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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS G. M. Sotkov e U. Camara da Silva Notas de Funções Especiais, versão 3.1.3 VITÓRIA 2017 Resumo Estas notas, auto-consistentes, foram feitas para auxiliar o aluno (você mesmo) no estudo das seguintes funções especiais: Gamma, Beta, Hipe...

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

G. M. Sotkov e U. Camara da Silva

Notas de Funções Especiais, versão 3.1.3

VITÓRIA 2017

Resumo Estas notas, auto-consistentes, foram feitas para auxiliar o aluno (você mesmo) no estudo das seguintes funções especiais: Gamma, Beta, Hipergeométrica, Hipergeométrica Confluente, os Polinômios de Hermite, de Legendre, de Laguerre e Laguerre Associados, as Funções de Legendre Associadas e Funções de Bessel. Nós enfatizamos propriedades que serão úteis em vários cursos - condições para as hipergeométricas se tornarem polinômios e expansões assintóticas das hipergeométricas. Também são oferecidos vários exercícios, todos com aplicações em física, com o objetivo de estimular o aluno a se interessar mais pelo assunto. Temos cinco apêndices que complementam o texto. No primeiro há uma pequena introdução sobre a Transformada de Fourier (essencial na Mec. Quântica) e a “função” Delta de Dirac; no segundo as possíveis singularidades de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) são analisadas; o terceiro é dedicado à obtenção da segunda solução independente duma EDO de segunda ordem quando já conhecemos uma solução; no quarto tratamos do problema de Sturm-Liouville; o quinto apêndice é dedicado ao estudo de integrais gaussianas e na aproximação de ponto de sela. Todo o conteúdo das notas pode ser encontrado nas referências bibliográficas, não há nada de novo aqui. O diferencial está nos cálculos detalhados e na ordem de exposição. Os livros, em geral, discutem as funções hipergeométrica e hipergeométrica confluente após o estudo das funções especiais usuais. Nós fazemos exatamente o oposto, começamos com as hipergeométricas, para depois introduzir as outras funções especiais que no fundo são casos particulares das duas. Na “segunda edição” vários erros de digitação foram corrigidos1 . Algumas melhorias foram feitas na parte da função Gamma, acrescentamos os capítulos sobre polinômios de Laguerre, funções de Bessel e o apêndice sobre integrais gaussianas. Na “terceira edição”, os textos sobre continuação analítica da função Gamma e assintóticos da hipergeométrica foram refeitos, o apêndice sobre singularidades regulares e essenciais foi incluído junto com uma aplicação no texto (última seção do capítulo 2). Agradecemos se o leitor enviar sugestões, críticas ou relatar erros para [email protected].

1

Os autores agradecem a aluna do PPGFis Amanda Ziviani de Oliveira pela ajuda voluntária.

Sumário 1 Funções Gamma e Beta

1

1.1

Função Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Função Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Relação entre a função Gamma e funções trigonométricas . . . . . . . . . .

6

1.4

Fórmula de duplicação de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Funções Hipergeométrica e Hipergeométrica Confluente 2.1

2.2

2.3

2.4

12

Função Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1

Equação diferencial e solução via série de potências . . . . . . . . . 12

2.1.2

Soluções centradas nas outras singularidades . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3

Representação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.4

Relações Úteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.5

Expansões Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Função Hipergeométrica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1

Equação diferencial e solução via série de potências . . . . . . . . . 23

2.2.2

Representação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3

Expansão Assintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.4

Hipergeométrica confluente como um problema de Sturm-Liouville . 28

Resolvendo problemas com as Hipergeométricas . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1

Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2

Hipergeométrica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.3

Correspondência entre os dois casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Polinômios de Hermite

43

3.1

Definição via Função Geratriz, Relações de Recorrência e a EDO de Hermite 43

3.2

Ortogonalidade e norma dos Polinômios de Hermite . . . . . . . . . . . . . 44

3.3

Relação com a função Hipergeométrica Confluente . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4

Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Funções de Legendre 4.1

4.2

4.3

Polinômios de Legendre

50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.1

Função Geratriz, Relações de Recorrência e Equação Diferencial . . 50

4.1.2

Ortogonalidade e norma dos polinômios de Legendre . . . . . . . . 52

4.1.3

Relação entre os polinômios de Legendre e a função hipergeométrica 54

4.1.4

Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Funções de Legendre Associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.1

