Analytische Geometrie PDF

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Analytische GeometriePunkte und TranslationenDurch Benutzung eines Achsenkreuzes mit 3 Achsen, die in 3 Raumrichtungen zeigen, kann jederPunkt in seiner Lage durch 3 Koordinaten eindeutig beschrieben werden.Wir beschränken uns auf carthesische Koordinatensysteme, d. jede Achse ist in einem 90° Winke...

Description

Analytische Geometrie Punkte und Translationen Durch Benutzung eines Achsenkreuzes mit 3 Achsen, die in 3 Raumrichtungen zeigen, kann jeder Punkt in seiner Lage durch 3 Koordinaten eindeutig beschrieben werden. Wir beschränken uns auf carthesische Koordinatensysteme, d.h. jede Achse ist in einem 90° Winkel zu den beiden anderen Achsen. x3 (z)

z.B. P1 (0|4|0) P2 (0|-1|-2) P3 (2|4|-1) P1 x2 (y) P2 x1 (x)

P3

Seien P1 und P2 zwei verschiedene Punkte des dreidimensionalen Anschauungsraumes E: P1 P2 Dann gibt es eine Parallelverschiebung (PV), die z.B. P1 auf P2 abbildet. Sie kann durch einen Pfeil verdeutlicht werden. z.B. P1 (-5|0|14)  P2 (3|-7|4) dann hat die Verschiebung folgende Komponenten: P2 (3|-7|4) P2 (-5+8|0-7|14-10)  8     die Parallelverschiebung hat die Komponenten   7    10    Def 1: Seien a1, a2, a3  R

Die Abbildung a : E  E mit

p1 | p 2 | p3  p1  a1 | p 2  a 2 | p3  a3  heißt Translation (Parallelverschiebung) Merke: 1. Eine Translation kann in E durch jeden Pfeil, der einen Punkt mit seinem Bildpunkt verbindet, veranschaulicht werden. d.h. eine Translation ist eine Klasse von unendlich vielen parallelen, gleichlangen und gleichgerichteten Pfeilen. 2. Eine Translation ist unter Beachtung der Reihenfolge eindeutig durch die 3 Zahlen a1, a2, a3 festgelegt. a1    a  a2  a   3

lies: Translation a mit den Komponenten a1, a2 und a3

Beispiele: Menge, die alle Punkte nach folgender Beschreibung enthält: a) Alle Punkte des x2-Achse: 𝑀 = {𝑃(0|𝑥2 |0)|𝑥2 ∈ ℝ} b) Alle Punkte die auf der Parallelen der x3-Achse durch den Punkt (2|3|1) verlaufen 𝑀 = {𝑃(2|3|𝑥3 )|𝑥3 ∈ ℝ} c) Alle Punkte in der x1-x2 Ebene: 𝑀 = {𝑃(𝑥1 |𝑥2 |0)|𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ}

Beispiele: a) Bestimme die Translationen, die P2 dem Punkt P1 zuordnen. 1) P1 2 | 2 | 3

P2 ( 4 |  5 |  6)

2) P1 0 | 5 | 0

P2  6 | 0 | 16

 6   P1 P2    7   9    6   P1 P2   5   16   

b) Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte zu P1(0|3|-6) bei den Translationen:  2    i) a   3   5   i)

 4    ii ) b   0   6  

 P1  2 | 6 | 1 ii)

 P1  4 | 3 | 0 

 0   iii ) c   0    1    iii) P1 0 | 3 | 7 

c) Gib die Urbildpunkte zu P2(3|-5|-1) bei den Translationen von b) an! i)

P1 5 | 8 | 6  ii ) P1 7 | 5 | 7 

iii ) P1 3 | 5 | 0 ...