Vektorrechnung 3 PDF

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Description

Vektorsubtraktion

 

 

Def: Die Abbildung s : R 3  R 3  R 3 mit a ,b  a b : a  b heißt Vektorsubtraktion. 𝑎1 𝑎1 − 𝑏1 𝑏1 󰇍  𝑎 Somit gilt: 𝑎 − 𝑏 = ( 2 ) − ( 𝑏2 ) = ( 𝑎2 − 𝑏2 ) 𝑎3 𝑏3 𝑎3 − 𝑏3 Wichtig: Die Subtraktion von Translationen ist weder kommutativ noch assoziativ! Geometrisch lässt sich die Vektorsubtraktion als Vektoraddition mit dem Gegenvektor darstellen: 𝑎 − 𝑏󰇍 = 𝑎 + (−𝑏󰇍 ) 𝑎

𝑏󰇍

𝑎

󰇍  −𝑏

Anhängen an 𝑎:

𝑎 − 󰇍𝑏

−𝑏󰇍

Man kann die Pfeile auch mit den Anfangspunkten aneinander hängen und dann den Laufweg betrachten:

󰇍 𝑏 𝑎

󰇍 + 𝑎 = 𝑎 − 󰇍𝑏 −𝑏 Man läuft von der Pfeilspitze von 𝑏󰇍 zurück zum Anfang, also den Gegenvektor und von dort aus dann in Richtung 𝑎. Die s-Multiplikation  a1   a 1     

 a1   

 a1  a 1  ...  a1   

 n a 1   

a  a   3   3

a   3

 a  a  ...  a  3 3  3

 n a  3 

Betrachte: a  a  a  ...  a   a2    a 2   ...   a2    a2  a 2  ...  a2    n  a 2  : n  a n mal Veranschaulichung: n = 4 4a Die Pfeile der Translation n  a sind n-mal solange wie a . Durch den Multiplikator n kann somit der Vektor verlängert (𝑛 > 1) oder verkleinert (0 < 𝑛 < 1) werden. Ist n negativ, so wird der Vektor vorm verkleinern oder verlängern zuerst noch gespiegelt, man betrachtet somit den Gegenvektor mit neuer Länge. a

𝑎1 𝜆 ∙ 𝑎1 𝑎 Def: Sind   R und a  R mit 𝑎 = ( 2 ), dann heißt die Translation ( 𝜆 ∙ 𝑎 2 ) das Produkt 𝑎3 𝜆 ∙ 𝑎3 der Zahl λ mit der Translation 𝑎 und wird mit 𝜆 ∙ 𝑎 bezeichnet. Eine Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) und einem Vektor bezeichnet man als s-Multiplikation oder Skalarmultiplikation. 3

 3 b    P1 (3 | 2) P2 ( 4 | y)  4 a) Bestimme P1 bzw. P2  bei den Translationen 3 a;  2 a; 2

Beispiel: Gegeben: a    1

1 a 4

   

b) Gib P1 bzw. P2  bei den Translationen a  b; a  b ;  2 a  b ; 2 a b an. 

a) 3a : P1 9 | 5  2 a: 1 4

a:

 P1 1 | 0   P1 72 | 94

 

 P 2 10 | 3 y   P2 0 | 2  y   P2 92 | 14  y



  1 a  b    53   P  8 | 1

 b) a  b     P1 2 | 7  5   1





P2 3 | y 5 

  2   2 a  b     P1 5 | 8    10   10  2 a b     P1  13 | 4  6 

 

 

P2 9 | y  3  P2  6 | y  10  P2  14 | y  6

Welche Eigenschaften hat die s-Multiplikation? Satz: Für alle Translationen a; b  R 3 ;  ,   R gilt:

 

   D :     a    a    a D :   a  b    a    b A :     a      a 

1

1.DG

2

2. DG

U : 1  a  a (Unitaritätsgesetz)

exemplarischer Beweis von D2:

 a 1  b1    a1  b1      a 1    b1           a 2 b 2  D2    a  b  a 2  b 2       a2    b2  Def der Summe Def der DG in R    a   b  von Translationen  a  b  s Multiplika tion  a  b   3 3 3  3 3  3   b a   1     1         a   b   a 2    b 2  Def der Summe Def der     von Translationen  s Multiplika tion b a   3    3 

 

Kollinearität von Vektoren 󰇍 sind kollinear, wenn man die beiden Vektoren als Vielfaches des Def: Zwei Vektoren 𝑎 und 𝑏 anderen darstellen kann. Formal, wenn es eine Zahl 𝜆 ∈ ℝ gibt, sodass gilt: 𝑎 = 𝜆 ∙ 𝑏󰇍 Geometrisch lässt sich Kollinearität erkennen, wenn die Vektorpfeile parallel oder antiparallel (parallel mit entgegengesetzter Richtung) sind. Die Länge der Pfeile ist dabei irrelevant. Beispiele: Kollinear: Nicht kollinear:

Bemerkung: Der Nullvektor ist somit zu jedem Vektor kollinear!...