Definição e equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2

Ortogonalidade e norma das Funções de Legendre Associadas

4.2.3

O caso m < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Polinômios de Laguerre 5.1

5.2

5.3

62

Polinômios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.1.1

Equação Diferencial e relação com a Hipergeométrica Confluente . . 64

5.1.2

Ortonormalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Polinômios de Laguerre Associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2.1

Definição e Relação de Recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.2

Equação diferencial e relação com a Hipergeométrica Confluente . . 69

5.2.3

Ortonormalidade dos Polonômios de Laguerre Associados . . . . . . 70

Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Funções de Bessel 6.1

. . . 58

73

Função de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.1.1

Representação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.2

Função de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.3

Ortogonalidade da Função de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.1.4

Normalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2

Equação de Bessel modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3

Relação com a função hipergeométrica confluente . . . . . . . . . . . . . . 87

6.4

Forma assintótica das funções de Bessel e Bessel modificada . . . . . . . . 89

6.5

Funções de Bessel esféricas e Henkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.5.1

Funções de Bessel Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.5.2

Funções de Henkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.6

Função de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.7

Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A Transformada de Fourier e Delta de Dirac

101

A.1 Delta de Kronecker e Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 A.3 Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A.4 Transformada de Fourier em d dimensões e consequências . . . . . . . . . . 106 B Singularidades em EDO

111

C Wronskiano e a segunda solução independente

116

C.1 Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 D Problema de Sturm - Liouville

121

E Integrais gaussianas

124

E.1 Integral Gaussiana: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 E.1.1 Gaussiana de argumento complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 E.2 Método do ponto de Sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 E.2.1 Caso real

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

E.2.2 Caso complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 E.3 Teorema de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Referências Bibliográficas

135

1

Capítulo 1

Funções Gamma e Beta

1.1

Função Gamma

A função Gamma pode ser definida como a integral abaixo:

Γ(z) ≡

Z

∞ 0

e−t tz−1 dt ; ℜe(z) > 0,

(1.1)

sua propriedade mais importante é:

(1.2)

Γ(1 + z) = zΓ(z).

Para provar, basta integrar a eq. (1.1) por partes Z t=∞ Γ(1 + z) = −e t  +z −t z 

t=0

∞

e−t tz−1 dt = zΓ(z).

0

Repare que Γ(1) = 1, então para z = n ∈ N, temos de (1.2) que: Γ(1 + n) = n!. Ou seja, Γ(z) é uma generalização natural do fatorial. Outra quantidade importante é Γ(1/2)

Γ(1/2) =

Z

∞ 0

−t − 21

e t

t=u2

dt = 2

Z

∞ 0

2

e−u du =

√

π,

2 =⇒ Γ(3/2) = 12 Γ(1/2) =

√

π ; 2

Γ(5/2) = 32 Γ(3/2) =

√ 3 π ; 4

. . . onde novamente usamos a eq.

(1.2)1 . Quando o argumento z (assumido real) é muito maior que a unidade, a função Gamma pode ser aproximada por

Γ(z) ≈

√

2π(z − 1)z−1/2 e−(z−1) , z ≫ 1,

(1.3)

chamada de fórmula de Stirling, cuja demonstração encontra-se no apêndice E (eq. (E.11)). A eq. (1.1) está definida na região ℜe(z) > 0, porém com uma continuação analítica, pode-se definir a função Γ(z) em todo plano complexo, exceto nos seus pontos singulares (que iremos descobrir). Mas antes de prosseguir, vamos responder a pergunta que está na sua cabeça (ou não): o que é uma extensão (ou continuação) analítica? A ideia é utilizar a própria definição (1.1) em conjunto com a propriedade (1.2) para estender o domínio de validade da função Gamma para além de ℜe(z) > 0. Por exemplo, a eq. (1.2) pode ser reescrita como

Γ(z) =

Γ(1 + z) . z

(1.4)

De acordo com a definição (1.1), o lado direito é bem definido ∀ ℜe(z) > −1 e z 6= 0. Portanto a igualdade serve como uma definição da função Γ(z) (lado esquerdo) que estende sua validade ∀ ℜe(z) > −1 e z 6= 0, esse é um exemplo de continuação analítica. Um comentário importante é que tomando z = ǫ ≪ 1 fica claro que Γ(z) possui polo simples em z = 0, pois Γ(ǫ) =

Γ(1 + ǫ) Γ(1) 1 ≈ = . ǫ ǫ ǫ

O mesmo raciocínio pode ser utilizado para o domínio da função Γ(z) ser estendido ainda 1

Uma fórmula geral para Γ(n + 1/2), n = 0, 1, 2, . . ., será derivada, ver eq. (1.20).

