1. Vektorrechnung und analytische Geometrie Übersicht PDF

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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie Benötigte Vorkenntnisse: ✓

Euklidische Geometrie o

✓

✓

Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

o

Winkel im Gradmaß

Trigonometrische Funktionen o

Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel größer als 90°

o

Arcusfunktionen

Analytische Geometrie o

✓

Satz des Pythagoras

o

Kartesische Koordinaten in der Ebene

Algebra o

Wurzeln und Potenzen berechnen

o

Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

o

Betrag einer Zahl

1.1. Die Idee eines Vektors 1.1.1. Sie stellen Vektoren zeichnerisch als Pfeile dar. 1.1.2. Sie erkennen, ob zwei Vektoren gleich sind. 1.1.3. Sie unterscheiden Skalare und Vektoren. 1.1.4. Sie verwenden die Begriffe kollinear, parallel und antiparallel. 1.1.5. Sie interpretieren den Betrag eines Vektors geometrisch als Länge eines Pfeils. 1.1.6. Sie beschreiben mit Vektoren diverse physikalische Phänomene.

1.2. Rechnen geometrisch 1.2.1. Sie addieren Vektoren zeichnerisch mit mehreren Vorgehensweisen. 1.2.2. Sie wählen im Anwendungskontext eine geeignete zeichnerische Vorgehensweise zu Addition aus. 1.2.3. Sie verstehen die Subtraktion eines Vektors als Addition des Gegenvektors. 1.2.4. Sie multiplizieren einen Vektor zeichnerisch mit einem Skalar. 1.2.5. Sie veranschaulichen die mit Hilfe von Formeln formulierten Rechengesetze für Vektoren geometrisch.

1.3. Kartesische Koordinaten 1.3.1. Sie stellen Vektoren in kartesischen Koordinaten dar. 1.3.2. Sie bilden einen Zusammenhang zwischen der zeichnerischen Darstellung und der Darstellung in kartesischen Koordinaten. 1.3.3. Sie rechnen mit Vektoren in kartesischen Koordinaten: •

Addition

•

Subtraktion

•

Multiplikation mit einem Skalar

1.3.4. Sie berechnen den Betrag eines Vektors, der in kartesischen Koordinaten vorliegt, und begründen die Berechnung geometrisch. 1.3.5. Sie verwenden den Ortsvektor als hervorgehobenen Repräsentanten des Vektors. 1.3.6. Sie unterscheiden Punkte von Vektoren.

1.4. Polarkoordinaten 1.4.1. Sie stellen zweidimensionale Vektoren in Polarkoordinaten dar. 1.4.2. Sie wandeln Vektoren in der Ebene von kartesischen in Polarkoordinaten um unter Verwendung der Tangensfunktion. 1.4.3. Sie wandeln Vektoren in der Ebene von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten um unter Verwendung von Sinus- und Kosinusfunktion. 1.4.4. Sie wechseln flexibel zwischen den drei Darstellungsarten für Vektoren in der Ebene (graphisch, kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten). 1.4.5. Sie addieren und vervielfachen Vektoren, die in Polarkoordinaten gegeben sind, indem Sie geometrisch argumentieren.

1.5. Dreidimensional: Kartesisch, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten 1.5.1. Sie stellen dreidimensionale Vektoren dar… •

…zeichnerisch und in kartesischen Koordinaten.

•

…in Zylinderkoordinaten.

•

…in Kugelkoordinaten.

1.5.2. Sie rechnen die Darstellungsformen dreidimensionaler Vektoren ineinander um.

1.6. Skalarprodukt 1.6.1. Sie haben eine geometrische Vorstellung des Skalarproduktes von zwei Vektoren im R2 und R3. 1.6.2. Sie berechnen das Skalarprodukt im Rn auf zwei Wegen. 1.6.3. Sie verwenden Rechengesetze für das Skalarprodukt. 1.6.4. Sie setzen das Skalarprodukt ein… •

…zur Winkelberechnung.

