … ,n) funciones son lineales  y´ n=f n ( y 1 , … , y n ) a ´y =(¿ ¿ 11 y 1+, … ,+a1 n xn ) ¿⋮ ¿ a y´n=(¿ ¿ n 1 y 1 +, … ,+ann y n ) Al considerar un sistema lineal podemos utilizar la notación matricial para representar el sistema de ecuaciones diferenciales

(

a11 … a 1n A= ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … ann

)

La matriz de coeficientes. Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales se escribe como

Y´ = AY Proposición Si una ecuación diferencial de orden n es lineal también es lineal el sistema asociado de n ecuaciones diferenciales de primer orden

Demostración Dada la ecuación diferencial lineal homogénea de grado n

n n−1 y ¿ ¿+P1 . y ¿ ¿+ …+ Pn−1 . y ´ + Pn . y´ =0

Realizando el cambio de variable

y=w1 y´ = w´ 1=w 2 y´ ´ =w´ ´ 1=w ´ 2=w 3 n−1 y ¿ ¿=w ´ ´ ´1=w ´ ´ 2=wn Por lo tanto la ecuación se transforma en el siguiente sistema de ecuaciones lineales de primer orden

w ´ 1 =w2 w ´ 2=w3 ⋮⋮

n−1 w ´ n=w n−1−P1 . y ¿ ¿−…−P n−1 . y´ −Pn . y

Considerando funciones vectoriales linealmente independientes

Y´ 1= A Y 1 ⋮ ´Y m= A Y m

Por el principio de superposición se tiene que la solución del sistema sería

Y ( t ) =c 1 Y 1 ( t )+…+c m Y m ( t )

La estrategia general es encontrar 1. Encontrar n soluciones linealmente independientes

Y ( t ) =c 1 Y 1 ( t )+…+c m Y m ( t ) 2. Verificamos que las soluciones sean linealmente independientes por medio del Wronskiano Supongamos que cada una de las funciones f 1 ( X ) , f 2 ( X) , … , f n ( X ) posee n-1 derivadas. El determinante es

|

|

f1 f2 … fn … fn f2´ W (f 1 , … , f n )= f 1 ´ ⋮ … ⋮ ⋮ (n−1 ) (n−1 ) (n−1) f2 … fn f1

Se llama Wronskiano de las funciones el cual verifica que las soluciones obtenidas sean linelamente independientes en una ecuación diferencial de n-esimo orden a este conjunto de soluciones se le conoce como conjunto fundamental de soluciones

3. Se ajustan las constantes para satisfacer la condición inicial

c 1 Y 1 ( t 0 ) +…+c m Y m ( t 0 )=Y 0

MÉTODO DE VALORES PROPIOS Sea A una matriz cuadrada nxn. Un vector propio de cero que satisface

Av =λ v

( A−I λ ) v =0 → Solución no trivial det( A−I λ )→ Polinomio caracteristico

v , con valor propio λ es un vector diferente

Valores propios son raíces de este polinomio Matrices 2x2

(

a b c A= d e f g h i

)

p A ( λ ) =det ( A−I λ ) =

(

a−λ d g

b c e−λ f h i− λ

)

Por lo tanto 2 1¿ p A ( λ) =− λ3 +tr ( A ) λ +

1 ( tr ( A 2 ) +tr ( A )2) λ +det( A) 2

Obteniendo así los valores propios

λ1 , λ2 y λ 3

Para encontrar los vectores característicos asociados a estos valores propios

(

2¿

)( ) ( )

j1 a−λ1 b c 0 = 0 d e −λ2 f j2 0 g h i−λ3 j3

( a−λ1 ) j1 +b j2+c j3 =0 d j1+ ( e−λ 2) j 2+f j3=0 g j1+ h j 2 + ( i−λ 3) j3=0 Se resuelve e l sistema de ecuaciones dando un valor inicial por ejemplo a Y obtenemos los vectores propios

j 1=1

v 1 , v 2 , v 3 asociados a los valores propios

λ 1 , λ2 y λ 3 3) Verificamos que los vectores propios calculados de la siguiente forma:

v 1 , v 2 , v 3 no son una solución trivial

A v i= λi v i i=1, 2,3 4) Las tres soluciones linealmente independientes del problema vienen dadas por

Y 1( t ) =e λ Y 2( t ) =e

1

λ2

Y 3( t ) =e λ

3

Por el principio de superposición λ1

λ2

Y ( t ) =c 1 e + c 2 e + c 3 e

λ3

5) Verifico si el conjunto de soluciones son linealmente independientes por medio del Wronskiano

|

λ1

1

2

3

λ3

λ2

e λ λ λ W ( e ,e , e ) = e λ ´ λ e ´´

|

e e λ ´ λ e e λ λ e e ´´

1

3´

2

2´ ´

1

3

6) Finalmente con las condiciones iniciales hallo el valor de las constantes

c 1 Y 1 ( t 0 ) +c 2 Y 2 (t 0 ) +c 3 Y 3 ( t 0 ) =Y 0 c 1= k 1 , c 2= k 2 y c 3 = k 3

Obteniendo así la solución final al sistema de ecuaciones diferenciales λ1

λ2

Y ( t ) =k 1 e +k 2 e +k 3 e

λ3

Del ejercicio

|

2t −t W ( e , e )=

2t

−t

|

e e t 2t −t =−3 e ≠ 0 2 e −e

TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA DE n ECUACIONES DE PRIMER ORDENA A UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ORDEN n

Tenemos el sistema de ecuaciones

w ´1 0 1 0 w1 0 0 1 w2 + 0 w ´2 = 0 −P − P − P1 w 3 0 w ´3 3 2

[ ][

][ ] [ ]

Sistema de ecuaciones diferenciales 3x3 (3 incógnitas)  ecuación diferencial de 3er orden

1 ¿ w ´ ¿1 =w2 2 ¿ w ´ ¿2 =w3 3 ¿ w ´ ¿3 =−P3 w1 −P 2 w 2−P3 w 3

Derivando 1 4) w ´ ´ 1 =w ´ 2 Sustituyendo 4 en 2

5 ¿ w ´ ´ 1=w3 Derivando 5

6 ¿ w ´ ´ ´1=w ´ 3 Sustituyendo 6 en 3

w ´ ´ ´1=−P3 w1−P 2 w 2−P1 w3 Dejando la ecuación en términos de w 1

w ´ ´ ´1=−P3 w1−P 2 w ´ 1−P1 w ´ ´ 1 Dado que

x=w 1 x ´ ´ ´=−P3 x −P 2 x ´−P1 x ´ ´ x ´ ´ ´+ P3 x+P 2 x ´ +P1 x´ ´=0...