3 mais. Utilizando duas vezes (1.2)

Γ(2 + z) = (1 + z)Γ(1 + z) = (1 + z)zΓ(z),

ou ainda

Γ(z) =

Γ(z + 2) . z(z + 1)

(1.5)

O lado direito está definido (de acordo com (1.1)) ∀ z, ℜe(z) > −2 e z 6= 0, −1. Conseguimos uma extensão analítica ainda maior para Γ(z). Além do polo em z = 0 percebemos que a função possui um outro polo simples em z = −1, já que Γ(−1 + ǫ) =

Γ(1) 1 Γ(1 + ǫ) ≈− = − , |ǫ| ≪ 1. (−1 + ǫ)ǫ ǫ ǫ

O processo pode ser repetido indefinidamente, basta utilizar n + 1 vezes (1.2)

Γ(z) =

Γ(z + n + 1) , z(z + 1)(z + 2) . . . (z + n)

(1.6)

o novo domínio de Γ(z) é ℜe(z) > −n − 1, com z 6= 0, −1, −2, . . . , −n, onde a função possui polos simples. Ao tomar o limite n → ∞ temos a extensão analítica de Γ(z) para todo plano complexo. Com isso descobrimos que Γ(z) é uma função meromórfica, definida em todo plano complexo exceto nos polos simples localizados em z = 0, −1 − 2, −3, . . .. Uma forma de tomar o limite (que resulta numa expressão elegante) sem relacionar uma função Gamma com outra é através do seguinte processo: comecemos reescrevendo a eq. (1.1)

Γ(z) = lim

n→∞

Z

n 0



1−

t n z−1 t dt, n

4 já que2

lim

n→∞



∞

t n X tn = 1− (−1)n ≡ e−t . n n! n=0

Agora faça a troca de variável u =

Γ(z) =

lim n

n→∞

z

Z

zn

t n

e comece um processo de n integrações por partes

1 0

(1 − u)n uz−1 du

Z

1

(1 − u)n−1 uz du z 0 Z 1 z n(n − 1) = lim n (1 − u)n−2 uz+1 du n→∞ z(z + 1) 0 Z 1 z n(n − 1)(n − 2) (1 − u)n−3 uz+2 du = lim n n→∞ z(z + 1)(z + 2) 0 .. . Z 1 n(n − 1)(n − 2) . . . 1 z = lim n (1 − u)n−n uz+n−1 du, n→∞ z(z + 1)(z + 2) . . . (z + n − 1) 0 | {z }

=

lim n

n→∞

1 = z+n

logo

Γ(z) = lim

n→∞

n! nz , z(z + 1)(z + 2) . . . (z + n)

(1.7)

que é equivalente ao resultado (1.6) no limite n → ∞. Essa é uma forma explícita de escrever Γ(z) em todo plano complexo, exceto nos pontos z = 0, −1, −2, . . ., onde a função possui polos simples. A eq. (1.7) pode ser encarada como a definição mais geral (i.e. com a maior extensão analítica possível) da função Γ(z), seu problema é ser de difícil manuseio3 .

1.2

Função Beta

A função Beta é definida como a seguinte combinação de funções Gammas:

B(a, b) ≡ 2 3

Γ(a)Γ(b) Γ(a + b)

o famoso limite fundamental que pode ser facilmente verificado via expansão binomial uma propriedade que não é difícil provar com essa fórmula é: Γ(1 + z) = zΓ(z). Prove!

(1.8)

5 Através da eq. (1.1), vamos derivar uma representação integral para a função Beta. Z

Γ(a)Γ(b) =

∞

e−x xa−1 dx

0

! Z

∞

e−y y b−1 dy

0

!