•

…zur Berechnung der Arbeit.

1.7. Orthogonale Projektion 1.7.1. Sie berechnen die orthogonale Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor mit Hilfe des Skalarproduktes. 1.7.2. Sie wenden die orthogonale Projektion in Anwendungssituationen an.

1.8. Zerlegung von Vektoren 1.8.1. Sie stellen einen Vektor zeichnerisch und rechnerisch dar als Summe von Vektoren in vorgegebenen Richtungen. 1.8.2. Sie stellen einen Vektor zeichnerisch und rechnerisch dar als Summe eines Vektors in eine vorgegebene Richtung und eines Vektors orthogonal dazu.

1.9. Vektorprodukt 1.9.1. Sie interpretieren das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) von zwei Vektoren geometrisch. 1.9.2. Sie berechnen das Vektorprodukt. 1.9.3. Sie wissen, dass das Vektorprodukt nur für dreidimensionale Vektoren definiert ist. 1.9.4. Sie verwenden Rechengesetze für das Vektorprodukt. 1.9.5. Sie verwenden das Vektorprodukt an zur Flächenberechnung eines Parallelogramms.

1.10. Drehmoment 1.10.1. Sie wenden das Vektorprodukt an zur Berechnung des Drehmoments. 1.10.2. Sie erkennen, dass die Berechnung des Drehmoments in Technischer Mechanik auf Prinzipien der Vektorrechnung beruht. 1.10.3. Sie interpretieren Richtung und Betrag des als Vektor dargestellten Drehmoments.

1.11. Spatprodukt 1.11.1. Sie interpretieren das Spatprodukt von drei Vektoren geometrisch. 1.11.2. Sie berechnen das Spatprodukt. 1.11.3. Sie wissen, dass das Spatprodukt nur für dreidimensionale Vektoren definiert ist. 1.11.4. Sie verwenden Eigenschaften des Spatproduktes. 1.11.5. Sie verwenden das Spatprodukt zur Volumenberechnung eines Parallelepipeds. 1.11.6. Sie erkennen weitere Anwendungssituationen für das Spatprodukt und wenden es dort an.

1.12. Geraden 1.12.1. Sie berechnen die Länge einer Strecke. 1.12.2. Sie berechnen den Abstand zwischen zwei Punkten. 1.12.3. Sie stellen Geraden in Parameterform dar. 1.12.4. Sie stellen Geraden in der Zwei-Punkte-Form dar.

1.13. Lagebeziehungen Teil I 1.13.1. Abstand Punkt – Gerade: •

Sie berechnen den Abstand eines Punktes von einer Geraden auf zwei Wegen.

•

Sie begründen das Vorgehen für beide Wege anhand von Skizzen.

•

Sie berechnen den Lotfußpunkt eines Punktes auf einer Geraden.

1.13.2. Abstand Punkt – Strecke: •

Sie definieren den Abstand eines Punktes von einer Strecke.

•

Sie berechnen den Abstand eines Punktes von einer Strecke.

•

Sie begründen das Vorgehen anhand einer Skizze.

1.13.3. Abstand von zwei Geraden: •

Sie erläutern anhand einer Skizze, wie zwei Geraden im Raum bzw. in der Ebene zueinander liegen können.

•

Sie berechnen den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden.

•

Sie begründen das Vorgehen anhand einer Skizze.

1.14. Ebenen 1.14.1. Sie stellen eine Ebene im Raum dar: •

Parameterform (Drei-Punkte-Form)

•

Normalenform

•

Hessescher Normalform

•

Koordinatenform

1.14.2. Sie wandeln Darstellungsformen von Ebenen ineinander um.

1.15. Lagebeziehungen Teil II 1.15.1. Sie berechnen Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen.

1.16. Linearkombination von Vektoren 1.16.1. Sie stellen einen Vektor als Linearkombination aus gegebenen Vektoren dar....