Vec.1.5 Ecuación del plano-Montelongo Soto-Cesar Alejandro-06092021 PDF

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1.5 Ecuación del plano.

NOMBRE: CESAR ALEJANDRO MONTELONGO SOTO SEMESTRE: 3 GRUPO: 91

CARRERA: INGENIERÍA EN ENERGÍAS RENOVABLES MATERIA: CALCULO VECTORIAL PROFESOR: ROGELIO GUERRERO LUNA FECHA: 06/09/2021

Actividad 1.5 Ecuación del plano. El alumno tomara nota sobre este tema.

Vamos a determinar la ecuación del plano que contiene los puntos 𝑃(1,2, −3), 𝑄(2,3,1) y 𝑅(0, −2, −1). Para comenzar haremos un dibujo que represente el plano y los puntos:

Vamos a determinar el vector PQ y PR contenidos en el plano, haremos una resta: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝑄(2,3,1) − 𝑃(1,2, −3) 𝑃𝑄 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 〈1,1,4〉 𝑃𝑄

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝑅 (0, −2, −1) − 𝑃(1,2, −3) 𝑃𝑅 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 = 〈−1, −4,2〉

Si hacemos la regla de la mano derecha podemos observar podremos observar que sale un vector perpendicular hacia arriba del plano.

Este es el vector 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 × 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑅 también llamado 𝑛󰇍 (normal al plano) es decir perpendicular a los dos vectores:

A continuación haremos el producto cruz entre el vector PQ y PR con un determinante:

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑄 × 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑅

1𝑖

𝑘 1𝑗 4



| =| −1 −4 2 1 4 1 1 1 4 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍 󰇍 󰇍 𝑃𝑄 × 𝑃𝑅 = | | 𝑖 − | | 𝑗 + | | 𝑘 −4 2 −1 2 −1 −4

󰇍󰇍󰇍󰇍 × 𝑃𝑅 󰇍󰇍󰇍󰇍 = [2 − (−16)]𝑖 − [2 − (−4)]𝑗 + [−4 − (−1)]𝑘  𝑃𝑄 󰇍⏟ 󰇍󰇍󰇍 × 𝑃𝑅 󰇍󰇍󰇍󰇍 = 18𝑖 − 6𝑗 − 3𝑘 𝑃𝑄 𝑛󰇍

𝑛󰇍 = 〈18, −6, −3〉

Marcaremos otro punto en el plano que llamaremos T que tendrá coordenadas 𝑇 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), con este nuevo podemos determinar el punto PT: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑃(1,2, −3) 𝑃𝑇 󰇍𝑃𝑇 󰇍󰇍󰇍 = 〈𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 + 3〉

En este caso también formará ángulo de 90 grados por lo que serán vectores ortogonales.

Como los dos son ortogonales, su producto punto debe de ser cero 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃𝑇 ∙ 𝑛󰇍 = 0, aplicamos esa condición: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ∙ 𝑛󰇍 = 0 𝑃𝑇

〈𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 + 3〉 ∙ 〈18, −6, −3〉 = 0

(𝑥 − 1) ∙ 18 + (𝑦 − 2) ∙ (−6) + (𝑧 + 3) ∙ (−3) = 0 18𝑥 − 18 − 6𝑦 + 12 − 3𝑧 − 9 = 0 18𝑥 − 6𝑦 − 3𝑧 − 15 = 0 18𝑥 − 6𝑦 − 3𝑧 = 15

Podemos simpli ficar en este caso el resultado entre 3 y nos da: 6𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 5...