; ℜe(a), ℜe(b) > 0

com a troca: x = u2 ; y = v 2

⇒ Γ(a)Γ(b) = 4

Z

∞

du

0

Z

∞

dve−(u

2 +v 2 )

u2a−1 v 2b−1

0

u = r cos θ e v = r sin θ Z

=4 1 2

∞

e

−r2

|R0

r2(a+b)−1 dr {z }

∞ −t a+b−1 t dt= 12 Γ(a+b) 0 e

! Z

π 2

(cos θ)2a−1 (sin θ)2b−1 dθ

0

!

Levando à representação integral de B(a, b):

B(a, b) = 2

Z

π 2

0

(cos θ)2a−1 (sin θ)2b−1 dθ ; ℜe(a), ℜe(b) > 0

(1.9)

Formas Alternativas: t = (cos θ)2 em (1.9)

B(a, b) =

Z

1

ta−1 (1 − t)b−1 dt

0

(1.10)

t = x2 em (1.10)

B(a, b) = 2

t=

u 1+u

Z

1 0

x2a−1 (1 − x2 )b−1 dx

(1.11)

em (1.10)

B(a, b) =

Z

∞ 0

ua−1 du (1 + u)a+b

(1.12)

6

1.3

Relação entre a função Gamma e funções trigonométricas

Z

Γ(α)Γ(1 − α) = B(α, 1 − α) ≡ Γ(1) |{z}

∞ 0

uα−1 du ; 0 < ℜe(α) < 1, (1 + u)

(1.13)

=1

onde usamos a eq. (1.12)

Resolução da integral:

R∞

Considere a função f (z) =

0

xα−1 dx (1+x)

z α−1 1+z

; 0 < ℜe(α) < 1.

; z ∈ C ; z = x + iy.

A função f (z) possui um polo simples em z = −1 e uma ramificação em z = 0. Iremos calcular a integral:

I=

I

f (z)dz, C

onde o contorno C é dado pela figura (1.1) Im z

C2

R Ε

Re z

-1

C1

Figura 1.1: Contorno C

I =

Z

R ǫ

xα−1 dx + 1+x


  = 2πiRes f (z) 

Z

C2

z α−1 + 1+z

z=−1

= 2πie

Z

ǫ R


α−1 Z e2πi x z α−1 dx + dz 1 + |{z} e2πi x C1 1 + z

iπ(α−1)

=1

.

7 C1 : Z

z α−1 dz ; z = ǫeiθ 1 + z C1 Z 2π eiαθ α dθ ∼ ǫα → 0 (ǫ → 0). i =ǫ iθ 1 + ǫe 0

C2 : Z

z α−1 dz ; z = Reiθ , 1 + z C2 Z 2π 1 eiαθ α dθ ∼ 1−α → 0 (R → ∞). =R i iθ 1 + Re R 0 No limite ǫ → 0 e R → ∞ 2πie ⇒

Z

∞ 0

iπ(α−1)

=

1−e

2πi(α−1)




Z

∞ 0

xα−1 dx, 1+x

π xα−1 2πi π
=− dx = − πi(α−1) = . 1+x sin π(α − 1) sin πα e − e−πi(α−1)

(1.14)

Substituindo (1.14) em (1.13) temos a relação desejada:

Γ(z)Γ(1 − z) =

π . sin πz

(1.15)

A eq. (1.15) foi derivada apenas para o intervalo 0 < ℜe(z) < 1, porém a função Γ(1 − z)Γ(z) é analítica em todo plano complexo (fora os polos em z ∈ Z). A função

π sin(πz)

também é analítica nessa região. Como as funções coincidem na região 0 < ℜe(z) < 1, podemos concluir que elas coincidem na região comum de analiticidade. Portanto, a fórmula (1.15) vale para todo4 z ∈ / Z. Ela também pode ser escrita da seguinte forma:

Γ(z)Γ(−z) = − 4

π . z sin πz

(1.16)

A restrição aparente ocorre devido ao fato da eq. ter sido derivada através da representação integral de Γ (eq. (1.1)). Se a derivássemos, por exemplo, via eq. (1.7) (o que é possível, mas muito mais trabalhoso), ela estaria definida ∀ z ∈ /Z

8 No caso de z ser um imaginário puro, i.e. z → ix, com x ∈ R, temos uma outra importante relação:

Γ(ix)Γ(−ix) = |Γ(ix)|2 =